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Übersicht Analysis
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Julia Reichle
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Übersicht für das mündliche Abitur: Thema Analysis Enthält: Funktionen und ihre Graphen, usw. (Mündliches Mathe Abitur 2021 BW)
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GRUNDLAGENAbleitungsregeln:Potenzregel: f(x) = x^nFaktorregel: f(x) = c.g(x)Summenregel: f(x) = g(x) + n(x)Lineare Kettenregel: f(x) = u(mx+c)Produktregel: f(x) = u(x).v(x)TangenteGleichung der Tangente im Punkt P(a,f(a)): y = f'(a)· (x-a) + f(a)Monotoniesatz·1st f'(x) >0, so ist f streng monoton wachsend·1st f'(x) <0, so ist f streng monoton fallendExtremstellen:1. Notwendige Bedingung f'(x)=02. Hinreichende Bedingung f"(x) >0 (TP)/f"(x) <0 (HP)Wendestellen:1. Notwendige Bedingung f"(x)=02. Hinreichende Bedingung f(x) >0 (RL-WP) /f"¹¹(x) <0 (LR-WP)Trigonometrische Funktionen:f(x)= asin (b(x-cll+dAmplitude aFUNKTIONEN & IHRE GRAPHENDie NEW-Regel: Strecken, verschieben und Spiegeln:g(x)= a f(x-c) +dStreckung in y-Richtung um averschiebung in x-Richtung um cverschiebung in y-Richtung um dg(x) entsteht aus f(x) für: g(x) = f(-x)Spiegelung y-Achse · g(x) = -f(x)Spiegelung x-Achse · g(x)=f(-x)Spiegelung UrsprungStreckung in y-RichtungPeriode p= 211Streckung in x-Richtung c und d (s.o.)F NEW 32 3 w NEW NEWEXPONENTIALFUNKTIONENNatürliche Exponentialfunktion: f(x)= exEuler'sche Zahl e=2, 718...Es gilt f(x) = f'(x)Natürlicher Logarithmus: a= ln (b)ea = bFür b>0 gilt ein(b) = bFür gilt in (e)=Cex=b x = (n (b)ANALYSIS= HP vzw von + vzw von + = TP (kein vzw = doppelte NS SP)N= NS mit VZW vom Funktionsterm zum Graphen:1. Bestimmung der Nullstellen mit ihrer Vielfachheit.2. Untersuchung des Verhaltens für x = ±∞.3. Untersuchung auf Symmetrie (y-Achse / Ursprung).4. Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten.Anwendungen von Graphen und Funktionen:Wenn f(x) die Änderungsrate einer Größe beschreibt, gilt:Bestandszunahme im Intervall ²fcxidxGröße des Bestands zum Zeitpunkt + Zeitpunkt an dem der Bestand gleich ist, wie zu Beginn J+AB(t)= B(0) + St^f(x)dx=0 So fcxidxVerhalten einer Funktion für x±∞:Für gilt x^. exoFür x + gilt x^. e* +Für x +o gilt xn.exoFür x- gilt x^. e¯*+0, falls n gerade istFür x- gilt x^. ex -00, Ifalls n ungerade istINTEGRALRECHNUNGBestimmtes Integral: ∫a^b f(x) dxHauptsatz: ∫b^a f(x) dx = [F(x)] = F(b)- - F(a)Stammfunktionen:xrexc.g(x)g(x) + n(x)g(mx+c)GRUNDFUNKTIONENV # X 2 3 XKaren A x ^/X ^/x²Verhalten für x ± 0: (Ausdruck mit nächster Potenz einsetzen von großen / kleinen Zahlen)z. B. f(x)= 3x² - 7xProdukt: 1 für f(x) +o gilt x +0 für foxl-0 gilt x +0LÖSEN VON GLEICHUNGENQuadratische Gleichung: ax²+bx+c =0Mitternachtsformel: z= (-b± √(b²-4ac))/2aPolynom: P(x) · Q(x) = 0SUNP: p(x)=0 oder g(x)=0TRIGONOMETRISCHE GRUNDFUNKTIONENSin (x)Symmetrie: nur gerade ExponentenCos (x)Achsensymmetrisch: nur ungerade ExponentenPunktsymmetrisch: gerade und ungerade Exponenten keine SymmetrieJeder Summand enthält X:x³-bx² + cx =0Ausklammern: x (x²-bx+c)=0Substitution (Beispiele):1. ae* + be* +C =02. ax + bx² +C =03. a (sin(x1)² + b sin(x) +C =0
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