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Übersicht Geometrie
1.7.2021
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PUNKTE P(x₁1x21x3) Mittelpunkt: Mab= (a+b₁|a₂+ b₂ | a3 + b3) 2 Abstand: AB=√ (b₁-a₂)² + (b₂-a₂)² + (b3-A3) ²² GERADEN geradengleichung: 9:x=p+ru Geradengleichung aufstellen: geg: A (ala₂ laz), B (b₁1b₂ 103) L 9:x= a + r. ab = +( Lage zweier geraden: Punk+probe? 74 Identisch Parallel Sind die Richtungs- vektoren vielfacne? Lage von gerade und Ebene: g und E schneiden sich ↓ Durchstoppunkt berechnen: a.(p+s-u₂)+ b.(P₂ +5.4₂) + C. (P3+5.43) = d ↳s berechnen und in g einsetzen. Einneitsvektor: no =TAT Nein 93 Skalar produkt von un +0 =O n b₁-a b₂-a2 VEKTOREN Punktprobe mit dem Stūtzpunkt P Ortsvektor a= (9) 4 •Weg vom ursprung zum Punkt A Vektor: AB = 9 ܝܐ Geraden guichsetzen → Lösung? Schnittpunkt windschief g liegt in E gist echt parallel zu € b3-a3 • Weg von Punk+ A (a, laz laz) zum Punkt B (b₁ 10₂ 103) P ū b₁- b₂- g Gerade Stūtzvektor Richtungsvektor X₂ Lage zweier Ebenen : P/Q liegt in F/E ↓ identisch E und F sind identisch oder ecn+ parallel Betrag / Länge: lal= |(3)| Summe zweier Vektoren: Beispiel: E: X= a + r. ab + s. ac Stütevektor Spannvektoren GEOMETRIE EBENEN ne und n sind vielfache Ja Nein P/Q liegt nich+ in F/E ↓ echt parallel Produkt eines vektors: r.a = r. (a)-(F) a3 Linearkombination: r·a+s⋅ b + t.c Parameterform: E: x = p E und F Schneiden sich in einer geraden ↳Skalarproduk+ NE NE +S.V +0 •/\-^ a+b= E und F sind nicht orthogonal ХА *3 E und F sind orthogonal ac a₂ + az b₁ Spurpunkte: S(-alolo) S₂ (01-b10) S3 (0101-C) Ebenenguichungen umformen: $3 XAK Koordinatenform: Ebenen veranschaulichen: Parameterform: EX= a + r. ab + s. ac E: ax₁ + bx₂ + Cx3 =d Normalen vektor n = b ↳ Stent orthogonal zur Ebene E Koordinaten form: E: ax₁ + bx₂ + Cx3 =d mit d = aan + baz₂ + caz Ebene mit 3 Spurpunkten: ХА S₂ n = ab x ursprung (01010) X₂ SA ac mit...
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n Ebene mit 1 Spurpunkt: X3 AB Spurpunkte Spurgeraden Ebene Ebene mit 2 Spurpunkten: 4x3 X₂ X₂ SA nh 52 X₂ ABSTANDE Abstand Punkt - Ebene: 1. Aufstellen einer lotgeraden g: 9:x=p²+r-ne 2. Bestimmen des Lotfußpunktes F. →F= Durchstoßpunkt 9 und E. 3. Abstand d (P; E) ist der Betrag von PF. WINKEL COS (K) = XP - 1 FX 19 d Winkel zwischen vektoren: α ist der winkel zwischen vektor à und b. → 0° x = 180° h COS(x)= à 121.151 Schnittwinkel zwischen ... ... Zwei Geraden: lu. Vi 11.11 LotfuBpunkt Lotgerade Abstand d (PiE) = IPFI Sin (x)= 9 Sinus verwenden V D n 9 SPIEGELUNG Punktspiegelung an einem Punkt z .einer gerade und einer Ebene: Ine u Incl·lul n₂ ... zwei Ebenen: OP COS(x)= P E P2 02 Normalenvektor verwenden Ine ne Inel Infl OP 7 zpi 1. Ein Punkt P, Sein Bildpunkt pl und das Zentrum z liegen auf einer geraden. 2. Es gilt: OP¹ = 0² + PZ GEOMETRIE VEKTORPRODUKET Vektorprodukt az bz - Qz bz ã xổ la3bì 0103 lan b₂-a₂ ba Merkhilfe: -a a₂ a3 a az 0-3 br 0₂ ∙D3 B₁ D₂ -65 Spiegelung an einer Ebene €: X₁ OP ↑o x to P OF FPI 'P' OB Fu₂ ↑o x to PF Flächeninnalt parallelogramm: A= lax bl 6 a Flacneninhalt Dreieck: A=4 lax bl 1. Ein Punkt P, sein Bildpunkt P' und der Lotfußpunkt F des Lotes vom Punk+ P auf liegen auf der Lotgeraden. 2. Es gilt: Opi = OF + PF a volumen Spa+: v= |c. (axb)| b volumen Pyramide: v=1-(²x)