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Kurvendiskussion mit wirtschaftlicher Anwendung

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 Wendepunkt berechnen
Praktische Vorgehensweise:
1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
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Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, Kosten- und Gewinnfunktion, Gewinnmaximale Ausbringungsmenge, Grenzkosten, Gewinnzone

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Wendepunkt berechnen Praktische Vorgehensweise: 1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab. 2. Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich. 3. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein. 4. Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor. Hoch/Tiefpunkt Folgende Bedingungen sind wichtig: 1. Die erste Ableitung Null setzen, f'(x) = 0. Dies liefert mögliche Extremstellen (xe genannt). 2. Die zweite Ableitung an dieser Stelle xe muss ungleich Null sein. ... 3. Die xe-Werte werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen. 4. Extrempunkt hat die Lage EP (xe/f(xe)) Sattelpunkt Ist ein Wendepunkt mit Waagerechter tangente Praktische Vorgehensweise: Anwenden der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0 pq-Formel: x1/2 = -√√( ² ) ² − 9 - q 1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab. 2. Wir setzen die erste Ableitung Null. 3. Wir setzen die zweite Ableitung Null. 4. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein. 5. f(x) muss dann ungleich Null sein. 6. Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen. Quadratische Gleichungen (Gleichungen 2. Grades) der Form ax² + bx + c = 0 (a#0) lassen sich in die Normalform (x² + px + q = 0) umformen, indem man die Gleichung durch a dividiert: x2 + b...

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ax+ c a=0. Bei Verwendung der „p-q-Formel" gilt dann entsprechend: p= b a und q= ca. Kosten- Erlös- und Gewinnfunktion Unter einer Erlösfunktion versteht man den Umsatz, der durch die verkauften Produkte eines Unternehmens generiert wird. Sie wird durch angegeben und setzt sich aus dem Produkt zwischen Verkaufspreis und Absatzmenge zusammen. E(x) = p(x) x Die Kostenfunktion gibt den Zusammenhang zwischen der Ausbringungsmenge und den daraus anfallenden Kosten an. Die Funktion fügt sich aus fixen und variablen Kosten zusammen. K(x) = Kp + ky x G(x) = E(x) - K(x) Die Gewinnfunktion stellt die Differenz zwischen Erlösfunktion und Kostenfunktion dar. Der Maximale Gewinn ist der Hochpunkt der Gewinnfunktion Optimale Ausbringungsmenge x G(x) = [-0,5x² + 1.000x] - [x+199.000] ableiten G'(x) = -x +999 mit 0 gleichsetzen 0 = -x + 999 x = 999 Grenzkosten Ableitung der Kostenfunktion Wir gehen davon aus, dass die anfallenden Gesamtkosten sich durch eine lineare Kostenfunktion aus variablen Kosten und Fixkosten ausdrücken lassen: Gesamtkosten K (x) = 0,5x + 2 Die Pommesbuden-Besitzerin möchte nun die Grenzkosten berechnen und leitet die Gesamtkostenfunktion nach der Menge x ab. Dadurch erhält sie ihre Grenzkosten Formel: Grenzkosten Formel GK (x) = K'(x) = 0,5 Möchte die Pommesbude also eine Schale Pommes zusätzlich verkaufen, steigen die Kosten um jeweils 50 Cent an. Gewinngrenze Grenzgewinn Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann. G'(x) = dG (x) dx Gewinnschwelle Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste. G(x) = 0 E (x) = K (x) Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge. Im Graph von der Gewinnfunktion entspricht der Break-Even-Point der 1. Nullstelle. x.p=x· K₂ + Kf Kf DB X = Kf p - Kv = Gewinnzone Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt. • 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion • Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. • 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze: Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion. Illustration der Gewinnzone E(x) = x. p(x) Gmax Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST K(x) = KFix + Kv(x) Gewinngrenze obere NST G(x)=E(x) - K(x)

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B

Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Wendepunkt berechnen Praktische Vorgehensweise: 1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab. 2. Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich. 3. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein. 4. Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor. Hoch/Tiefpunkt Folgende Bedingungen sind wichtig: 1. Die erste Ableitung Null setzen, f'(x) = 0. Dies liefert mögliche Extremstellen (xe genannt). 2. Die zweite Ableitung an dieser Stelle xe muss ungleich Null sein. ... 3. Die xe-Werte werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen. 4. Extrempunkt hat die Lage EP (xe/f(xe)) Sattelpunkt Ist ein Wendepunkt mit Waagerechter tangente Praktische Vorgehensweise: Anwenden der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0 pq-Formel: x1/2 = -√√( ² ) ² − 9 - q 1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab. 2. Wir setzen die erste Ableitung Null. 3. Wir setzen die zweite Ableitung Null. 4. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein. 5. f(x) muss dann ungleich Null sein. 6. Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen. Quadratische Gleichungen (Gleichungen 2. Grades) der Form ax² + bx + c = 0 (a#0) lassen sich in die Normalform (x² + px + q = 0) umformen, indem man die Gleichung durch a dividiert: x2 + b...

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ax+ c a=0. Bei Verwendung der „p-q-Formel" gilt dann entsprechend: p= b a und q= ca. Kosten- Erlös- und Gewinnfunktion Unter einer Erlösfunktion versteht man den Umsatz, der durch die verkauften Produkte eines Unternehmens generiert wird. Sie wird durch angegeben und setzt sich aus dem Produkt zwischen Verkaufspreis und Absatzmenge zusammen. E(x) = p(x) x Die Kostenfunktion gibt den Zusammenhang zwischen der Ausbringungsmenge und den daraus anfallenden Kosten an. Die Funktion fügt sich aus fixen und variablen Kosten zusammen. K(x) = Kp + ky x G(x) = E(x) - K(x) Die Gewinnfunktion stellt die Differenz zwischen Erlösfunktion und Kostenfunktion dar. Der Maximale Gewinn ist der Hochpunkt der Gewinnfunktion Optimale Ausbringungsmenge x G(x) = [-0,5x² + 1.000x] - [x+199.000] ableiten G'(x) = -x +999 mit 0 gleichsetzen 0 = -x + 999 x = 999 Grenzkosten Ableitung der Kostenfunktion Wir gehen davon aus, dass die anfallenden Gesamtkosten sich durch eine lineare Kostenfunktion aus variablen Kosten und Fixkosten ausdrücken lassen: Gesamtkosten K (x) = 0,5x + 2 Die Pommesbuden-Besitzerin möchte nun die Grenzkosten berechnen und leitet die Gesamtkostenfunktion nach der Menge x ab. Dadurch erhält sie ihre Grenzkosten Formel: Grenzkosten Formel GK (x) = K'(x) = 0,5 Möchte die Pommesbude also eine Schale Pommes zusätzlich verkaufen, steigen die Kosten um jeweils 50 Cent an. Gewinngrenze Grenzgewinn Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann. G'(x) = dG (x) dx Gewinnschwelle Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste. G(x) = 0 E (x) = K (x) Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge. Im Graph von der Gewinnfunktion entspricht der Break-Even-Point der 1. Nullstelle. x.p=x· K₂ + Kf Kf DB X = Kf p - Kv = Gewinnzone Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt. • 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion • Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. • 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze: Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion. Illustration der Gewinnzone E(x) = x. p(x) Gmax Break-even-Point Gewinnschwelle untere NST K(x) = KFix + Kv(x) Gewinngrenze obere NST G(x)=E(x) - K(x)