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Eigenschaften von Funktionsgraphen

Mathe2.830Aktualisiert 5. Okt. 20261 Seite

Wendepunkte: Wendepunkt berechnen, Bedingungen und Beispiele

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Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine Kurve und lenkst genau in der Mitte plötzlich um – von einer Rechts- in eine Linkskurve. Mathematisch ist dieser Moment des Umlenkens der Wendepunkt einer Funktion. In der Kurvendiskussion bestimmen wir genau diese Stellen, an denen sich die Krümmung des Graphen ändert. Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du mit Ableitungen jeden Wendepunkt berechnen kannst.
Wendepunkte – Seite 1

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Wendepunkt berechnen

Notwendige und hinreichende Bedingung

Um die Wendestelle zu bestimmen, nutzt du die Ableitungen der Funktion.

  • Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung muss Null sein, also f′′(x)=0f''(x) = 0.
  • Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung darf an dieser Stelle nicht Null sein (f′′′(x)≠0f'''(x) \neq 0).
  • Krümmungsverhalten: Bei f′′′(x)>0f'''(x) > 0 liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt vor, bei f′′′(x)<0f'''(x) < 0 ein Links-Rechts-Wendepunkt.

Beispiel-Rechnung

Beispiel: f(x)=43x3−32x2f(x) = \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 mit f′′(x)=3x−3f''(x) = 3x - 3 und f′′′(x)=3f'''(x) = 3.

  1. 3x−3=0⇒x=13x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1
  2. f′′′(1)=3>0⇒f'''(1) = 3 > 0 \Rightarrow Wendepunkt bei x=1x = 1.

💡 Tipp: Vergiss am Ende nicht, den xx-Wert in die Ausgangsfunktion f(x)f(x) einzusetzen, um den yy-Wert des Wendepunkts zu erhalten.

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