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Trigonometrie
2.2.2022
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TRIGONOMETRIE Wiederholung SINUS/KOsinus am rechtwinkligen Dreieck Hypothenuse TT = 180° Ankathete Sinus/KOSINUS im Einheitskreis Kreis mit Radius r=1 => Hypothenuse nat Länge 1 90° = T Bogenmaß Gegenkathete 270° sin (d) 0° 1=360° Winkel im Gradmaß: TR auf D Winkel im Bogenmaß. TR auf R COS (α) ->> jeder Winkel d hat Länge des zugehörigen Kreisbogen x sin (K) = cos (α) = Gegenkathete Hypothenuse umrechnung: Ankathete Hypothenuse Sin (d) = GE => sin (d) = Gegenkathete A cos(d) = H => Cos (d) = Ankathete Umfang des Kreises 2T r = 21 (1x herum genau 2πt lang (2π 26,28) 7t=1 (Einheitskreis vergrößert) X = 2.2k 360° (-3) (52) (-3) (-1/0) 180 (3) (F='-) d = X-360 2TT 个y (0/1) II 190⁰ 270° KIMENA 8. (2,4) (¹) cos Sin 10°-21 (1/0) (1,1) |(1,5) (0/-1) Arbeit: 14.01.2022 (3) (12) Sinus u. Kosinusfunction Sinusfunktion f(x) = Sin (x) 10 -3 45° Kosinusfunktion f(x) = CoS (x) 4 बने 10 45° -1 on / 2 -2n 얘웅 -3n/2 WITHO Kosinus funktion 1/2 ग 0 TC 180° TC 180° n/2 Sinusfunktion ऑ/2 270 270 2n 5m/ 3m 2 360° 2C 360° 7ी / 2 Die allgemeine sinusfunktion f(x) = a Sin (b (x − C)) + d- Verschiebung in y-Achsenrichtung bei "+" nach links, bei "-" nach rechts je größer a, desto größer die Amplitude der Kurve →> Streckung in y-Richtung a<0 : Graph x-Achse gespiegelt -5m/2 -2n verschiebung u. streckung der Sinusfunktion -3n/2 Periode P -n →verschiebung in y-Richtung lal = Amplitude C* = Verschiebung bei einer Sinusfunktion (** = Verschiebung bei einer kosinusfunktion je größer b, desto kürzer die Periode → Streckung in x-Richtung um Die Periode p = 2 b=2 حون lat 2 -M/2 1 0 0 m/2 T ↓ Streckfaktor lal 3m/2 2n Mittellinie =0 5n/2 Eigenschaften der Sinus- u. Kosinusfunktion Eigenschaften Periode Nullstellen Wertebereich Mittellinie Hochpunkte (x-Werte) Tiefpunkte (x-Werte) Symmetrie Werte am Einheitskreis f(x) = sin(x) 360° = 2πt unendlich viele ・immer ein T-Wert auseinander X=K-TC W = [-1;1] y =O (x-Achse) (k =jede Zani) X= X = 1 / + k·a. π (k =jede zahi) XK = 3 + k.2. π punktsymmetrisch zum Ursprung + f(x) = cos(x) 360° = 2T 플, 3푼 5플 x...
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= =/= + K⋅ π[ (K= jede zanı) W=[-1,1] y=0 (x-Achse) x = K 2TC X=T + K· 2TT (k=jede Zani) (k=jede Zani) achsensymmetrisch zur y-Achse + + Trigonometrische Gleichungen a) bei Funktionen, die nur in y-Achsenrichtung gestreckt/verschoben Bsp. Sinus => f(x) = a sin(x) +d 2 sin(x) + 1 = 2,5 2sin(x) = 1,5 Sın (x) = 0,75 x₁ = 0,85 x₂ = πC-X₁ X₂ = π-0,85 x₂ = 2,29 Lösungen im Intervall x € [-2T; 3T] |-1 1:2 I sin-¹ x3 = x₁ + 2TC = 7,13 X4 X₁2 TC = -5,43 X5 X₂ + 2 = 8,57 x6 = x₂2TC = -3,99 Beispiel sin(x) = 1 sin (Z) = 1 Z₁ = π b) Gleichungen, auch in x-Richtung verändert f(x)=sin(x) = 1 Isin () x=1-2 X₁ = πC Substitution wird benötigt I sin () 2₂= π-π = x₁ = 2π = πC x₂ = 2π = π Kosinus 4COS (x) -1=1 4 COS (x) = +2 cos (x) = / x₁ = π x₂ = π | Substitution x=2 Periode p=27=2T IL = {x\ x=TL + K.4TT, KEZZ} alle Lösungen gefragt alle x getroffen durch X = X₁ +K 2TC oder x= x₂ + K-2TC = 2TC: | Resubstitution IL={x ER\x₁+ K-2TC oder x=2 X = 2z C: ²/3 = 2 π · ²/² = (Taschenrechner auf R) 1+1 1:4 | cos-1 = 4T KEZZ KEZZ X₂ + K. 2π; KEI} 1. nach x auflösen (mit umstellen u cos-¹ oder sin-¹) 2. Sinus: X₂ =TC-X₁ Kosinus X₂= -X1 3. Lösungen in einem Intervall überprüfen 1. nach x auflösen 2. Substitution, nach z, auflösen Sinus: 2₂ TC-2₁ Kosinus: 2₂ -2₁ 3. Resubititution (x₁, x₂) 4. Periode p berechnen für weitere Lösungen x3 = x₁ +p *5 = x₂ + P ху - Х1-р x6 = x₂ - P allgemein: IL = {x|x ₁ + k· P₁x₂ +K⋅P KEZ}