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Trigonometrie
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Rebecca Münchenbach
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Zusammenfassung Sinus und Kosinus
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TRIGONOMETRIE Wiederholung SINUS/Kosinus am rechtwinkligen Dreieck Hypothenuse ← Sinus/KOSinus im Einheitskreis Kreis mit Radius_r=1 => Hypothenuse hat Länge 1 90˚° = 1/2 TT= 180° -1 Ankathete Bogenmaß Gegenkathete 1 270° sin (d) Winkel im Gradmaß: TR auf D Winkel im Bogenmaß: TR auf R =360° Cos (α) sin (K) = cos (α) = Gegenkathete Hypothenuse Ankathete Hypothenuse sin (d) = H => sin(x) = Gegenkathete A н => Cos (d) = Ankathete cos (d) = (Einheitskreis vergrößert) → jeder Winkel & hat Länge des zugehörigen Kreisbogen x Umfang des Kreises : 2π r = 2π (1x herum genau 2πt lang (2πT ≈ 6,28) at=1 umrechnung: x=2 tt 360° (-1/2) () (-1/0) 180°! Z (-4,-3) (F-¹) d = X-360 2TT у (0/1) FIN 90° -300- 270° 14.00. ald Hawk (1,147) (4,4) 邊 330° (0/-1) Arbeit: 14.01.2022 5 | 4 | 5 A/M 10°-21 (1/0) AN (1₁-15) (4-22) Sin X (法) Sinus u. Kosinusfunktion Sinusfunktion f(x)=sin(x) D -1 -3 10 Kosinusfunktion f(x) = cos(x) Ⓡ 45° on/2 45° -2n -3n2 90° 비디 દાન Kosinus funktion -in A/2 0 -1 0 TC 180° TC 180° n/2 Sinusfunktion n 31/2 270 * 270 2n 5m/8 3r 2TT 360° 210 360° 74/2 Die allgemeine sinusfunktion f(x) = a. Sin (b.(x-C))+d verschiebung in y-Richtung Verschiebung in y-Achsenrichtung bei "+" nach links, bei "-" nach rechts je größer a, desto größer die Amplitude der Kurve →Streckung in y-Richtung a<0: Graph an x-Achse gespiegelt -5n/2 -2n verschiebung u.streckung der Sinusfunktion -3r/2 Periode P -П je größer b, desto kürzer die Periode lal = Amplitude c* = Verschiebung bei einer Sinusfunktion C** = Verschiebung bei einer kosinusfunktion nô →Streckung in x-Richtung um Die Periode p= 2 b=27 ↓ Streckfaktor tat -π/2 6 2 1 0 -1 (# 0 (** π/2 П 101 3m/2 5 2r Mittellinie =0 5m/2 Eigenschaften der Sinus- u. Kosinusfunktion Eigenschaften Periode Jullstellen Wertebereich Mittellinie Hochpunkte (x-Werte) Tiefpunkte (x-Werte) Symmetrie Werte am Einheitskreis f(x) = sin(x) unendlich viele immer ein T-Wert auseinander X=K-T 360° = 21 XK W = [-1;1] y = 0 (x-Achse) = TC x=2 tk.2.T (k = jede Zani) 3.TT 2 (k=jede Zahi) + k·2·T f(x) = cos(x) + + 360° = 2T 플: 3:5 I x=+K·π (K=jede Zani) W=[-1; 1] y = 0 (x-Achse) x = K 2TT X=T +K 2TT (k=jede zani) (k=jede Zani) punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur y-Achse + + Trigonometrische Gleichungen a)...
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Alternativer Bildtext:
bei Funktionen, die nur in y-Achsenrichtung gestreckt/verschoben Bsp. Sinus => f(x) = a sin(x) +d 2 sin(x) + 1 = 2,5 2sin(x) = 1,5 Sin (x) = 0,75 x₁ = 0,85 x₂ =TC-X₁ X₂=TC-0,85 x₂ = 2,29 Lösungen im Intervall XE [-21; 3T] 1-1 1:2 I sin-¹ x3 = x₁ + 2TC = 7,13 X = X₁-2πC = -5,43 8 X5 X₂ + 2 = 8,57 X6=x₂-2TC = -3,99 Beispiel Substitution wird sin(x) = 1 sin (z) =1 b) Gleichungen, auch in x-Richtung verändert x₁ = πC benötigt f(x) = sin(x) = 1 | sin="() x=1.2 | Sin () Z₁ = ²/1 2₂ = π-²π = ²/1 x₁ = 2.²π = π x₂ = 2.²π = π Kosinus 4COS (x) -1=1 4 COS (x) = +2 cos (x) = 3 x₁ = π x₂ = π X = X₁ + K 2TC oder x = x₂ + K.2TC Periode p=2 = 21² IL = {x\ x =TL+K-4TT, KEZ} alle Lösungen gefragt alle x getroffen durch ISubstitution x=2 | Resubstitution IL = {x ER\x₁+K-2TC oder (Taschenrechner auf R) x=2 X = 22 1+1 1:4 | cos-1 8 = 2π = ²/2 = 2T ¹ ² = 4T : . KEZZ KEZZ X₂ + K-2T ; KEI} 1. nach x auflösen (mit umstellen u. cos-¹ oder sin-¹) 2. Sinus: X₂=TC-X₁ Kosinus: X₂ = -X1 3. Lösungen in einem Intervall überprüfen 1. nach x auflösen 2. Substitution, nach z, auflösen Sinus: 2₂-2₁ Kosinus: 2₂= -2₁ 3. Resubititution (x₁, x₂) 4. Periode p berechnen für weitere Lösungen x3 = x₁ +p X5 = x₂ + P Худ * Ха - р x6 = x₂-P allgemein: IL = {x|x₁+ k· P₁x₂ +K⋅p KEZ}