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Strecken im Koordinatensystem

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 BASICS
1. Geraden
Allgemeine Formel: y = m · x +t
Ay
Dabei gilt: m ist die Steigung (A) und +t bzw -t ist der Schnittpunkt
mit der y-Achse.

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Vorbereitung für die (erste) Schulaufgabe Mathe 10. Klasse Realschule - Basics: Geraden, Parabeln - Streckenberechnung im Koordinatensystem

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BASICS 1. Geraden Allgemeine Formel: y = m · x +t Ay Dabei gilt: m ist die Steigung (A) und +t bzw -t ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Beispiel hierfür: y = ¹13 x + 2 +8 ↑ y-Achse 7+ +9+ +5+ +4+ +3+ 1 MATHEMATIK VORBEREITUNG FÜR DIE SCHULAUFGABE 0 2 3 1,27 4 2. Parabeln Allgemeine Formel: y = ax² + bx+c X -b± √b² - 4ac 2a 5 https://www.geogebra.org/calculator Dabei gilt: +c bzw. -c ist der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse. Außerdem setzt man die Buchstaben (a, b, c) in die Mitternachts- bzw. Quadratische-Lösungsformel ein, wenn gilt: ax² + bx + c = 0 6 x-Achse 8 Mit der Quadratischen-Lösungsformel rechnet man die Nullstellen (das heißt die Schnittpunkte mit der x-Achse) der Parabel aus. 2 Parabeln Parabeln können eine, zwei oder keine Nullstellen haben. Ob und wie viele Nullstellen die Parabel hat, kann man bereits an der Diskriminante erkennen. VORBEREITUNG FÜR DIE SCHULAUFGABE Lösungsformel Diskriminante T 3+ -2 Beispiel hierfür: y = 0,5x²+2x+1 Schnittpunkt (0/1) f(x)=0,5x^2 +2x +1 + €1,2 Scheitel punkt -b± 6² - 4ac 2a Mitternachtsformel" D = b² - 4ac https://www.geogebra.org/calculator -1 y -4 -3 -2 --1 -2 D< 0: Keine (reelle) Lösung* D = 0: Eine Lösung D> 0: Zwei Lösungen Schnittpunkt (0/1) 1 2 Zwei Nullstellen 3 4 Aber: An der allgemeinen Form (y = ax² + bx + c) kann man nicht den Scheitelpunkt S(xs/ys) ablesen. Dafür braucht man die Scheitelform der Parabel: y= a(x-xs)² - ys Um von der allgemeinen Form zur Scheitelform zu kommen, muss man mit Hilfe des Binoms und einer quadratischen Ergänzung eine Klammer bilden. 2 Parabeln -1 Beispiel hierfür: -4- 3 -2 VORBEREITUNG FÜR DIE SCHULAUFGABE Um von der...

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Scheitelform wieder zur Normalform zu kommen, muss (x + 2)² einfach ausgeklammert werden. ((x + 2) (x + 2) oder Binom) . 3 Strecken im Koordinatensystem Strecken parallel zur y-Achse y -1 -1 1 y = 0,5x²+2x+1 →→ Alles was vor dem x² steht ausklammern y = 0,5(x²+4x +2) →1. Binomische Formel (1.S² +2 · 1.S · 2.S+ 2.S²) y = 0,5(x²+2. 2 · ×+2) → Quadratische Ergänzung y = 0,5(x²+2·2· × +2² - 2²+2) → Binom bilden y = 0,5((x + 2)2-2² +2) y = 0,5((x + 2) ²-4 +2) 2_ y = 0,5((x + 2) ²-2) y = 0,5 (x + 2) ²-1 ↓ Scheitelpunkt: S (-2/1) Außerdem: um den Faktor 0,5 gestaucht. (=breiter als Normalparabel) Nach oben geöffnet. Da a = +0,5 2 XA (1,5/4) X B (1,5/1) 3 https://www.geogebra.org/calculator 4 Die Punkte A und B haben die gleiche Abszisse x. x = 1,5. Man berechnet die Länge der Strecke AB mit yoben - Yunten Der Punkt A hat die Koordinaten (x/yoben) Der Punkt B hat die Koordinaten (x/yunten) Also: AB = 4-1 =3 LE 3 Strecken im Koordinatensystem y -1 3 2 -4 --1 2 Parabel z. B.: y= 0,5(x-2) ² +3 Gerade z.B.: y = x - ¹ -2 -3 B (-1/2,5) 2 Strecken parallel zur x-Achse Y VORBEREITUNG FÜR DIE SCHULAUFGABE -1 -1 -2 1 P (x /y Parabel) Q (x /y Gerade) 2 3 4 e *Ax ly Parabel) 2 C(x ly Gerade) https://www.geogebra.org/calculator 3 x Dasselbe Prinzip gilt bei Aufgaben mit senkrechten Strecken durch Punkte auf Geraden/Parabeln mit der gleichen Abszisse x. In diesem Beispiel ist die Abszisse x = 2. Eine Strecke PQ entsteht aber bei anderen Werten von x. Allgemein gilt wieder die Länge PQ ist yoben - yunten. In diesem Fall liegt die Parabel oben und die Gerade unten. Also: yParabel - yGerade PQ = 0,5(x-2)² +3 - (x - ¹) Man berechnet die Länge der Strecke BD mit Xrechts- Xlinks Man braucht diese Streckenlänge um z. B. den D (4/2,5) Flächeninhalt einer geometrischen Figur (Drache, Raute, Trapez) auszurechnen. Flächeninhalt einer Raute: ARaute = 0,5 e · f = 0,5 AC BD Hier: AC = XD - XB =4-(-1) = 5 LE

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