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Zahlenfolgen und Grenzwerte

Zahlenfolgen und Grenzwerte

 DEFINITION
Hat eine Funktion f als. Definitionsmenge die natürlichen Zahlen
IN {1; 2; 3; 4;... } oder eine unendliche Teilmenge von IN so n

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DEFINITION Hat eine Funktion f als. Definitionsmenge die natürlichen Zahlen IN {1; 2; 3; 4;... } oder eine unendliche Teilmenge von IN so nennt man. f eine Zahlenfolge Der Funktionswert f(n) wird mit (a.) bezeichnet und heißt das n-te Glied der Zahlenfolge. rekursive (lat. zurücklaufend) Zuordnungsvorschrift. ↳2F-Glied geht jeweils am Vorgänger hervor mit a₁ = 1,6. = 0,8. 0₁. Q₂ = 0,8 1₁6. = 1,28 an ant1 BEISPIELE X Differentialberechnung ZAHLENFOLGEN UND GRENZ WERTE ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Eine Zahlenfolge (an) heißt arithmetische Zahlenfolge, wenn für jede Zahl n N die Differenza a d. denselben Wert hat. = : .an.+ d. (n EN) 0,8-1 rekursive Zuordnungsvorschrift: an+1 L₂ für d = 0 => arithmetische 27 = konstante 27 explizite Zuordnungsvorschrift:. an an. = 2" -n. X X a₂. 0,8-0,8 1₁6 = 0,8² : 1,6 = 1,024, · 1,6 S lim (2-n) = unendlich n 500 Luneigentlicher Grenzwert dn = (-1)^. 1+1 lim ((-1)" · 11 + ₁) = 1 = 9. n38 (a₂) = { 5; 10; 15; 20;...} (b) = {7,5; 5; 2,5; 0;..} lim (1) n 500 = L kein a₁ + (n-1)d. bn =. 22/12 ↳ Nullfolge specielle zahlenfolgen. GEOMETRISCHE ZAHLENFOLGEN Eine Zahlenfolge (a.) mit an # 0 heißt geometrische Zahlenfolge, wenn für jedes n. der. Quotient = q denselben Wert hat... (nN; q ER₁ q 0) an+1 an # en = a₁ = a₁ +5 → bor₁ = bn - 2,5 31 = 0 = (-1)^. lim (-1) = 1 bzw -1 noo g => 9. alternierende 27 Cn = 5 BEISPIELE geg: Gleichung in Form einer expliziten Zuordnungsvorschrift an = 2.0,8" n An 116 1,28 1,024 0,82 X 0 sals lim (5) = 5...

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= g ↳ konstante ZF C ges: Wertetabelle, grafische Darstellung im koordinatensystem und auf einer Zahlengeraden 1 2 0,21 |-- 01 TAT 0,5 BEISPIEL X Nachweis der 3 4 rekursive Zuordnungsvorschrift: L₂ für = 1 => konstante Zahlenfolge explizite Zuordnungsvorschrift : an (a) = [s00; 100; 20₁4; } → 9 = 1/ =.a₁ 9. V V V A < < 0,82 1 100 4.28 100 10 > 100 0,21 4,5 0,5 1 100 n EIN lat. entwickelnd, erklärend Grenzwert einer Zahlenfolge Die Zahl g heißt Grenzwert der Folge (a ), wenn es zu jeder E- Umgebung von g eine Indexzahl Ne gibt, so dass alle Folgenglieder an mit n ≥ №₂ innerhalb der E- Umgebung liegen. Man schreibt: Es muss gelten: an+1 =. an lim an = g n 200 Punkte im K-system Inicht verbinden, da keine Kommawerte. 9. 100 n-1 1·an-g| रह 'n Exisistenz des Grenzwerts Ab dem 101. 2F-Glied haben alle einen kleineren Abstand von g = 0 als ~ g=0 ist der Grenzwert von bn..

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