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Mathe /
Untersuchung einer Kurvenschar
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studywithlara
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Lernzettel
- Ableitungen - Nullstellen - Extrema - Graphen - Stammfunktion - Flächeninhalt
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Übung 1 Untersuchung einer Kurvenschar Gegeben ist die Kurvenschar f(x) = x² - (a + 1) x + a (a € R, a ≥ 1). . a) Untersuchen Sie f, auf Nullstellen und Extremstellen. b) Skizzieren Sie die Graphen von f₁, f₂ und f3 für -1 ≤x≤ 4. c) Welche Kurve der Schar f hat an der Stelle x = 2 ein lokales Extremum? d) Welche Kurve der Schar f. hat genau eine Nullstelle? e) Berechnen Sie eine Stammfunktion von få. f) Wie groß ist der Inhalt des Flächenstücks A₂, welches im 1. Quadranten vom Graphen von f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossen wird? g) Für welchen Wert von a hat das Flächenstück A aus Teil f) den Inhalt? a Übung 2 Untersuchung einer Kurvenschar Gegeben ist die Kurvenschar f(x)=x²-ax-2a² (a = R, a ≥ 0). a) Führen Sie eine Kurvenuntersuchung von f durch (Nullstellen, Extrema). b) Skizzieren Sie die Graphen von få, få und f₁,5 für −2 ≤x≤3. c) Welche Kurve der Schar få hat an der Stelle x = 2 ein lokales Extremum? d) Welche Kurve der Schar f. hat genau eine Nullstelle? e) Wie lautet die Gleichung der Tangente t in der Nullstelle bei x = a? Für welches a schneidet die Tangente t, die y-Achse bei -3? g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A,...
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die von f₁ und den Koordinatenachsen im 4. Qua- dranten eingeschlossen wird. S. 152/Übung 1+2 ÜBUNG 1: 2 Kurvenschar: f(x) = x² - (a + 1) ·x + a X Ableitungen: f(x) 2x −(a +1) f("(x) Untersuchung einer Kurvenschan X X a) Nullstellen: f(x) = 0 X X = = 0 = x ² − (a + 1) · x + a 1 p-q Formel -(a + 1) = 2 - = = = = 2 a + 1 2 at 1 2 at^ 2 at 1 2 2 a 2 a " a+1 a+1 2 | + = + Extrema: 1. Notwendige Bedingung: f₁(x) = 0 = + + a-^ 2 |(-(a+^)") - a² ·(a ₁)² 2 2х X a² + 2a +1 4 // a² - 2a +1 4 (a-1) ² 4 V > > ta 4 x X = atl 2 = 0 = 2x −(a + 1) | + (a +^) 1:2 x = 2 ele 1 ^// - 17.12.20 (aER, az 1) Binomische Formeln: 2 (a + b ² ) = a ² + 2ab + b² a - 1 2 b) c) d) e) 2. Hinreichende Bedingung: Graphen: XT = Хл = a + 1 2 -6 a Stammfunktion: at1 2 at 1 a => f₁_mit a =>f₂ hat bei = f (x) 0 = ^ fa" (a+₁) = 2 2 XT ¡ -3 -2 = || -1 14 13 10 = ха 9+1 2 ☎ = X f₁ (x) = = a = 1 ; S 2 4 3 2 1 5 // hat 7 1 3 F₁(x) = 3 x² 8 XT 1.2 1-1 eine - f(" ( ( x ) = 0 11 at1 2 2 x² - (a + 1) x + a Tiefstelle 2 genau 1 Nullstelle Xx २ > 0 + ax → TP (lok. min.) f) g) Flächeninhalt Aa: ÜBUNG 2: Kurvenschar: Aa a) Nullstellen: = 0 = fa (x) Ableitungen: f(x) fa" (x) fa(x) X 3 - ( / (1) ² - 9+₁ a 2 = ⇒ Für - 1 [ 3x² - 41 x ² + ax ] ₁ at1 2 X 2 0 داس 3 = a Aa = - 4 + 2 = 1 6 = = = 33 </m = = 2 x ² − ( a + 1 ) · x + a dx - 1+а 6 2 - T 0 X 2 + -a 88 2 2 વ|જ a-3 a at 1 2 a 2 2 x² - |+ 718 = a t 2 = = 2 (1) ² +a (1))-0 gilt + a та t/m osko osim m 4 2x - a 2 3 ax - 0/8 %+ - 3 ax √(-2)²- F/w Aa = 11/1/20 4 1 + 4/20 6 Aa = 1/3/20 12 flw ४ 2 + m/+ 3 a 2 3 ² -- (- ²/² a²²) 2 4 2 a Skizze: P-9 ) I|||PY Aa (aεR, a>0) Formel X b) Extrema: 1. Notwendige Bedingung: X y - Koordinate: Graphen: S -6 नल a 0 -4 नल a 1,5a/1 а f(x) = 0 a old = 2. Hinreichende Bedingung: f₁(x) = 0 fa" (g) = -2 1+ | + = = 12 10 a 2× 2x x = A аа 88 જ V // 2 fa ( ² ) = ( ² ) ²₁ - a (2) - ²/² a ² 3 а2 → TP ( ²2 / -a²) = al + a а 1:2 = a ૧૨ 4 2 X fő" ( x ) = 0 6 8 ml+ 3 0,5 a 4 >0 १२ a ll ⇒ TP (lok. min.)
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die von f₁ und den Koordinatenachsen im 4. Qua- dranten eingeschlossen wird. S. 152/Übung 1+2 ÜBUNG 1: 2 Kurvenschar: f(x) = x² - (a + 1) ·x + a X Ableitungen: f(x) 2x −(a +1) f("(x) Untersuchung einer Kurvenschan X X a) Nullstellen: f(x) = 0 X X = = 0 = x ² − (a + 1) · x + a 1 p-q Formel -(a + 1) = 2 - = = = = 2 a + 1 2 at 1 2 at^ 2 at 1 2 2 a 2 a " a+1 a+1 2 | + = + Extrema: 1. Notwendige Bedingung: f₁(x) = 0 = + + a-^ 2 |(-(a+^)") - a² ·(a ₁)² 2 2х X a² + 2a +1 4 // a² - 2a +1 4 (a-1) ² 4 V > > ta 4 x X = atl 2 = 0 = 2x −(a + 1) | + (a +^) 1:2 x = 2 ele 1 ^// - 17.12.20 (aER, az 1) Binomische Formeln: 2 (a + b ² ) = a ² + 2ab + b² a - 1 2 b) c) d) e) 2. Hinreichende Bedingung: Graphen: XT = Хл = a + 1 2 -6 a Stammfunktion: at1 2 at 1 a => f₁_mit a =>f₂ hat bei = f (x) 0 = ^ fa" (a+₁) = 2 2 XT ¡ -3 -2 = || -1 14 13 10 = ха 9+1 2 ☎ = X f₁ (x) = = a = 1 ; S 2 4 3 2 1 5 // hat 7 1 3 F₁(x) = 3 x² 8 XT 1.2 1-1 eine - f(" ( ( x ) = 0 11 at1 2 2 x² - (a + 1) x + a Tiefstelle 2 genau 1 Nullstelle Xx २ > 0 + ax → TP (lok. min.) f) g) Flächeninhalt Aa: ÜBUNG 2: Kurvenschar: Aa a) Nullstellen: = 0 = fa (x) Ableitungen: f(x) fa" (x) fa(x) X 3 - ( / (1) ² - 9+₁ a 2 = ⇒ Für - 1 [ 3x² - 41 x ² + ax ] ₁ at1 2 X 2 0 داس 3 = a Aa = - 4 + 2 = 1 6 = = = 33 </m = = 2 x ² − ( a + 1 ) · x + a dx - 1+а 6 2 - T 0 X 2 + -a 88 2 2 વ|જ a-3 a at 1 2 a 2 2 x² - |+ 718 = a t 2 = = 2 (1) ² +a (1))-0 gilt + a та t/m osko osim m 4 2x - a 2 3 ax - 0/8 %+ - 3 ax √(-2)²- F/w Aa = 11/1/20 4 1 + 4/20 6 Aa = 1/3/20 12 flw ४ 2 + m/+ 3 a 2 3 ² -- (- ²/² a²²) 2 4 2 a Skizze: P-9 ) I|||PY Aa (aεR, a>0) Formel X b) Extrema: 1. Notwendige Bedingung: X y - Koordinate: Graphen: S -6 नल a 0 -4 नल a 1,5a/1 а f(x) = 0 a old = 2. Hinreichende Bedingung: f₁(x) = 0 fa" (g) = -2 1+ | + = = 12 10 a 2× 2x x = A аа 88 જ V // 2 fa ( ² ) = ( ² ) ²₁ - a (2) - ²/² a ² 3 а2 → TP ( ²2 / -a²) = al + a а 1:2 = a ૧૨ 4 2 X fő" ( x ) = 0 6 8 ml+ 3 0,5 a 4 >0 १२ a ll ⇒ TP (lok. min.)