Fächer

Mathe

Algebra

Vektorrechnung

Winkel zwischen zwei vektoren

Vektoren Grundlagen PDF: Aufgaben, Rechenregeln & Beispiele

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Öffnen

Vektoren Grundlagen PDF: Aufgaben, Rechenregeln & Beispiele

thestudyhub.alina

@thestudyhub.alina

881 Follower

Vektoren, Geraden und Ebenen: Eine umfassende Einführung in die Vektorgeometrie

Diese Präsentation bietet einen detaillierten Überblick über die Grundlagen der Vektorgeometrie, einschließlich:

Punkte im Raum und Ortsvektoren
Vektorrechnung (Addition, Subtraktion, Multiplikation)
Geradengleichungen und Ebenengleichungen
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Skalarprodukt und Orthogonalität
Winkelberechnung zwischen Vektoren

Die Präsentation vermittelt wichtige Konzepte und Formeln für die Vektorrechnung und bietet praktische Anwendungen in der Geometrie.

7.4.2021

1685

Addition von Vektoren

Die Seite erklärt die Addition von Vektoren, sowohl algebraisch als auch geometrisch. Vektoren werden koordinatenweise addiert, und die geometrische Interpretation wird durch die Dreiecksregel veranschaulicht.

Formel: Für die Addition zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

Highlight: Die geometrische Darstellung der Vektoraddition hilft, das Konzept visuell zu verstehen und anzuwenden.

Vektoren, Geraden & Ebenen
Übersicht Inhalte
• Punkte im Raum (Tupel)
Orts-/Verbindungsvektoren
●
• Der Betrag
●
• Geradengleichungen
●
●
Ad

Verbindungs- und Ortsvektoren

Hier werden zwei wichtige Vektortypen vorgestellt: Verbindungsvektoren und Ortsvektoren. Der Verbindungsvektor PQ beschreibt die Verschiebung von Punkt P zu Punkt Q. Der Ortsvektor OP ist ein spezieller Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt P.

Formel: Für den Verbindungsvektor PQ von P(p₁|p₂|p₃) zu Q(q₁|q₂|q₃) gilt: PQ = (q₁-p₁, q₂-p₂, q₃-p₃)

Highlight: Der Ortsvektor ist ein fundamentales Konzept in der Vektorgeometrie und bildet die Grundlage für viele weitere Berechnungen.

Öffnen

Abschluss

Die Präsentation endet mit einem ermutigenden Abschluss, der die Lernenden zum weiteren Studium der Vektorgeometrie motiviert. Es wird auf die Quelle des Materials verwiesen, was die Seriosität und Zuverlässigkeit der präsentierten Informationen unterstreicht.

Highlight: Die Präsentation bietet eine solide Grundlage für das Verständnis und die Anwendung der Vektorgeometrie in verschiedenen mathematischen und physikalischen Kontexten.

Öffnen

Winkel

Die letzte inhaltliche Seite behandelt die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren und Geraden mithilfe des Skalarprodukts. Es wird die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren vorgestellt und erklärt, wie man den Winkel zwischen Geraden bestimmt.

Formel: Für den Winkel φ zwischen zwei Vektoren a ≠ 0 und b ≠ 0 gilt: cos(φ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Highlight: Bei der Berechnung des Winkels zwischen Geraden wird immer der kleinere der beiden möglichen Winkel betrachtet.

Öffnen

Ebenengleichungen

Diese Seite führt die Parameterdarstellung einer Ebene im Raum ein. Eine Ebene wird durch einen Punkt (Stützpunkt) und zwei nicht kollineare Richtungsvektoren definiert.

Formel: Die Ebenengleichung lautet: x = OA + r * u + s * v (r, s ∈ ℝ), wobei OA der Ortsvektor des Stützpunktes A und u und v die Richtungsvektoren sind.

Highlight: Durch Variation der Parameter r und s erhält man alle Punkte der Ebene.

Öffnen

Subtraktion von Vektoren

Diese Seite behandelt die Subtraktion von Vektoren, die ähnlich wie die Addition durchgeführt wird, aber mit umgekehrten Vorzeichen. Es wird auch gezeigt, dass die Subtraktion eines Vektors der Addition seines Gegenvektors entspricht.

Formel: Für die Subtraktion zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)

Highlight: Die Vektorsubtraktion kann als Addition des Gegenvektors verstanden werden: a - b = a + (-b)

Öffnen

Kommutativ- und Assoziativgesetz

Hier werden zwei wichtige Gesetze der Vektoralgebra vorgestellt: das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Vektoraddition. Diese Gesetze sind fundamental für das Verständnis und die Manipulation von Vektorausdrücken.

Definition: Das Kommutativgesetz besagt, dass a + b = b + a für beliebige Vektoren a und b.

Definition: Das Assoziativgesetz besagt, dass (a + b) + c = a + (b + c) für beliebige Vektoren a, b und c.

Öffnen

Der Betrag

Diese Seite behandelt den Betrag eines Vektors, der die Länge des Vektorpfeils im Koordinatensystem darstellt. Es werden Formeln für die Berechnung des Betrags in zwei- und dreidimensionalen Räumen sowie für den Abstand zwischen zwei Punkten präsentiert.

Formel: Für einen Vektor v = (v₁, v₂, v₃) gilt: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Beispiel: Der Abstand zwischen zwei Punkten P(p₁|p₂|p₃) und Q(q₁|q₂|q₃) wird berechnet durch: |PQ| = √((q₁-p₁)² + (q₂-p₂)² + (q₃-p₃)²)

Öffnen

Punkte im Raum

Diese Seite erklärt, wie Punkte im dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Ein Punkt wird durch drei Koordinaten in der Form P(x₁|x₂|x₃) angegeben. Zudem wird das Konzept des Vektors eingeführt, der eine Verschiebung im Raum beschreibt.

Definition: Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch Länge und Richtung gekennzeichnet ist und geometrisch als Pfeil dargestellt werden kann.

Beispiel: Ein dreidimensionaler Vektor v = (v₁, v₂, v₃) beschreibt die Verschiebung entlang der x-, y- und z-Achse.

Öffnen

Spurpunkte

Hier werden Spurpunkte erklärt, die die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen darstellen. Diese Punkte sind wichtig für die Visualisierung und Analyse von Geraden im dreidimensionalen Raum.

Definition: Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen (x₁-x₂-Ebene, x₁-x₃-Ebene, x₂-x₃-Ebene).

Beispiel: Für die x₁-x₂-Ebene gilt: x₃ = 0

Öffnen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

Mathe

Algebra

Vektorrechnung

Winkel zwischen zwei vektoren

Vektoren Grundlagen PDF: Aufgaben, Rechenregeln & Beispiele

Öffnen

thestudyhub.alina

@thestudyhub.alina

881 Follower

Vektoren Grundlagen PDF: Aufgaben, Rechenregeln & Beispiele

Vektoren, Geraden und Ebenen: Eine umfassende Einführung in die Vektorgeometrie

Diese Präsentation bietet einen detaillierten Überblick über die Grundlagen der Vektorgeometrie, einschließlich:

Punkte im Raum und Ortsvektoren
Vektorrechnung (Addition, Subtraktion, Multiplikation)
Geradengleichungen und Ebenengleichungen
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Skalarprodukt und Orthogonalität
Winkelberechnung zwischen Vektoren

Die Präsentation vermittelt wichtige Konzepte und Formeln für die Vektorrechnung und bietet praktische Anwendungen in der Geometrie.

7.4.2021

1685

Addition von Vektoren

Formel: Für die Addition zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

Highlight: Die geometrische Darstellung der Vektoraddition hilft, das Konzept visuell zu verstehen und anzuwenden.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Verbindungs- und Ortsvektoren

Formel: Für den Verbindungsvektor PQ von P(p₁|p₂|p₃) zu Q(q₁|q₂|q₃) gilt: PQ = (q₁-p₁, q₂-p₂, q₃-p₃)

Highlight: Der Ortsvektor ist ein fundamentales Konzept in der Vektorgeometrie und bildet die Grundlage für viele weitere Berechnungen.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Abschluss

Highlight: Die Präsentation bietet eine solide Grundlage für das Verständnis und die Anwendung der Vektorgeometrie in verschiedenen mathematischen und physikalischen Kontexten.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Winkel

Formel: Für den Winkel φ zwischen zwei Vektoren a ≠ 0 und b ≠ 0 gilt: cos(φ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Highlight: Bei der Berechnung des Winkels zwischen Geraden wird immer der kleinere der beiden möglichen Winkel betrachtet.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ebenengleichungen

Diese Seite führt die Parameterdarstellung einer Ebene im Raum ein. Eine Ebene wird durch einen Punkt (Stützpunkt) und zwei nicht kollineare Richtungsvektoren definiert.

Formel: Die Ebenengleichung lautet: x = OA + r * u + s * v (r, s ∈ ℝ), wobei OA der Ortsvektor des Stützpunktes A und u und v die Richtungsvektoren sind.

Highlight: Durch Variation der Parameter r und s erhält man alle Punkte der Ebene.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Subtraktion von Vektoren

Formel: Für die Subtraktion zweier Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) gilt: a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)

Highlight: Die Vektorsubtraktion kann als Addition des Gegenvektors verstanden werden: a - b = a + (-b)

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kommutativ- und Assoziativgesetz

Definition: Das Kommutativgesetz besagt, dass a + b = b + a für beliebige Vektoren a und b.

Definition: Das Assoziativgesetz besagt, dass (a + b) + c = a + (b + c) für beliebige Vektoren a, b und c.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Der Betrag

Formel: Für einen Vektor v = (v₁, v₂, v₃) gilt: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Beispiel: Der Abstand zwischen zwei Punkten P(p₁|p₂|p₃) und Q(q₁|q₂|q₃) wird berechnet durch: |PQ| = √((q₁-p₁)² + (q₂-p₂)² + (q₃-p₃)²)

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Punkte im Raum

Definition: Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch Länge und Richtung gekennzeichnet ist und geometrisch als Pfeil dargestellt werden kann.