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Verkettung und Ableitung von Funktionen
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Letizia 💌
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- Ableitung und Tangente - Ableitungsregeln und höhere Ableitungen - Verkettungen von Funktionen - Produktregel
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Lernzettel
Ableitung und Tangente Definition: Als Tangente an den Graphen von f im Punkt P(alf(a)) bezeichnet man diejenige Gerade, die den Punk! P enthält und die Steigung f'(a) hat. allgemeine Tangentengleichung: y = f'(a) (x-a) + f(a) Aufgaben: 1. grafisch ableiten -3 -2 -1 3 Potenzregel 2 4 Faktorregel 0 Funktion f f(x) = 0,5x² Punkt P(212) y=f(x) 1 + 2 3 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen 2. Tangentengleichung näherungsweise bestimmen a. Eine Funktion f hat an der Stelle 3 den Funktionswert 5. Ihr Graph hat an der Stelle 3 die Steigung -1. Gleichung angeben der Tangente + an den Graphen von f im Punkt PC3|f(3)) 1. allgemeine Tangentengicichung: y = f'(a) (x-a) + f(a) Für f(x)=x² gilt: f(x)= r.x²-1 Mathe-Lernzettel ↳ Es ist f(3) = 5 und f'(3) = -1. Also ist t: y = −(x-3)+5 Für f(x) = (g(x) gilt: c. g'(x) a. näherungsweise den wert f'(²) bestimmen 1. Ableitung m mit f(x)-f(a) x =q Summenregel Für f(x) = g(x) + n(x) gilt: f'(x) = g'(x) + h'(x) L. mithilfe des Steigungsdreieck liest man ab. · ma = 2, also f'(2) = 2 4-2 3-2 Produktregel f (x) = u(x) • v(x) → f'(x) Bsp: f(x) = 3x² sin (2x) → Ketienregel f(x) = 2CO³ (4x) u(x)= ZCOS (x) 4'(x) = -2 sin(x) Normale: Definition: unter der normalen an den Graphen von f im Punkt P versteht man diejenige Gerade, die den Punkt p enthält und im rechten winkel/ orthogonal zur rangente ist. Normalengleichung: y =...
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-f²(u) · (x-u) + f(u) Ableitung einer verketteten Funktion Für die Ableitung gilt: f'(x) = u' (v(x)) · v²(x) BSP.: f(x)= (7.2 x ) ³ → u(x) = x³ V(x)=7.2x u'(x)=3x² v(x) = -2 verkettungen von Funktionen Hat man eine Funktion f mit f(x) = u(v(x)) nennt man diese eine Lineare Verketlung von u und v. ·BSP.: u(x) = x²³₁ v(x) = 7.2x ↳ f(x) = u(v(x)) = (7−2x)³ bestimmen · u(x) = 2 COS(x) v(x) = 4x ↳ f(x) = u(v(x)) = 2COS (4x) Tangentengleichung bestimmen Tangentengleichung aufstellen (vgl. Buch S.15 Bsp.3) f(x) = 3x4-5x + 3; Ges.: Gleichung der Tangente an f im Punkt P(1|f(1)) 1. Funktionswert zur gegebenen Stelle xo=1 berechnen: f(1) = 3-1-5+3=1 2. Ableitungsfunktion berechnen: f(x) = 12x³-5 3. Steigung der Tangente im Punkt P berechnen: m = = f'(₁) = 7 4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung und umformen: y = f'(a)[x-a]+f(a) y = 7· [x-1]+1 → y = 7x-7+1=7x-6 V(x) = 4x V'(x) = 4 f'(x)=3 (7⋅2x)² (-2) = u'(x) · v(x) + U(X) · V²(X) f'(x) = 6x · sin (2x) + 3x²2c05 (2x) - → f'(x) = -2sin (4X).4
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-f²(u) · (x-u) + f(u) Ableitung einer verketteten Funktion Für die Ableitung gilt: f'(x) = u' (v(x)) · v²(x) BSP.: f(x)= (7.2 x ) ³ → u(x) = x³ V(x)=7.2x u'(x)=3x² v(x) = -2 verkettungen von Funktionen Hat man eine Funktion f mit f(x) = u(v(x)) nennt man diese eine Lineare Verketlung von u und v. ·BSP.: u(x) = x²³₁ v(x) = 7.2x ↳ f(x) = u(v(x)) = (7−2x)³ bestimmen · u(x) = 2 COS(x) v(x) = 4x ↳ f(x) = u(v(x)) = 2COS (4x) Tangentengleichung bestimmen Tangentengleichung aufstellen (vgl. Buch S.15 Bsp.3) f(x) = 3x4-5x + 3; Ges.: Gleichung der Tangente an f im Punkt P(1|f(1)) 1. Funktionswert zur gegebenen Stelle xo=1 berechnen: f(1) = 3-1-5+3=1 2. Ableitungsfunktion berechnen: f(x) = 12x³-5 3. Steigung der Tangente im Punkt P berechnen: m = = f'(₁) = 7 4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung und umformen: y = f'(a)[x-a]+f(a) y = 7· [x-1]+1 → y = 7x-7+1=7x-6 V(x) = 4x V'(x) = 4 f'(x)=3 (7⋅2x)² (-2) = u'(x) · v(x) + U(X) · V²(X) f'(x) = 6x · sin (2x) + 3x²2c05 (2x) - → f'(x) = -2sin (4X).4