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35
0
Laura
3.11.2021
Mathe
Transformation und Potenzen
1.246
•
3. Nov. 2021
•
Laura
@laurasophie1
Die Anleitung erklärt wichtige mathematische Konzepte wie Nullstellen berechnen mit... Mehr anzeigen
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Seite bietet eine umfassende Übersicht über verschiedene mathematische Konzepte, insbesondere zur Berechnung von Nullstellen und dem Verhalten von Funktionen. Sie beginnt mit Methoden zur Nullstellenberechnung, geht über zu Funktionstransformationen und endet mit einer Zusammenfassung der Potenzgesetze.
Zunächst werden verschiedene Techniken zur Berechnung von Nullstellen vorgestellt. Die Substitutionsmethode wird für Potenzen wie x² und x⁴ oder x³ und x⁶ erklärt, wobei diese durch z und z² ersetzt werden können.
Example: Bei x² und x⁴ kann man durch z und z² ersetzen, die pq-Formel anwenden und am Ende rücksubstituieren.
Das Ablesen von Nullstellen wird für Funktionsgleichungen erläutert, die nur aus Linearfaktoren bestehen.
Highlight: Bei Funktionen, die nur aus Linearfaktoren bestehen, können Nullstellen direkt abgelesen werden, wobei die Vorzeichen getauscht sind.
Die Methode des Ausklammerns wird für Funktionen mit nur variablen Summanden beschrieben.
Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wird anhand der höchsten Potenz erklärt.
Definition: Die höchste Potenz zeigt, wie sich der Graph an den Grenzen verhält.
Transformationen von Funktionen wie Streckung, Verschiebung und Spiegelung werden detailliert beschrieben, einschließlich ihrer Auswirkungen auf den Funktionsgraphen.
Vocabulary: Streckung (stretching), Verschiebung (translation), Spiegelung (reflection)
Lineare und exponentielle Modelle werden verglichen, wobei ihre charakteristischen Eigenschaften hervorgehoben werden.
Quote: "Ein Wert ändert seine Größe in gleichen Abständen, um einen konstanten Faktor" (Exponentielles Modell)
Abschließend wird eine detaillierte Übersicht der Potenzgesetze präsentiert, die Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Potenzen sowie das Potenzieren von Potenzen und Potenzen mit negativen und rationalen Exponenten umfasst.
Example: Bei Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: a^r * a^s = a^
Diese Zusammenfassung bietet Studierenden eine wertvolle Ressource für das Verständnis und die Anwendung wichtiger mathematischer Konzepte im Bereich der Algebra und Analysis.
Substitution ist ein Verfahren, bei dem wir komplizierte Terme durch einfachere Variablen ersetzen. Bei Nullstellen Substitution Aufgaben ersetzt man beispielsweise bei Potenzen wie x³ und x⁶ die Variable x² durch eine neue Variable z. Nach dem Lösen mit der pq-Formel muss man noch "rücksubstituieren", also z wieder durch x² ersetzen, um die endgültigen Nullstellen Potenzfunktion zu berechnen.
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz der Funktion bestimmt. Bei ganzrationalen Funktionen zeigt dir diese höchste Potenz, wie sich der Graph an den Grenzen verhält (lim f(x) = ±∞). Es gibt spezielle Verhalten im Unendlichen Beispiele für verschiedene Funktionstypen: Gerade Funktionen verhalten sich bei x→∞ und x→-∞ gleich, während ungerade Funktionen entgegengesetztes Verhalten zeigen.
Es gibt mehrere wichtige Potenzgesetze. Bei Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden Exponenten addiert (a^r · a^s = a^(r+s)), während bei Division Exponenten subtrahiert werden (a^r : a^s = a^(r-s)). Bei Potenzen mit gleichem Exponenten, aber verschiedenen Basen, gilt (a·b)^r = a^r·b^r. Die Potenzgesetze Übersicht umfasst außerdem noch Regeln für negative und rationale Exponenten sowie für das Potenzieren von Potenzen.
Transformationen wendest du an, wenn du die Form oder Position eines Funktionsgraphen verändern möchtest. Bei Verschiebungen nutzt du Formeln wie g(x)=f(x-c)+d, wobei c die horizontale und d die vertikale Verschiebung angibt. Für Streckungen verwendest du Substitution Beispiele wie g(x)=k·f(x) für vertikale Streckungen oder g(x)=f(a·x) für horizontale. Spiegelungen an den Achsen erreichst du durch f(-x) oder -f(x), was in vielen Verhalten im Unendlichen Aufgaben relevant ist.
Formelsammlung und Wissensübersicht Mathematik: Funktionen, Potenzrechnung und Nullstellen von Schmidt, Klett Verlag 2022, Lernhilfe, Kompakte Darstellung der wichtigsten Formeln und Rechenregeln für die Oberstufe - Link
Mathematik verstehen - Funktionen analysieren von Müller & Bergmann, Cornelsen 2021, Lehrbuch, Enthält zahlreiche Übungen zum Thema Nullstellen, Substitution und Verhalten im Unendlichen - Link
Potenzgesetze und Nullstellenberechnung: Übungen für die Mittelstufe von Weber, Stark Verlag 2020, Übungsheft, Schrittweise Erklärungen mit Musterlösungen zu Substitutionsmethoden und Potenzgesetzen - Link
Digitales Mathematik-Kompendium: Funktionen analysieren vom Landesinstitut für Schule, 2021, Online-Ressource, Interaktive Übungen und Erklärungen zum Verhalten von Funktionen - Link
Erstelle eine eigene "Potenzgesetze-Cheatcard" mit allen wichtigen Formeln und eigenen Beispielen - nutze bunte Farben und teste dein Wissen mit selbst erstellten Aufgaben.
Analysiere reale Wachstumsprozesse und modelliere sie mit verschiedenen Funktionstypen - vergleiche lineares, exponentielles und polynomiales Wachstum.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Sarah L
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
Laura
@laurasophie1
Die Anleitung erklärt wichtige mathematische Konzepte wie Nullstellen berechnen mit Substitution, Funktionsverhalten und Potenzgesetze. Sie bietet Methoden zur Berechnung von Nullstellen, Erläuterungen zu Funktionsverhalten und eine Übersicht der Potenzgesetze.
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Diese Seite bietet eine umfassende Übersicht über verschiedene mathematische Konzepte, insbesondere zur Berechnung von Nullstellen und dem Verhalten von Funktionen. Sie beginnt mit Methoden zur Nullstellenberechnung, geht über zu Funktionstransformationen und endet mit einer Zusammenfassung der Potenzgesetze.
Zunächst werden verschiedene Techniken zur Berechnung von Nullstellen vorgestellt. Die Substitutionsmethode wird für Potenzen wie x² und x⁴ oder x³ und x⁶ erklärt, wobei diese durch z und z² ersetzt werden können.
Example: Bei x² und x⁴ kann man durch z und z² ersetzen, die pq-Formel anwenden und am Ende rücksubstituieren.
Das Ablesen von Nullstellen wird für Funktionsgleichungen erläutert, die nur aus Linearfaktoren bestehen.
Highlight: Bei Funktionen, die nur aus Linearfaktoren bestehen, können Nullstellen direkt abgelesen werden, wobei die Vorzeichen getauscht sind.
Die Methode des Ausklammerns wird für Funktionen mit nur variablen Summanden beschrieben.
Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wird anhand der höchsten Potenz erklärt.
Definition: Die höchste Potenz zeigt, wie sich der Graph an den Grenzen verhält.
Transformationen von Funktionen wie Streckung, Verschiebung und Spiegelung werden detailliert beschrieben, einschließlich ihrer Auswirkungen auf den Funktionsgraphen.
Vocabulary: Streckung (stretching), Verschiebung (translation), Spiegelung (reflection)
Lineare und exponentielle Modelle werden verglichen, wobei ihre charakteristischen Eigenschaften hervorgehoben werden.
Quote: "Ein Wert ändert seine Größe in gleichen Abständen, um einen konstanten Faktor" (Exponentielles Modell)
Abschließend wird eine detaillierte Übersicht der Potenzgesetze präsentiert, die Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Potenzen sowie das Potenzieren von Potenzen und Potenzen mit negativen und rationalen Exponenten umfasst.
Example: Bei Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: a^r * a^s = a^
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Substitution ist ein Verfahren, bei dem wir komplizierte Terme durch einfachere Variablen ersetzen. Bei Nullstellen Substitution Aufgaben ersetzt man beispielsweise bei Potenzen wie x³ und x⁶ die Variable x² durch eine neue Variable z. Nach dem Lösen mit der pq-Formel muss man noch "rücksubstituieren", also z wieder durch x² ersetzen, um die endgültigen Nullstellen Potenzfunktion zu berechnen.
Das Verhalten im Unendlichen wird durch die höchste Potenz der Funktion bestimmt. Bei ganzrationalen Funktionen zeigt dir diese höchste Potenz, wie sich der Graph an den Grenzen verhält (lim f(x) = ±∞). Es gibt spezielle Verhalten im Unendlichen Beispiele für verschiedene Funktionstypen: Gerade Funktionen verhalten sich bei x→∞ und x→-∞ gleich, während ungerade Funktionen entgegengesetztes Verhalten zeigen.
Es gibt mehrere wichtige Potenzgesetze. Bei Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden Exponenten addiert (a^r · a^s = a^(r+s)), während bei Division Exponenten subtrahiert werden (a^r : a^s = a^(r-s)). Bei Potenzen mit gleichem Exponenten, aber verschiedenen Basen, gilt (a·b)^r = a^r·b^r. Die Potenzgesetze Übersicht umfasst außerdem noch Regeln für negative und rationale Exponenten sowie für das Potenzieren von Potenzen.
Transformationen wendest du an, wenn du die Form oder Position eines Funktionsgraphen verändern möchtest. Bei Verschiebungen nutzt du Formeln wie g(x)=f(x-c)+d, wobei c die horizontale und d die vertikale Verschiebung angibt. Für Streckungen verwendest du Substitution Beispiele wie g(x)=k·f(x) für vertikale Streckungen oder g(x)=f(a·x) für horizontale. Spiegelungen an den Achsen erreichst du durch f(-x) oder -f(x), was in vielen Verhalten im Unendlichen Aufgaben relevant ist.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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