Baumdiagramme für Wahrscheinlichkeitsberechnungen ohne Zurücklegen

Diese Seite behandelt die Anwendung von Baumdiagrammen für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beim Ziehen ohne Zurücklegen. Das gleiche Beispiel mit einer Schachtel, die 2 schwarze, 3 gelbe und 1 rote Murmel enthält, wird verwendet, um den Unterschied zum Ziehen mit Zurücklegen zu verdeutlichen.

Definition: Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet, dass die gezogene Murmel nicht in die Schachtel zurückgelegt wird, bevor der nächste Zug erfolgt.

Das Baumdiagramm für dieses Szenario zeigt, wie sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug ändern, da sich die Gesamtzahl der Murmeln nach dem ersten Zug verringert.

Example: Bei 6 Murmeln zu Beginn ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug wie folgt:

• Wenn im ersten Zug Schwarz gezogen wurde: P(schwarz) = 1/5, P(gelb) = 3/5, P(rot) = 1/5
• Wenn im ersten Zug Gelb gezogen wurde: P(schwarz) = 2/5, P(gelb) = 2/5, P(rot) = 1/5
• Wenn im ersten Zug Rot gezogen wurde: P(schwarz) = 2/5, P(gelb) = 3/5, P(rot) = 0

Highlight: Der Hauptunterschied zum Ziehen mit Zurücklegen besteht darin, dass sich die Anzahl der verfügbaren Murmeln bei jedem Zug verringert.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt wieder durch Multiplikation entlang der Pfade. Zum Beispiel:

P(ss) = 2/6 * 1/5 = 2/30 = 1/15 P(sr) = 2/6 * 1/5 = 2/30 = 1/15 P(gs) = 3/6 * 2/5 = 6/30 = 1/5

Vocabulary: Die bedingte Wahrscheinlichkeit kommt hier zum Tragen, da die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug von dem Ergebnis des ersten Zuges abhängt.

Diese Methode des Ziehens ohne Zurücklegen findet in vielen realen Situationen Anwendung, wie beispielsweise bei Lotterien oder bei der Auswahl von Stichproben ohne Ersatz in der Statistik.

Baumdiagramme für Wahrscheinlichkeitsberechnungen

Diese Seite erklärt die grundlegenden Prinzipien von Baumdiagrammen für Wahrscheinlichkeitsberechnungen und demonstriert ihre Anwendung beim Ziehen mit Zurücklegen. Ein konkretes Beispiel mit einer Schachtel, die 2 schwarze, 3 gelbe und 1 rote Murmel enthält, wird verwendet, um das Konzept zu veranschaulichen.

Definition: Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung aller möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments.

Highlight: Zwei wichtige Regeln für Baumdiagramme:

1. Entlang des Pfades wird multipliziert.
2. Mehrere Pfade werden addiert.

Das Beispiel zeigt ein zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen. Das bedeutet, dass die gezogene Murmel nach dem ersten Zug zurück in die Schachtel gelegt wird, bevor der zweite Zug erfolgt.

Example: Bei 6 Murmeln insgesamt (2 schwarze, 3 gelbe, 1 rote) ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug:

• P(schwarz) = 2/6 = 1/3
• P(gelb) = 3/6 = 1/2
• P(rot) = 1/6

Das Baumdiagramm zeigt alle möglichen Kombinationen für zwei Züge, wie z.B. schwarz-schwarz (ss), schwarz-rot (sr), gelb-schwarz (gs) usw.

Vocabulary: Ziehen mit Zurücklegen bedeutet, dass die Anzahl der Murmeln bei jedem Zug gleich bleibt, da die gezogene Murmel zurückgelegt wird.

Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse werden durch Multiplikation entlang der Pfade berechnet. Zum Beispiel:

P(ss) = 2/6 * 2/6 = 4/36 = 1/9 P(sr) = 2/6 * 1/6 = 2/36 = 1/18 P(gs) = 3/6 * 2/6 = 6/36 = 1/6

Diese Methode ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis präzise zu berechnen.