Zahlen und Zahlenmengen

Zahlenmengen sind wie verschiedene Schubladen für unterschiedliche Arten von Zahlen. Die natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, 3, ...} kennst du vom Zählen, während ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, ...} die Null mit einschließt.

Ganze Zahlen ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...} erweitern das System um negative Zahlen. Rationale Zahlen ℚ sind alle Brüche und Dezimalzahlen mit endlichen oder periodischen Nachkommastellen. Irrationale Zahlen ℝ\ℚ wie √2 oder π haben unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen.

Aussagenlogik hilft bei mathematischen Beweisen: ¬A bedeutet "nicht A", A∧B bedeutet "sowohl A als auch B", A∨B bedeutet "A oder B oder beide". Bei Mengen schreibst du A⊂B wenn A eine Teilmenge von B ist.

Tipp: Die leere Menge { } ist Teilmenge jeder anderen Menge!

Beträge, Zehnerpotenzen und Primzahlen

Der Betrag |a| zeigt dir den Abstand einer Zahl zur Null auf der Zahlengeraden. Für |x| ≤ a liegt x zwischen -a und a, für |x| ≥ a liegt x außerhalb dieses Bereichs.

Zehnerpotenzen machen große und kleine Zahlen handhabbar. Von Tera (10¹²) bis Atto (10⁻¹⁸) gibt es für jeden Größenbereich die passende Vorsilbe. In der wissenschaftlichen Notation schreibst du Zahlen als m·10ʰ, wobei m die Mantisse und h der Exponent ist.

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen – das ist die Primfaktorzerlegung.

Merksatz: Es gibt unendlich viele Primzahlen – das bewies schon Euklid!

Die komplexen Zahlen ℂ

Komplexe Zahlen lösen das Problem, dass negative Zahlen keine Quadratwurzel in den reellen Zahlen haben. Mit der imaginären Einheit i, wobei i² = -1, kannst du jede Gleichung der Form x² = -1 lösen.

Jede komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist. In der Gaußschen Zahlenebene stellst du z als Punkt (a|b) dar. Die konjugiert komplexe Zahl z̄ = a - bi spiegelst du an der reellen Achse.

In Polarform schreibst du z = r$cos θ + i sin θ$, wobei r = |z| = √$a² + b²$ der Betrag ist. Für Multiplikation, Division und Potenzieren ist die Polarform praktischer: (r₁, α₁) · (r₂, α₂) = $r₁r₂, α₁ + α₂$.

Wichtig: Komplexe Zahlen kann man nicht der Größe nach ordnen – diese Eigenschaft geht bei der Erweiterung verloren!

Terme und Formeln

Terme sind mathematische Ausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Gleichungen verbinden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen, Formeln beschreiben mathematisch korrekte Sachverhalte.

Prozentrechnung begegnet dir ständig: X% von y berechnest du mit $X/100$·y. Eine Vermehrung um p% ergibt a·$1 + p/100$, eine Verminderung a·$1 - p/100$.

Die binomischen Formeln sind unverzichtbar: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b² und $a+b$$a-b$ = a² - b². Das Distributivgesetz hilft beim Ausklammern gemeinsamer Faktoren.

Äquivalenzumformungen ändern einen Term, lassen aber die Lösungsmenge gleich. Die Definitionsmenge D enthält alle zulässigen Werte für x, die Lösungsmenge L alle Werte, die eine wahre Aussage ergeben.

Eselsbrücke: Die binomischen Formeln heißen auch "Plus-Minus-Minus-Plus" – das hilft beim Merken der Vorzeichen!

Lineare und quadratische Gleichungen

Lineare Gleichungen ax + b = 0 haben genau eine Lösung: x = -b/a. Sie sind der einfachste Gleichungstyp und bilden die Grundlage für komplexere Probleme.

Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 löst du mit der großen Lösungsformel: x = $-b ± √(b² - 4ac)$/(2a). Die Diskriminante b² - 4ac entscheidet: > 0 bedeutet zwei Lösungen, = 0 eine Lösung, < 0 keine reellen Lösungen.

Der Produkt-Null-Satz besagt: A·B = 0 genau dann, wenn A = 0 oder B = 0. Das hilft bei faktorisierten Gleichungen wie x$x-5$ = 0.

Mit dem Satz von Vieta findest du bei x² + px + q = 0 die Beziehungen: p = -$x₁ + x₂$ und q = x₁·x₂. So kannst du aus den Lösungen die ursprüngliche Gleichung rekonstruieren.

Tipp: Bei negativer Diskriminante gibt es nur über den komplexen Zahlen Lösungen!

Trigonometrie

Trigonometrische Funktionen entstehen im rechtwinkligen Dreieck: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete. Die Umkehrfunktionen heißen arcsin, arccos und arctan.

Im Einheitskreis $Radius r = 1$ gilt die fundamentale Beziehung cos²x + sin²x = 1. Außerdem ist sin$90° - x$ = cos x und cos$90° - x$ = sin x.

Polarkoordinaten $r|ε$ beschreiben Punkte durch Entfernung r zum Ursprung und Winkel ε. Umrechnung zu kartesischen Koordinaten: x = r·cos ε, y = r·sin ε.

Für beliebige Dreiecke brauchst du den Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ und den Kosinussatz: a² = b² + c² - 2bc·cos α. Die Flächenformel lautet A = (1/2)ab·sin γ.

Merkhilfe: "Sinus oben, Kosinus unten" – so merkst du dir tan x = sin x/cos x!

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Potenzgesetze sind das A und O: aˣ·aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ:aʸ = aˣ⁻ʸ, (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Wichtige Spezialfälle: a⁰ = 1, a⁻ˣ = 1/aˣ, a^$x/y$ = ʸ√(aˣ).

Wurzeln sind Potenzen mit rationalen Exponenten: ⁿ√a = a^$1/n$. Die Wurzelgesetze ähneln den Potenzgesetzen: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b, aber Vorsicht beim Trennen von Summen – das geht nicht!

Logarithmen sind Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. log_a b ist die Zahl, mit der du a potenzieren musst, um b zu erhalten: aˣ = b ⟺ log_a b = x. Der natürliche Logarithmus ln hat die eulersche Zahl e ≈ 2,718 als Basis.

Logarithmusgesetze: ln(a·b) = ln a + ln b, ln$a/b$ = ln a - ln b, ln(aᵇ) = b·ln a.

Regel: Beim Wurzelziehen darfst du Faktoren trennen, beim Addieren nicht!

Reelle Funktionen - Grundlagen

Eine Funktion f ordnet jedem x aus der Definitionsmenge D_f genau ein y zu. Die Wertemenge W_f enthält alle möglichen Funktionswerte, der Graph G_f alle Punkte (x|f(x)).

Lineare Funktionen f(x) = kx + d haben konstante Steigung k. Bei direkter Proportionalität f(x) = kx geht der Graph durch den Ursprung. Die Steigung berechnest du als k = senkrecht/waagrecht.

Quadratische Funktionen f(x) = ax² + bx + c bilden Parabeln. Der Scheitelpunkt liegt bei S = $-b/(2a) | f(-b/(2a))$. In Scheitelform f(x) = a$x-b$² + c ist S = (b|c). Parameter a bestimmt die Öffnung, c die vertikale Verschiebung.

Die Linearfaktordarstellung f(x) = a$x-x₁$$x-x₂$ zeigt direkt die Nullstellen x₁ und x₂.

Tipp: Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben, bei a < 0 nach unten!

Funktionstypen und Eigenschaften

Gebrochene rationale Funktionen f(x) = c/x bilden Hyperbeln mit Polstelle bei x = 0. Die Koordinatenachsen sind Asymptoten. Bei f(x) = c/x² entsteht eine indirekte Proportionalitätsfunktion.

Abschnittsweise definierte Funktionen haben verschiedene Vorschriften für verschiedene x-Bereiche. Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist ein typisches Beispiel mit einem "Knick" bei x = 0.

Potenzfunktionen f(x) = xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Polynomfunktionen sind Summen von Potenzfunktionen: f(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀.

Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: streng monoton steigend bedeutet f(x₁) < f(x₂) für x₁ < x₂. Extremstellen sind lokale Maxima oder Minima.

Symmetrie: Gerade Exponenten → Achsensymmetrie, ungerade Exponenten → Punktsymmetrie!

Änderungsmaße und Logarithmusfunktionen

Änderungsmaße beschreiben, wie sich Funktionswerte ändern. Die absolute Änderung ist f(b) - f(a), die relative Änderung $f(b) - f(a)$/f(a). Die mittlere Änderungsrate $f(b) - f(a)$/$b - a$ ist die Steigung der Sekante.

Der Änderungsfaktor f(b)/f(a) zeigt das Verhältnis der Funktionswerte. Diese Konzepte sind fundamental für die Differentialrechnung.

Logarithmusfunktionen f(x) = c·log_a x sind Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen. Wichtige Punkte: N = (1|0), da log_a 1 = 0 für jede Basis a.

Monotonie bei Funktionen erkennst du durch Vergleich der Funktionswerte: Wenn aus x₁ < x₂ immer f(x₁) ≤ f(x₂) folgt, ist die Funktion monoton steigend.

Praxistipp: Änderungsraten begegnen dir in der Physik als Geschwindigkeiten und Beschleunigungen!