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Untersuchung einer Kurvenschar
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Übung 1 Untersuchung einer Kurvenschar Gegeben ist die Kurvenschar f(x) = x² - (a + 1) x + a (a € R, a ≥ 1). . a) Untersuchen Sie f, auf Nullstellen und Extremstellen. b) Skizzieren Sie die Graphen von f₁, f₂ und f3 für -1 ≤x≤ 4. c) Welche Kurve der Schar f hat an der Stelle x = 2 ein lokales Extremum? d) Welche Kurve der Schar f. hat genau eine Nullstelle? e) Berechnen Sie eine Stammfunktion von få. f) Wie groß ist der Inhalt des Flächenstücks A₂, welches im 1. Quadranten vom Graphen von f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossen wird? g) Für welchen Wert von a hat das Flächenstück A aus Teil f) den Inhalt? a Übung 2 Untersuchung einer Kurvenschar Gegeben ist die Kurvenschar f(x)=x²-ax-2a² (a = R, a ≥ 0). a) Führen Sie eine Kurvenuntersuchung von f durch (Nullstellen, Extrema). b) Skizzieren Sie die Graphen von få, få und f₁,5 für −2 ≤x≤3. c) Welche Kurve der Schar få hat an der Stelle x = 2 ein lokales Extremum? d) Welche Kurve der Schar f hat genau eine Nullstelle? e) Wie lautet die Gleichung der Tangente t in der Nullstelle bei x = a? Für welches a schneidet die Tangente t, die y-Achse bei -3? g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A,...
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die von f₁ und den Koordinatenachsen im 4. Qua- dranten eingeschlossen wird. S. 152/ Übung 1+2 ÜBUNG 1: 2 Kurvenschar: f₁(x) = x² - (a + 1) x + a Ableitungen: f(x) 2x - (a + 1) fő"(x) = 2 Untersuchung einer Kurvenschan a) Nullstellen: f(x) = 0 X X X X 0 = x ² − (a + 1) · x + a -(a + 1) + 2 = = 11 = = = = at 1 2 a + 1 2 at^ 2 at 1 2 2 a 2 a at 1 | + = +1 Extrema: 1. Notwendige Bedingung: f₁₂ ( x ) = 0 a+1 = 2 1+ + a-1 2 2х X - (a +1) ² 1-(a+^)") - a 2 p-q Formel // a² + 2a +1 4 a² - 2a + 1 4 (a-1) ² 4 V > > ча 4 X X = x = 0 = 2x - (a + 1) | + ( a + ₁) 1:2 at^ 2 2 حواده ^// - 17.12.20 (aER, az 1) Binomische Formeln: 2 (a + b ² ) = a ² + 2ab +6² a - 1 2 b) c) d) e) 2. Hinreichende Bedingung: Graphen: XT = Хл = a + 1 ୯୪ a Stammfunktion: => XT 2 -6 at 1 2 at 1 a => f₂ hat bei a => f₁_mit -4 = f(x) fa" (a+₁) = 2 ¡ -3 -2 || = f (x) -1 15 13 12 10 X = X 2 = a = 1 Fa (x) = = = = a+1 2 0 = ¡ 2 3 2 1 4 1-1 1/1 hat ^ 2 ^ 3 3 X XT 1.2 eine fő" ( ( x ) = 0 11 at1 2 ୯୪ Tiefstelle 2 x² - (a + 1) x + a 2 genau 1 Nullstelle X २ > 0 + ax → TP (lok. min.) f) g) Flächeninhalt Aa: ÜBUNG 2: Kurvenschar: Aa a) Nullstellen: = 11 0 X = 3 - ( 4 (1) ²- 9+₁ a +1 2 = = fa (x) Ableitungen: f (x) fa" (x) fa(x) - ⇒>> Für 1 3 [ ³ x ²³-1x² + ax] at1 2 X 2 داس 2 S x² - (a + 1) ·x + a 3 a Aa = - 4 + 2 승 = = = 1 6 = = </m = = лта 6 2 - - 0 X 2 + -a 2 વ|જ 2 a a=3 a+1 2 a 2 2 X - 2x 2 | + 718 a t 2 2 = = = = - та gilt + a 0 (1) ² + αa (1))-0 t/m 4 3 060 w w/co 3 ax a 0/0 0/+ - 4 Aa = 13/12 ml= ax π-- a ²- mit 4 A₂ = 3/1/1 Aa 4 1+ 4 1:2 3 2 dx + | m/+ a 3 2 ² - (- 1²/²2 a ²) 3 4 a 2 P-9 ) Skizze: Aa Formel 1 2 (aER, a>0) X b) Extrema: 1. Notwendige Bedingung: X y - Koordinate: Graphen: S = -6 S 018 a 0 -4 2 a 018 1,5a/1 f(x) = 0 a old 2. Hinreichende Bedingung: f(x) = 0 fa" (a) = = = -2 + а2 = +1 12 10 2х 2x x = a a 4 - A V // 88 fa ( ² ) = ( ² ) ² - 0 (²2) - 12/0² a 3 २ ૦૨ 2 a² → TP ( 2² / -a²) a a + a та 1:2 X fő" ( x ) = 0 वर 2 6 8 Flw 0,5 a 4 >0 a ll ⇒ TP (lok. min.) c) d) e) XT =f4 hat X₁ = m = ta (x) 3 => Funktion 0 0 -39² ⇒ta (x) - 3a² १२ a नल = जल a = 1,5 a 1,5a = 2 a = bei 2a = 11 = = mx + b - fa' ( ²³/2 a) 2a // 2 = = = = = 3a2 + b b メイ і хт 1 1 a 0 fo hat 2 2a (a) + b - 3 4 // x = 2 і х 0 2 0,5a || 2ax - 3a² = ✓ = 88 2 1.2 ein = -0,5 a 1 + 0,5 a 1:2 genau 1. (-3) : 1 ± 8 lokales 1-3a² 2 eine і хл 2 (²3/1/a)- a => f₁ hat eine Tangente bei bei y=3 schneidet = ax-1 а Extremum Nullstelle 3 2 a x= =/32 · 1, welche die y-Achse Flächeninhalt A: 1 1 f(x) = x2 1,5 A A A 2,25 -jx = A ~ रेट - - 115x - 12/2³ (115) ² = x2 - 1,5x- 1,6875 HM x²-115x-1,6875 dx [ 1/1/3 x 115 2 4, 98 (FE) 4,98 (FE) Skizze 2,25 2 X -1,6875x] 0 A AS V