Vektoren

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mit Vektoren beschreiben Wieso handelt es sich um ein Parallelogramm, wenn AB = DC A ہے D AC Mittelpunkt M einer Strecke AB gilt: B с OM = 2 · (OA+OB) . AC =AD+DC AC=AB + BC Mittelpunkt Geraden im Raum Geradengleichung (Parameterdarstellung) Ortsvektor g: OX= OA + k • V A to ū Gerade durch die Punkte A und B hat die Parameter darstellung g: OX = OA + K. (OB - OA) mit kER, bzw. g: OX = OA + k AB mit ke R KER 1. Setzt man für k irgendeine Zahl in die Parameter darstellung der Geraden g ein, so ergibt sich der Ortsvektor OX eines Punktes der Geraden g. Richtungsvektor 2. Für jeden Punkt P der Geraden g gibt es eine Zahl kER, sodass OP = OA+ k·v Für Punkte außerhalb der Geraden g gibt es eine solche Zahl k nicht. Ziel: Sie werden die Punkte, in denen eine Gerade die Koordinatenebene durchstößt, berechnen Mit ihrer Hilfe können Sie die Lage einer Geraden im Raum gut darstellen OS12 Beispiel: g: x = Schnittpunkt S₁2 => 3. Koordinate muss O sein! OS12 Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen bezeichnet man als Spurpunkte der Geraden Durch das Einzeichnen dieser 3 Schnittpunkte bekommt man einen guten Eindruck vom Verlauf der Geraden im Raum = Spurpunkte einer Geraden Schnittpunkt S13 schneidet die (x₁, X3-Ebene) => 2. Koordinate muss O sein! Schnittpunkt S23 schneidet die (x2, X3-Ebene) => 1. Koordinate muss O sein! ххо k=4 O 20+k• (-5) ܘܘܘ schneidet die (x₁, x₂- "1 Für S12 X₂ -18 8 +k-2 20 Beispiel: ohne Spurpunkt Beispiel: g: x = 123 625 -18 8 +k-2 20 4 -Ebene) 120 625 2+k2 X₁ (8-) +- (2) = 2+k2 3 k einsetzen in die anderen beiden Gleichungen wir suchen den Spurpunkt der die x₁, x₂-Ebene schneidet -Die 3. Zeile ist wichtig, da diese Bedingungen erfüllt sein 0=3+k 0 0=3 keine Lösung Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x₁, x₂-Ebene Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen S₁2: X2 Beispiel: Gerade g: S₁2: X2 x= = 103 S₁₂=(51210) S₁3=(11013) S13: +r. 0=3+r.-3 ΧΟ S23 (01-0,513,75) +23 -3 +r. 2 -3 r = 1 S23x2 X3 S₁:0 Beispiel: Ebene E: X стоо S₁:0 Spurpunkte einer Ebene = Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen 11 O S2: x2 O = 3 4 + 4 + +• 3 679 LGS: S₁ = 3 + 6r+ 6t O = 4+4r-4t 0 = 3+9r+3+ CAS Math 1 → S, (31010) S₂(01410) $310101-3) 679 3 4 +r. 4 ++· |-4 3 O S3: 0 X3 S₂₁ = 3 WÁS 643 r = -0,5 Für r und t sind die beiden unteren Gleichungen O g13/ Das Gleiche für S2 und S3 machen $3 Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, dann keine genauen Werte + = 0,5 Spurgerade 23 812 Spurpunkt X₂ 1. Schritt g: x = h: x = 2. Schritt Liegt ein Punkt von g auf h? 2 (1) 3 Lagebeziehungen zwischen Ja (6) 5 g und h sind parallel zueinander und sogar identisch: g = h Sind die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander? gl|h Punktprobe +r. O 2 Ja O + s. \-4/ Geraden Nein g und h sind zueinander parallel, aber verschieden: g|lh mit g = h 2 g: x = 1 +r. O 3 h: x=2 + s. O -4/ Haben g und h einen gemeinsamen Punkt S? 9: x = 2 1 3. g und h sind nicht zueinander parallel: g Ilh h: x= -1 4 g und h schneiden sich in einem Punkt S Ja Nein +r. + s S(1115) Gleichsetzten O 2 g und h sind zueinander windschief g: x = 1 Nein h: x = 3. +r. O 2 2 +s / // xx h g=h h 1 2 2. Schritt (Punktprobe) = + s 9: OV =h:X [Oder h: OV = 9:x 2. Schritt (Gleichsetzten) g: x = h:x 2+(-1)r = 1 ] 1 = -1 +2s 3+ 2r=4+ s - Ir = -1 - 2s =-2 -s +2r= 1 -1+2·1=1+ :-1 :-2 = 0,5 S= -2 -1, -2s -3,- s => r = 1 => g = 1 Kommt das Gleiche heraus? 1. Parameter auf eine Seite bringen Parameter herausfinden In die letzte Gleichung einsetzten Mehrere identisch 9 9₁2 :X Lagebeziehungen Geraden und Ebenen Ja Mehrere oder einen? + r. Gibt es einen Schnittpunkt? (Gleichsetzen) Einen Spurgeraden Schnittgeraden (Punkte) einer Ebene E mit den Koordinatenebenen Aufstellen durch Spurpunkte: 1. Schnittpunkt = 3 O S 9 + r. 4 Nein parallel 9 Spurpunkte vom Beispiel: Spurpunkte einer Ebene I Das Skalarprodukt hängt mit der Projektion eines Vektors b auf einen Vektor a zusammen. Diese Projektion wird als b bezeichnet. Umgekehrt kann natürlich auch der Vektor a und b projiziert werden. 1-0 b 90° 10000 b a* b a Es gilt also: Sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander, so hat der Projektionsvektor keine Länge und das Skalarprodukt ist somit gleich Null. b a Skalarprodukt Skalarprodukt Das Vorzeichen des Skalarprodukt es gibt Aufschluss über den Winkel. Es gilt: genau dann, wenn a und b ab > O a* b < O O genau dann, wenn a und b genau dann, wenn a' und b a * b al-b 1_100 ba cos(x) x b ↑ Ico Die Berechnung ist wie folgt definiert: a * b CAS -> cos = einen spitzen Winkel (<90) einschließlichen Der Wert eines Skalars ist somit abhängig von der Länge des Vektors und vom eingeschlossenen Winkel. Verdoppelt man die Länge eines Vektors, so verdoppelt sich auch das Skalarprodukt. Deswegen ist die Länge des projizierten Vektors noch nicht direkt das Skalarprodukt. Dieses (bzw. der Betrag des Skalarproduktes, da es negative Flächen nicht gibt), ist der Flächeninhalt des Rechtecks, dass die Seitenlänge a und besitzt. einen stumpfen Winkel (90<<<180) orthogonal (90) zueinanderstehen Der Winkel liegt in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Ankathete b und der Hypothenuse b. Da die Länge eines Vektors positiv ist, wird mit den Beträgen der Vektoren gerechnet. a * b a-b a₁ b₁ a₂ * b₂ a3 b₂ a a₁b₁ + a₂b₂ + ab B GAGA HA G H sin Exkurs Trigonometrie Cos tan cotan Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck 1> LA cos(x) Wir bauen uns ein rechtwinkliges Dreieck Zusatz zum Skalarprodukt = ✓ *ū (V). (u) ∞ Parameterdarstellung einer Ebene Durch einen Punkt A + zweier Vektoren u#ound 6, die nicht parallel zueinander sind, ist eine Ebene bestimmt. Diese Ebene kann durch eine Parameterdarstellung mir den Paramtern s und + beschrieben werden: E: OX=OA+s•ū++ •v Stützvektor Spannvektor Eine Ebene hat verschiedene Parameter darstellungen. Beispiel: A(1121-1) Aufpunkt 18 O s, tER (00- () · () () E: OA= + s. -2 ++. OX x 3 ū= -2 v= -1 4 Ebene kann aus 3 Punkten aufgebaut werden E: OX=OA+S• AB+b• AC Taschenrechner Befehle - Analytische Geometrie Skalarprodukt zweier Vektoren u, v Betrag eines Vektors V Winkel zwischen zwei Vektoren u, v solve Funktion Punktprobe, Schnittpunkt etc. CAS -> Aktion -> Vektor dotp (u, v) norm (ū) angle (u, v)