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Sinus, Cosinus und Tangens leicht erklärt: Dreiecke & Einheitskreis

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Rebecca Münchenbach

2.2.2022

Mathe

Trigonometrie

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Funktionen und analysis

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Fortgeschrittene trigonometrische funktionen

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Sinussatz

Sinus, Cosinus und Tangens leicht erklärt: Dreiecke & Einheitskreis

Der Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in die Trigonometrie, mit Schwerpunkt auf Sinus, Cosinus und Tangens. Er erklärt grundlegende Konzepte wie das rechtwinklige Dreieck, den Einheitskreis und trigonometrische Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Eigenschaften und Anwendungen von Sinus- und Kosinusfunktionen sowie auf die Lösung trigonometrischer Gleichungen gelegt.

  • Detaillierte Erklärungen zu Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und Einheitskreis
  • Ausführliche Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktionen, einschließlich ihrer Eigenschaften und Transformationen
  • Praktische Anleitung zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit verschiedenen Methoden
  • Zahlreiche Beispiele und visuelle Darstellungen zur Veranschaulichung der Konzepte
...

2.2.2022

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TRIGONOMETRIE Wiederholung SINUS/KOsinus am rechtwinkligen Dreieck Hypothenuse TT = 180° Ankathete Sinus/KOSINUS im Einheitskreis Kreis mit

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Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die grafische Darstellung und die grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen. Die Graphen beider Funktionen werden detailliert dargestellt, wobei wichtige Punkte wie Nullstellen, Extremwerte und Periodizität hervorgehoben werden.

Beispiel: Die Sinusfunktion fxx = sinxx hat eine Periode von 2π und einen Wertebereich von −1,1-1, 1.

Die Kosinusfunktion wird als eine um π/2 verschobene Version der Sinusfunktion dargestellt, was ihre enge Beziehung zueinander verdeutlicht.

Highlight: Beide Funktionen haben eine Amplitude von 1 und sind periodisch mit einer Periode von 2π.

Die Graphen zeigen deutlich die charakteristischen Wellenbewegungen beider Funktionen und ihre Symmetrieeigenschaften. Diese visuelle Darstellung ist entscheidend für das Verständnis des Verhaltens trigonometrischer Funktionen und bildet die Grundlage für komplexere Anwendungen in der Mathematik und Physik.

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Die allgemeine Sinusfunktion und ihre Transformationen

Diese Seite behandelt die allgemeine Form der Sinusfunktion und ihre Transformationen. Die Formel fxx = a · sinb(x−cb(x - c) + d wird eingeführt und jeder Parameter detailliert erklärt.

Formel: fxx = a · sinb(x−cb(x - c) + d

Dabei wird die Bedeutung jedes Parameters erläutert:

  • a beeinflusst die Amplitude
  • b verändert die Periode
  • c verschiebt die Funktion horizontal
  • d verschiebt die Funktion vertikal

Beispiel: Bei a > 1 wird die Amplitude vergrößert, bei 0 < a < 1 verkleinert.

Die Auswirkungen der Parameteränderungen auf den Graphen werden visuell dargestellt und erklärt. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Periode der Funktion gelegt, die durch den Parameter b beeinflusst wird.

Highlight: Die Periode P der transformierten Sinusfunktion beträgt P = 2π / |b|.

Diese Erklärungen und visuellen Darstellungen sind entscheidend für das Verständnis, wie Sinusfunktionen manipuliert werden können, um verschiedene periodische Phänomene in der realen Welt zu modellieren.

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Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite bietet eine detaillierte Übersicht über die wichtigsten Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen. In tabellarischer Form werden verschiedene Aspekte wie Periode, Nullstellen, Wertebereich, Mittellinie, Hoch- und Tiefpunkte sowie Symmetrieeigenschaften für beide Funktionen gegenübergestellt.

Definition: Die Periode einer trigonometrischen Funktion ist der kleinste positive Wert, nach dem sich die Funktionswerte wiederholen.

Für die Sinusfunktion werden folgende Eigenschaften hervorgehoben:

  • Periode: 360° oder 2π
  • Nullstellen: x = k · π k∈Zk ∈ ℤ
  • Wertebereich: −1,1-1, 1
  • Punktsymmetrie zum Ursprung

Für die Kosinusfunktion gelten ähnliche, aber leicht verschobene Eigenschaften:

  • Periode: 360° oder 2π
  • Nullstellen: x = π/2 + k · π k∈Zk ∈ ℤ
  • Wertebereich: −1,1-1, 1
  • Achsensymmetrie zur y-Achse

Highlight: Beide Funktionen haben unendlich viele Nullstellen und einen Wertebereich von −1,1-1, 1.

Diese Zusammenstellung der Eigenschaften ist besonders nützlich für das Verständnis des Verhaltens der Funktionen und für die Lösung trigonometrischer Gleichungen und Probleme.

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Trigonometrische Gleichungen

Diese Seite widmet sich der Lösung trigonometrischer Gleichungen und präsentiert verschiedene Methoden für unterschiedliche Typen von Gleichungen.

Für Gleichungen, die nur in y-Richtung gestreckt oder verschoben sind, wird folgende Vorgehensweise erläutert:

  1. Umformen der Gleichung in Standardform
  2. Berechnung des ersten Lösungswinkels
  3. Bestimmung weiterer Lösungen durch Periodizität

Beispiel: Für die Gleichung 2 sinxx + 1 = 2,5 wird Schritt für Schritt die Lösung gezeigt.

Für komplexere Gleichungen, die auch in x-Richtung verändert sind, wird die Substitutionsmethode vorgestellt:

  1. Substitution der inneren Funktion
  2. Lösen der vereinfachten Gleichung
  3. Resubstitution zur Bestimmung der Lösungen

Highlight: Bei der Substitutionsmethode ist es wichtig, die Periode der transformierten Funktion zu berücksichtigen.

Abschließend wird eine allgemeine Lösungsmenge für trigonometrische Gleichungen präsentiert:

Formel: L = {x | x = x₁ + k · P oder x = x₂ + k · P, k ∈ ℤ}

Diese Methoden und Beispiele bieten eine umfassende Anleitung zur Lösung verschiedener Arten von trigonometrischen Gleichungen und sind besonders nützlich für fortgeschrittene Anwendungen in der Mathematik und Physik.

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Fortgeschrittene trigonometrische funktionen

Sinussatz

 

Mathe

•

14.788

•

2. Feb. 2022

•

5 Seiten

Sinus, Cosinus und Tangens leicht erklärt: Dreiecke & Einheitskreis

R

Rebecca Münchenbach

@rebecca_29.06

Der Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in die Trigonometrie, mit Schwerpunkt auf Sinus, Cosinus und Tangens. Er erklärt grundlegende Konzepte wie das rechtwinklige Dreieck, den Einheitskreis und trigonometrische Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Eigenschaften und Anwendungen von... Mehr anzeigen

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Sinus- und Kosinusfunktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die grafische Darstellung und die grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen. Die Graphen beider Funktionen werden detailliert dargestellt, wobei wichtige Punkte wie Nullstellen, Extremwerte und Periodizität hervorgehoben werden.

Beispiel: Die Sinusfunktion fxx = sinxx hat eine Periode von 2π und einen Wertebereich von −1,1-1, 1.

Die Kosinusfunktion wird als eine um π/2 verschobene Version der Sinusfunktion dargestellt, was ihre enge Beziehung zueinander verdeutlicht.

Highlight: Beide Funktionen haben eine Amplitude von 1 und sind periodisch mit einer Periode von 2π.

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Die allgemeine Sinusfunktion und ihre Transformationen

Diese Seite behandelt die allgemeine Form der Sinusfunktion und ihre Transformationen. Die Formel fxx = a · sinb(x−cb(x - c) + d wird eingeführt und jeder Parameter detailliert erklärt.

Formel: fxx = a · sinb(x−cb(x - c) + d

Dabei wird die Bedeutung jedes Parameters erläutert:

  • a beeinflusst die Amplitude
  • b verändert die Periode
  • c verschiebt die Funktion horizontal
  • d verschiebt die Funktion vertikal

Beispiel: Bei a > 1 wird die Amplitude vergrößert, bei 0 < a < 1 verkleinert.

Die Auswirkungen der Parameteränderungen auf den Graphen werden visuell dargestellt und erklärt. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Periode der Funktion gelegt, die durch den Parameter b beeinflusst wird.

Highlight: Die Periode P der transformierten Sinusfunktion beträgt P = 2π / |b|.

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Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktionen

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Definition: Die Periode einer trigonometrischen Funktion ist der kleinste positive Wert, nach dem sich die Funktionswerte wiederholen.

Für die Sinusfunktion werden folgende Eigenschaften hervorgehoben:

  • Periode: 360° oder 2π
  • Nullstellen: x = k · π k∈Zk ∈ ℤ
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Für die Kosinusfunktion gelten ähnliche, aber leicht verschobene Eigenschaften:

  • Periode: 360° oder 2π
  • Nullstellen: x = π/2 + k · π k∈Zk ∈ ℤ
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Trigonometrische Gleichungen

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Trigonometrie: Grundlagen und Anwendungen

Diese Seite führt in die Grundlagen der Trigonometrie ein, mit besonderem Fokus auf Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis. Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen und den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks werden erläutert. Der Einheitskreis wird als wichtiges Konzept eingeführt, um trigonometrische Funktionen für alle Winkel zu verstehen.

Definition: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems.

Die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß wird erklärt, was für das Verständnis der trigonometrischen Funktionen im Einheitskreis wesentlich ist.

Highlight: Im Einheitskreis entspricht die Länge des Kreisbogens dem Winkel im Bogenmaß.

Die Sinus- und Cosinus-Funktionen werden im Kontext des Einheitskreises definiert:

Formel: sinαα = Gegenkathete / Hypothenuse, cosαα = Ankathete / Hypothenuse

Diese Definitionen bilden die Grundlage für das Verständnis der trigonometrischen Funktionen in komplexeren Kontexten.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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