Ganzrationale Funktionen – Definition und Beispiele

Ganzrationale Funktionen systematisch bestimmen

Wenn du eine ganzrationale Funktion zweiten Grades aufstellen sollst, brauchst du genau drei Bedingungen - genau so viele wie unbekannte Parameter. In diesem Beispiel hast du den Punkt P$0/80$ und den Hochpunkt H$25/83$.

Der Funktionsansatz ist immer f$x$ = ax² + bx + c. Daraus bildest du die ersten beiden Ableitungen: f'$x$ = 2ax + b und f''$x$ = 2a. Diese brauchst du für die Hochpunkt-Bedingung.

Aus den gegebenen Informationen stellst du drei Gleichungen auf: f(0) = 80, f(25) = 83 und f'(25) = 0. Die letzte Bedingung ist wichtig, weil im Hochpunkt die Steigung null sein muss.

Das entstehende lineare Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR (Menü 10: Gleichungen). Die Lösung ergibt a = -0,0048, b = 0,24 und c = 80, also f$x$ = -0,0048x² + 0,24x + 80.

Tipp: Vergiss nicht die Probe! Prüfe mit f''(25) = -0,0096 < 0, dass wirklich ein Hochpunkt vorliegt.