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Verkettung und Ableitung von Funktionen
7.11.2021
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Ableitung und Tangente Definition: Als Tangente an den Graphen von f P enthält und die Steigung f'(a) hat. allgemeine Tangentengleichung: y = f'(a) (x-a) + f (a) Aufgaben: 1. grafisch ableiten -2 0 potenzregel Funktion f f(x) = 0,5x² Punkt P(212) y=f(x) Faktorregel 1 2 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen Für f(x)=x² gilt: f(x) = r.x²-1 Mathe-Lernzettel 2. Tangentengleichung näherungsweise bestimmen a. Eine Funktion f hat an der Stelle 3 den Funktionswert 5. Ihr Graph hat an der Stelle 3 die Steigung -1. Gleichung angeben der Tangente + an den Graphen von f im Punkt P(31f(3)) 1. Allgemeine Tangentengleichung: y = f'(a) (x-a) + f(a) Für f(x)= (-g(x) gilt: c. g'(x) a. näherungsweise den wert f'(²) bestimmen im Punkt P(alf(a)) bezeichnet man diejenige Gerade, die den Punk! ↳ Es ist f(3) =5 und f'(3) = -1. Also ist t: y = -(x-3)+5 1. Ableitung m mit f(x)-f(a) bestimmen x - q Summenregel Für f(x) = g(x) + n(x) gilt: f'(x) = g'(x) + n'(x) . L. mithilfe des Steigungsdreieck liest man ab. 4-²=2, also f'(2) = 2 Produktregel f(x) = u(x) · V(x) → f'(x) f(x) = 2CO³ (4x) u(x)= ZCOS (X) Ableitung einer verketteten Funktion Für die Ableitung gilt: f'(x) = u' (v (X)) · V.² (X) BSP.: f(x)= (7.2x)³ → u(x) = x²³ V(x)=7-2x u'(x)=3x² V(x) = -2 Normale: Definition: unter der normalen an den Graphen von f im Punkt P verstent man diejenige Gerade, die den Punkt p enthält und...
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Alternativer Bildtext:
im rechten winkel/orthogonal zur rangente ist. Normalengleichung: y = = f'(u) · (x-u) + f(u) m= verkettungen von Funktionen Hat man eine Funktion f mit f(x) = u(v(x)) nennt man diese eine lineare verketung von u und v. ·BSP.: u(x) = x³, v(x) = 7.2x ↳ f(x) = u(v(x)) = (7-2x)³ V(x) = 4x 4'(x) = - 2 sin (x). V'(x) = 4 ·-u(x) = 2 COS(x) V(x) = 4x 4 f(x) = u(v(x)) = 2COS (4x) = U'(x) · V(x) +U(X) · V²(X) Tangentengleichung bestimmen Tangentengleichung aufstellen (vgl. Buch S.15 Bsp.3) f(x) = 3x - 5x + 3; Ges: Gleichung der Tangente an f im Punkt P(1|f(1)) 1. Funktionswert zur gegebenen Stelle xo-1 berechnen: f(1) = 3-4-5+3=1 2. Ableitungsfunktion berechnen: f(x)= 12x³-5 3. Steigung der Tangente im Punkt P berechnen: m =)= 7 4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung und umformen: y = f(a)(x-a)+f(a) y = 7 [x-1]+ 1 y= 7x-7+1=7x-6 - BSP: f(x) = 3x² sin (2x) → f'(x) = 6x · sin (2x) + 3x²³ · 2005 (2x) Kettenregel f'(x)=3 (72x)² (-2) f'(x) = -2sin (4x) 4