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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik

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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik

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CHEINLICHKEIT
A lig e m ein
ZUFALLSEXPERIMENT
Merkmalen eines Zufallsexperiment (Abk. ZE):
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W A H R S CH CHEINLICHKEIT A lig e m ein ZUFALLSEXPERIMENT Merkmalen eines Zufallsexperiment (Abk. ZE): (1) unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt (2) mindestens zwei Ereignisse (31 Ergebnis kann durch keine Regel vorhergescyt werden. MEHRSTUFIGES ZUFALLSEXPERIMENT Zufallsexperimente sind aus mehreren Teilvorgängen zusammengesetzt, die in einer bestimmten Reihenfolge ablaufen mehrstufige ZE *k-stufige Zufallsexperimente lassen sich durch k-Tupel beschreiben i (2.B: (xly)= Paare ; (xly/2) = Tripel ;...) Ereignissmenge 2 = Menge aller möglichen Ereignisse verknü A A A nüpfun Schnittmenge B B 8 D. ung von AnB = A und B ,,UND"- Ereignis (Beide Ereignisse treten (in) B AUB => A oder B ODER"-Ereignis (Mindestens eines der beiden Ereignisse trittein) ED A ohne B Алв (Nur Ereignis A, nicht aber Ereignis B tritt ein Ereignissen LA PLACE-EXPERIMENT => Alle Elementarereignisse sind gleichwohrscheinlich P(A) = 1A = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse 1.21 EREIGNIS & ELEMENTAREREIGNIS -Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge 2- Jede Teilmenge A von 12 heißt Ereignis (2) einelementige Teilmenge von 12 Elementarereignis (3) Ereignis A tritt ein, wenn das Ergebnis ein Element von Aist. A ERFORDERLICHE EIGENSCHAFTEN 1) Nichtnegativität: P(A)>0 für alle AEgo (52) 2) Normiertheit: P(21=1 A 3) Additionsregel für unvereinbare Ereignisse: AnB = {}=DP (AUB) = P(A) + PIB) A B 8 B VENN-DIAGRAMM (AnB) (AB) =Dentweder A oder B (Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein) AnB => Nicht A und nicht B (Keiner der beiden Ereignisse tritt einl B =D Nicht (A und B) (Höchstens eines von beiden Ereignissen Gilt ein) D. B BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT-- =D. P₁₂ (A) = P(AB) => bedingle Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, B P(B) Bei einem La Place - Experiment: PB (A) = P(An B) P(B) 1AB1:1621 1B1:121 = IA BI 181 EIGENSCHAFTEN...

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DES WAHRSCHEINLICHKEITSMABES 1) Os P(A)s 1 2) Gegenereignisregel: P(A) = 1-P(A) 3) unmöglichen Ereignis: P({})=0 41 Zerlegungsregel: P(A^B)= P(A)- P(A^B) PLAN B) = P(B)- P(ANB) 5) Additionsregel: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AUB) (6) Elementarereignisregel: P(A)=P({(₁ }) + ... + P({wk}) = {P({w;})) Bau A BA mit zurück- legen, etc m dia gra A B B A ohne zurück- legen, etc m me unabhän erster Runde/-D muss 2sm. 1 ergeben Pfad zweite Runde/ -D muss zsm. 1 ergeben Pfad MERKE: A) entlang eines weges werden die Wkeiten multipliziert 2) langs eines wegen werden die Wkeiten addiert oder: Gegenereignis P(A) = 1 - P(A) bhängig oder a bhängig unabhängig, wenn PB(A) = P(A) und P₁ (B) = P(B) => Beeinflussen zweier Ereignisse gegenseitig •unabhängig abhangig, wenn PB(A) = P(A) und P₁ (B) # P(B) -PJa-Dabhängig i nein → MULTIPLIKATIONSREGEL P(ANB) = P(A) PA (B) ADDITIONSREGEL P(ANB) + P(B₁c)= P(A) PRODUKTREGEL für unabhängige Ereignisse A und B unabhängig P(ANB) = P(A). P(B) Bsp.: Ziehen mit zurücklegen =Dunabhängig ziehen ohne zurücklegen abhängig SD kombinatorik Gibt es bei einem k-Tupel für die Besetzung der ersten Stellen Möglichkeiten zweite Stelle n₂ Möglichkeiten (n₁-1= n₂) : ● k-ten Stelle nk Möglichkeiten => So gibt es insgesamt 1₁. M₂. M₂.... MK verschiedene k-Tupel PERMUTATION BEISPIEL: Unser Sportplatz hat sechs Bahnen. Sechs Läufer treten an. wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieleinlauf? LÖSUNG: |Z| = 6·5·4·3·2.1 = 720 Möglichk. Permutation: 6! (6, Fakultät") K-PERMUTATION BEISPIEL: Sechs Läufer machen einen 100 Meter -Lauf. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Einlauf der ersten drei Plätze? (Reihenfolge ist wichtig!) LÖSUNG: 121= 6·5·4 = 120 121= (6) 3 (6 Index 3) BIONOMIALKOEFFIZIENT BEISPIEL: Sechs Läufer - Wie viele Möglichkeiten gibt es um die ersten Drei Plätze zu belegen? (Reihenfolge ist nicht wichtig) -D Gesamtanzahl LÖSUNG: (K) =D Teilmenge (3) -> („, 6 über 3") = 20 Möglichk. KOMBINATORISCHE BERECHNUNG VON LA-PLACE-WAHRSCHEINLICHKEITEN IAI = - 4) = 101 FORMEL: P(A) BEISPIEL: Buch I Seite 89 nr. 34 IDI (2) P (D)= 121=(1/2) 101 = (¹22) = 0,23 (23%) Quelle: Mathematik-Buch Softfrutti-Verlag Band I Hauptphase aos (Auflage 2020/21

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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W A H R S CH CHEINLICHKEIT A lig e m ein ZUFALLSEXPERIMENT Merkmalen eines Zufallsexperiment (Abk. ZE): (1) unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt (2) mindestens zwei Ereignisse (31 Ergebnis kann durch keine Regel vorhergescyt werden. MEHRSTUFIGES ZUFALLSEXPERIMENT Zufallsexperimente sind aus mehreren Teilvorgängen zusammengesetzt, die in einer bestimmten Reihenfolge ablaufen mehrstufige ZE *k-stufige Zufallsexperimente lassen sich durch k-Tupel beschreiben i (2.B: (xly)= Paare ; (xly/2) = Tripel ;...) Ereignissmenge 2 = Menge aller möglichen Ereignisse verknü A A A nüpfun Schnittmenge B B 8 D. ung von AnB = A und B ,,UND"- Ereignis (Beide Ereignisse treten (in) B AUB => A oder B ODER"-Ereignis (Mindestens eines der beiden Ereignisse trittein) ED A ohne B Алв (Nur Ereignis A, nicht aber Ereignis B tritt ein Ereignissen LA PLACE-EXPERIMENT => Alle Elementarereignisse sind gleichwohrscheinlich P(A) = 1A = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse 1.21 EREIGNIS & ELEMENTAREREIGNIS -Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge 2- Jede Teilmenge A von 12 heißt Ereignis (2) einelementige Teilmenge von 12 Elementarereignis (3) Ereignis A tritt ein, wenn das Ergebnis ein Element von Aist. A ERFORDERLICHE EIGENSCHAFTEN 1) Nichtnegativität: P(A)>0 für alle AEgo (52) 2) Normiertheit: P(21=1 A 3) Additionsregel für unvereinbare Ereignisse: AnB = {}=DP (AUB) = P(A) + PIB) A B 8 B VENN-DIAGRAMM (AnB) (AB) =Dentweder A oder B (Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein) AnB => Nicht A und nicht B (Keiner der beiden Ereignisse tritt einl B =D Nicht (A und B) (Höchstens eines von beiden Ereignissen Gilt ein) D. B BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT-- =D. P₁₂ (A) = P(AB) => bedingle Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, B P(B) Bei einem La Place - Experiment: PB (A) = P(An B) P(B) 1AB1:1621 1B1:121 = IA BI 181 EIGENSCHAFTEN...

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