Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite bietet eine detaillierte Übersicht über die wichtigsten Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen. In tabellarischer Form werden verschiedene Aspekte wie Periode, Nullstellen, Wertebereich, Mittellinie, Hoch- und Tiefpunkte sowie Symmetrieeigenschaften für beide Funktionen gegenübergestellt.

Definition: Die Periode einer trigonometrischen Funktion ist der kleinste positive Wert, nach dem sich die Funktionswerte wiederholen.

Für die Sinusfunktion werden folgende Eigenschaften hervorgehoben:

• Periode: 360° oder 2π
• Nullstellen: x = k · π (k ∈ ℤ)
• Wertebereich: [-1, 1]
• Punktsymmetrie zum Ursprung

Für die Kosinusfunktion gelten ähnliche, aber leicht verschobene Eigenschaften:

• Periode: 360° oder 2π
• Nullstellen: x = π/2 + k · π (k ∈ ℤ)
• Wertebereich: [-1, 1]
• Achsensymmetrie zur y-Achse

Highlight: Beide Funktionen haben unendlich viele Nullstellen und einen Wertebereich von [-1, 1].

Diese Zusammenstellung der Eigenschaften ist besonders nützlich für das Verständnis des Verhaltens der Funktionen und für die Lösung trigonometrischer Gleichungen und Probleme.

Trigonometrische Gleichungen

Diese Seite widmet sich der Lösung trigonometrischer Gleichungen und präsentiert verschiedene Methoden für unterschiedliche Typen von Gleichungen.

Für Gleichungen, die nur in y-Richtung gestreckt oder verschoben sind, wird folgende Vorgehensweise erläutert:

1. Umformen der Gleichung in Standardform
2. Berechnung des ersten Lösungswinkels
3. Bestimmung weiterer Lösungen durch Periodizität

Beispiel: Für die Gleichung 2 sin(x) + 1 = 2,5 wird Schritt für Schritt die Lösung gezeigt.

Für komplexere Gleichungen, die auch in x-Richtung verändert sind, wird die Substitutionsmethode vorgestellt:

1. Substitution der inneren Funktion
2. Lösen der vereinfachten Gleichung
3. Resubstitution zur Bestimmung der Lösungen

Highlight: Bei der Substitutionsmethode ist es wichtig, die Periode der transformierten Funktion zu berücksichtigen.

Abschließend wird eine allgemeine Lösungsmenge für trigonometrische Gleichungen präsentiert:

Formel: L = {x | x = x₁ + k · P oder x = x₂ + k · P, k ∈ ℤ}

Diese Methoden und Beispiele bieten eine umfassende Anleitung zur Lösung verschiedener Arten von trigonometrischen Gleichungen und sind besonders nützlich für fortgeschrittene Anwendungen in der Mathematik und Physik.