Aufbau und Durchführung der Zentralen Klausur

Die Zentrale Klausur Mathematik dauert genau 100 Minuten und hat einen ziemlich cleveren Aufbau. Du kannst dir die Aufgaben nicht aussuchen - alle müssen bearbeitet werden.

Teil A startet ohne jegliche Hilfsmittel (maximal 20 Minuten). Hier löst du zwei Aufgaben komplett im Kopf - kein Taschenrechner, keine Formelsammlung. Sobald du Teil A abgibst, bekommst du Teil B mit deinem Taschenrechner und der Formelsammlung.

Teil B ist der Hauptteil mit mindestens 80 Minuten Bearbeitungszeit. Gibst du Teil A früher ab, hast du mehr Zeit für Teil B - das kann strategisch sinnvoll sein!

💡 Tipp: Ein Rechtschreibwörterbuch darfst du in beiden Teilen nutzen - vergiss nicht, mathematische Begriffe korrekt zu schreiben!

Aufgabe 1: Analysis ohne Hilfsmittel

Bei Ableitungsfunktionen musst du den Zusammenhang zwischen f und f' verstehen. Die Nullstellen der Ableitung f'(x) = x² - 2x - 8 findest du mit der Mitternachtsformel oder durch Ausklammern.

Die Nullstellen berechnest du so: x² - 2x - 8 = 0. Das ergibt x₁ = 4 und x₂ = -2. An diesen Stellen hat die ursprüngliche Funktion f ihre Extrempunkte.

Beim Skizzieren der Ausgangsfunktion f denkst du daran: Wo f' positiv ist, steigt f. Wo f' negativ ist, fällt f. An den Nullstellen von f' hat f ihre Extrempunkte.

🎯 Merke dir: Die Ableitung verrät dir das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion!

Aufgabe 2: Stochastik - Glücksspiel

Das Glücksspiel "3 gewinnt" funktioniert mit einem Glücksrad und maximal zwei Drehungen. Du zahlst 2€ Einsatz und gewinnst 4€ $2€ zurück + 2€ Gewinn$, wenn die "3" erscheint.

Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten: Erste Drehung "3" $Wahrscheinlichkeit 1/3$ = Gewinn. Erste Drehung keine "3" (2/3), dann zweite Chance mit wieder 1/3 für "3".

Die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnest du über die Pfadregeln: P(Gewinn) = 1/3 + 2/3 × 1/3 = 5/9. Für die Fairness des Spiels vergleichst du den Erwartungswert mit dem Einsatz von 2€.

🎲 Wichtig: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert gleich dem Einsatz ist!

Aufgabe 3: Analysis mit Hilfsmitteln - Teil 1

Die Funktion f(x) = 1/16 x⁴ - 3/4 x² - 4 ist eine typische ganzrationale Funktion vierten Grades. Ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, checkst du durch Einsetzen: f(3,5) berechnen und mit -4 vergleichen.

Für lokale Extremstellen brauchst du die erste und zweite Ableitung. f'(x) = 1/4 x³ - 3/2 x setzen wir gleich null: x$1/4 x² - 3/2$ = 0. Das gibt uns die kritischen Stellen.

Mit der zweiten Ableitung f''(x) = 3/4 x² - 3/2 entscheidest du, ob es sich um Maxima oder Minima handelt. f''(x) > 0 bedeutet Minimum, f''(x) < 0 bedeutet Maximum.

⚡ GTR-Tipp: Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!

Aufgabe 3: Analysis mit Hilfsmitteln - Teil 2

Die Sekante s durch H(0|-4) und N₁(4|0) hat die Gleichung y = x - 4. Zeichne sie sauber in das Koordinatensystem ein - das bringt oft Teilpunkte!

Eine Sekante wird zur Tangente, wenn sie den Graphen in einem weiteren Punkt berührt. Zeige rechnerisch: f'(-2) = 1 (Steigung der Sekante) und f(-2) = -6, also liegt P(-2|-6) auf der Sekante.

Das Dreieck OHN₁ hat die Eckpunkte O(0|0), H(0|-4) und N₁(4|0). Der Flächeninhalt beträgt A₁ = 1/2 × 4 × 4 = 8 Flächeneinheiten.

Bei der Funktion h(x) = f(2x) wird der Graph von f um den Faktor 1/2 in x-Richtung gestaucht. Das Verhältnis A₂/A₁ berechnest du über die neuen Eckpunkte.

📐 Zeichentipp: Saubere Skizzen können Punkte retten, auch wenn die Rechnung nicht ganz stimmt!

Aufgabe 3: Funktionen und ihre Ableitungen

Bei der Verschiebung in y-Richtung änderst du nur den konstanten Term. Wenn der Graph der Ableitungsfunktion g durch Verschiebung von f entstanden ist, hat g die Form g(x) = f(x) + c.

Aus der Abbildung 2 liest du ab, wo der Graph von G seine charakteristischen Punkte hat. Die Steigung von G an verschiedenen Stellen entspricht den Funktionswerten der Ableitung g.

Vergleiche die y-Werte des Graphen G mit denen von f, um die Verschiebung c zu bestimmen. Die Gleichung von g lautet dann g(x) = 1/16 x⁴ - 3/4 x² - 4 + c.

🔄 Zusammenhang: Die Ableitung einer Funktion beschreibt ihre Steigung - das ist der Schlüssel zum Verständnis!

Aufgabe 4: Strecken-Radar - Realitätsnahe Anwendung

Das Strecken-Radar misst die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine komplette Strecke. Die Funktion s(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke, wobei t die Zeit in Stunden angibt.

Die Länge des Kontrollabschnitts findest du durch s(0,1) - s(0) = s(0,1). Setze t = 0,1 in die Funktion ein und rechne aus. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilst du diese Strecke durch 0,1 h.

Ob das Fahrzeug geblitzt wird, entscheidest du anhand der Durchschnittsgeschwindigkeit. Liegt sie über 120 km/h, gibt's einen Strafzettel - auch wenn das Auto zwischendurch langsamer war.

🚗 Real-World: Strecken-Radar erfasst deine Durchschnittsgeschwindigkeit, nicht die Momentangeschwindigkeit!

Aufgabe 4: Geschwindigkeit und ihre Analyse

Der mathematische Zusammenhang zwischen s(t) und v(t) ist klar: v(t) ist die Ableitung von s(t), also v(t) = s'(t). Die Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich die Strecke ändert.

Um den Zeitraum zu finden, in dem v(t) > 120 km/h ist, löst du die Ungleichung v(t) > 120. Nutze deinen GTR, um die Schnittpunkte mit der Linie y = 120 zu finden.

Die höchste Momentangeschwindigkeit findest du über die Ableitung v'(t) = 0. Berechne die kritischen Stellen und prüfe mit v''(t), welche ein Maximum ist.

Für 20% langsamere Fahrt multiplizierst du v(t) mit 0,8: v_neu(t) = 0,8 × v(t). Das reduziert alle Geschwindigkeitswerte proportional.

📈 GTR-Power: Nutze die Grafikfunktionen deines Taschenrechners, um Schnittpunkte und Extremwerte zu finden!

Aufgabe 4: Durchschnitts- vs. Momentangeschwindigkeit

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen einen wichtigen Unterschied: Ein Fahrzeug kann die Höchstgeschwindigkeit überschreiten und trotzdem nicht geblitzt werden.

Das liegt daran, dass das Strecken-Radar nur die Durchschnittsgeschwindigkeit misst. Wenn das Auto anfangs langsam und später schnell fährt, kann die Durchschnittsgeschwindigkeit unter 120 km/h bleiben.

Aus Abbildung 3 siehst du: Die Momentangeschwindigkeit überschreitet zeitweise 120 km/h. Aber Abbildung 2 zeigt eine gleichmäßig ansteigende Strecke - das deutet auf eine konstante, niedrige Durchschnittsgeschwindigkeit hin.

🎯 Schlüsselkonzept: Durchschnittsgeschwindigkeit = Gesamtstrecke / Gesamtzeit - unabhängig von Geschwindigkeitsschwankungen!

Überblick der Aufgabenbereiche

Die Zentrale Klausur deckt alle wichtigen Bereiche der Einführungsphase ab. Analysis dominiert mit Ableitungen, Extremwertaufgaben und Anwendungen, während Stochastik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung vertreten ist.

Die Anforderungsbereiche I, II und III sind gleichmäßig verteilt: Grundwissen abrufen, Zusammenhänge erkennen und komplexe Probleme lösen. Jede Aufgabe testet verschiedene Kompetenzen.

Aufgabe 3 ist eine reine innermathematische Argumentationsaufgabe - hier geht's um sauberes Rechnen und logisches Schließen. Aufgabe 4 bringt Mathe in einen realitätsnahen Kontext mit dem Strecken-Radar.

✅ Erfolgsstrategie: Übe alle Aufgabentypen regelmäßig - besonders die Kombination aus Rechnen ohne und mit Hilfsmitteln!