Methoden zur Berechnung von Wendepunkten
Es gibt zwei Hauptmethoden zur rechnerischen Bestimmung von Wendepunkten:
Methode 1: Bedingungen für Wendepunkte
Bei dieser Methode werden folgende Bedingungen geprüft:
- f''(x) = 0
- f'''(x) ≠ 0
Highlight: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn beide Bedingungen erfüllt sind.
Für unser Beispiel f(x) = x³ + 3x² + x:
-
f''(x) = 0
6x + 6 = 0
x = -1
-
f'''(-1) = 6 ≠ 0
Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist x = -1 eine Wendestelle.
Um den vollständigen Wendepunkt zu berechnen, setzen wir x = -1 in die ursprüngliche Funktion ein:
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + (-1) = -1 + 3 - 1 = 1
Ergebnis: Der Wendepunkt liegt bei W(-1|1).
Methode 2: Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung
Bei dieser Methode untersucht man den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung:
-
f''(x) = 0 lösen: x = -1
-
Vorzeichenwechsel um x = -1 prüfen:
f''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0
f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0
Highlight: Der Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv bestätigt, dass bei x = -1 ein Wendepunkt vorliegt.
Vocabulary: Rechts-Links-Wendepunkt: Ein Wendepunkt, bei dem die Kurve von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht.
Vocabulary: Wendetangente: Die Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt.
Diese Methoden ermöglichen es, Wendepunkte präzise zu berechnen und das Krümmungsverhalten von Funktionen genau zu analysieren.
