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Zentralklausur Mathe 2022

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 Stochastik
Baumdiagramme
Die Pfadregeln für Baumdiagramme:
Mehrstufige Zufallsexperimente können als
Baumdiagramme dargestellt werden. Dabe

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Themen: • Stochastik (auch bedingte Wahrscheinlichkeit) • Potenzfunktionen / Ganzrationale Funktionen • Tangente / Sekante alles was ihr für die ZK braucht :)

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Stochastik Baumdiagramme Die Pfadregeln für Baumdiagramme: Mehrstufige Zufallsexperimente können als Baumdiagramme dargestellt werden. Dabei Stellt jeder Pfad ein Ergebnis des Zufallsexperiments dar. 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Produkt aller Zweigwahrscheinlich - keiten Längs des zugehörigen Pfades → PfadMultiplikationsregel 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der zugehörigen Lentralklausur Pfadwahrscheinlichkeiten → Pfadadditionsregel Bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt unter der Bedingung, dass A eingetreten. ist. PA (B) = P(ANB) P(A) . Stochastische Unabhängigkeit A UNd B Sind zwei Ereignisse Mit P(A) 10 UND P(B) 70 A UNd B heißen Stochastisch unabhängig, wenn gilt: PB (A) = P(A) oder PA (B) = P(B) Begriffe Bedeutungen Zufalls experiment: 2.B zufälliges Auswählen einer Person aus dem Kurs . E= Ereignis E1: Spielt ein Instrument · E2: Spielt TENNIS . E1 E2: Spielt TENNIS UND ein Instrument (Schnitt) P(A) >O TENNIS . E1 UE2: Spielt TENNIS ODER eiN INStrument (GegeNereignis, Komplement) • E10E2: Spielt weder ein Instrument Noch TENNIS E1 UE2 Spielt weder ein Instrument Noch . Laplace-Experiment : alle Ergebnisse Sind gleich wahrscheinlich . Ergebnis: Resultat eines Zufallsversuchs · Ergebnisraum: Menge der Möglichen Ergebnisse · Ereignis: Zusammenfassung möglicher Ergebnisse · Elementarereignis: einelementiges Ereignis .UNMögliches Ereignis: kaNN Nicht eintreten, da es keine Ergebnisse enthält .Sicheres Ereignis: tritt immer ein, da es alle Ergebnisse enthält • : alle Mögliche Ergebnisse Vierfeldertafeln • Verwendung von Vielfeldertafeln anstelle VON BaumdiagrammeN • Darstellung von relativeN oder Häufigkeiten B B A P(ANB) P(ANB) P(A) A P(ANB) P(ANB) P(A) P(B) P(B) Funktionen Die Normalparabel einfachste quadratische Funktion: f(x)= x ² 1 1 B B AANBI An Bl AAN BIJA BI IBI IBI →Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse . StreNg...

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MONOton fallend für x≤0 UNd streng MONOTON Steigend für x20 . S(010) = tiefster Punkt /Scheitelpunkt der Parabel X absoluten -3 -2 -9 g(x)=x²+2 - 4 IAI JĀI O 1 2 O Achsenparallele verschiebung der Normalparabel Beispiel: Verschiebung längs der Y-Achse .Verschiebung UM zwei Einheiten iN Richtung der positiven y-Achse · g(x) = f(x) + 2 3 9 f(x)=x²+2 f(x)=x² f(x)=x² -1 Beispiel: verschiebung längs der x-Achse . Verschiebung UM drei Einheiten in Richtung der positiveN x-Achse · g(x)=f(x-3) Y24 .S(-312) Y g(x) = (x-3) ² X 1 1 4 Beispiel: Verschiebung längs beider Achsen · gegeben: S(312) +3 · g(x) = (x-3)² +2 = x² - 6x +11 1 3 gleichen →g(x) = 2 f(x) = 3 9 V +3 g(x)=(x-3)² g(x)=x² - 6x +9 3 Stelle Beispiel: Scheitelpunktsberechnung Mit quadratischer Ergänzung • gegeben: g(x)= x² +6x +11 (Scheitelpunkt gesucht) → x² +6x + 11 = x ² +6x + 9 -9 +11 = (x+3)² +2 . Verschiebung UM -3 iN X-Richtung . Verschiebung UM +2 iN y- Richtung YL -2 -3 +2 Streckung der Normalparabel iN y-Richtung •jeder Funktionswert VON 9 zweimal so groß wie der Funktionswert VON f an der g(x)=2x² 2x² Spiegelung der Normalparabel an der X-Achse . Ist der Streckfaktor kleiner als 1, wird die FUNKTION f gestaucht . Ist der Streckfaktor Negativ, wird die Funktion f an der x-Achse gespielt Beispiel: StauchuNg iN y-Richtung und Spiegelung an *2 der →g(x) = -0,5 x ² x-Achse 1 Graph: -0,5x2 Scheitelpunktsform der Gleichung einer Parabel · g(x)=-2x²+4X+2 0,5x2 = -2(x²-2x-1) = -2(x²-2x+1-1-1) =-2 [(x-1)² -2] = -2(x-1)² + 4 ← Scheitelpunkts form X-Koordinate y-koordinate Streckung, Verschiebung und Spiegelung beliebiger reeller Funktionen Vertikale Streckung / Stauchung Gleichung: Operation: y=a. f(x) a>1 Vertikale Streckung des Graphen VON & Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert Gleichung: Operation: y=a. f(x) 0<a<1 a. f(x) f(x) Vertikale Stauchung des Graphen von f Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert Graph: Graph: vertikale verschiebung einer FunktioN. Gleichung: Operation: y = f(x) + C C>0 C>O Graph: Gleichung: Operation : y=f(x)-c (>0 Graph: Vertikale Hebung des Graphen VON f UM C Einheiten Nach oben. C70 Graph: f(x) +c a. f(x) f(x) f(x) Vertikale Senkung des GrapheN VON f UM C Einheiten Nach unten. Horizontale verschiebung einer Funktion Gleichung: Operation: y=f(x-c) Horizontale Verschiebung des Graphen VON f um C Einheiten Nach rechts. f(x) A f(x+c) f(x) f(x)-c Gleichung: Operation: y=f(x+C) f(x-c) Horizontale verschiebung des Graphen UM C Einheiten Nach links. f(x) Horizontale Streckung / Stauchung Gleichung: Operation: y=f(a.x) a>1 Graph Gleichung: Operation: y = f(a.x) 0<a<1 Graph: Graph: Horizontale Stauchung des Graphen VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. Graph: f(ax) Spiegelung einer Gleichung: Operation: y = -f(x) f(x) Horizontale Streckung des Graphen VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. FUNKTION Gleichung: Operation: y=f(-x) f(-x) einer f(x) Spiegelung des Graphen VON f an der x-Achse -f(x) f(x) f(x) # FUNKTION flax) Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse Potenfunktionen f(x)=xN (NE (N) → Potenzfunktion von Grad N Beispiel: Potenzfunktionen mit geraden Grad № x² x 4 x 6 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: P(-111), S(010), Q(1/1) liegt in 1. UND Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung: x≤o fallend, X20 steigend S(010) Tiefpunkt ; linkskrümmung 3. Verhalten an den Rändern: Für x-∞0 Strebt f(x) gegen 00. Für x > 00 Strebt f(x) gegen ∞o. 4. Symmetrie: Achsensymmetrie zur Y-Achse Beispiel: Potenzfunktionen mit ungeraden Grad 1 V -1 X x ³ + 5 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: Pl-11-1), (010), Q(111) Graph liegt im 1. UNd 3. Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung (Nicht für f(x) = x): durchgängig steigend x≤0:rechtskrümmung x20: linkSkrüMMuNg W: Wendepunkt 3. Verhalten an den Rändern: Für x-00 Strebt f(x) gegen - 00. Für x→ ∞0 Strebt f(x) gegen ∞o. 4. Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung Symmetrie VON FUNKTIONEN . StandardsymmetrieN: Punktsymmetrie ZUM Ursprung UND Achsensymmetrie zur y-Achse Achsensymmetrie zur y- Achse · f(-x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung · f(-x) = f(x) Beispiel: Rechnerische Synnetrie untersuchung 1) f(x)=x2 f(-x) =(-x)² = x ² = f(x) →achsensymmetrisch Zur 2) g(x)=x 3 g(-x) =(-x)³ = - → PUNK+Symmetrisch zum Ursprung 3) h(x)=2x³+³x² h(-x) = 1/2 (-x)³ + ²/(-x)² = -1/2 x ³ + ²³2 × ² 2 -h(x)=-x³x² 3 X →→ keine Übereinstimmung / keine Standardsymmetrie Potenzfunktionen Mit Negativen ExpoNeNteN · f(x) = //N bzw. f(x) = x -N .flx) = 1/ oder f(x)=1/2 → HyperbelN - f(x) = x^²N (N UNgerade) Wertetabelle VON f(x) = 1: X -10 -2 -1 -0,1 0 0,1 1 Y = -x³ = -g(x) -0,1 0,5 -1 -10 Graph: w/= x/2 3 </^ 5 Q Q Y 1 S y-Achse 1 Eigenschaften: 1. fist für x=0 Nicht definiert 2. verläuft im 1. und 3. Quadranten 3. fist punktsymmetrisch zum Ursprung 4. f verläuft überall fallend 5. X→ ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. XO: ANSchmiegung an die y- Achse 7. P(111) UND Q (-11-1) liegen auf f • f(x) = N(N gerade) Wertetabelle von f(x)=1/12: 2 10 X 10 -2 -1 -0,10 0,1 1 100 1 0,25 0,01 y 0,01 0,25 1 100 Graph: P 10 -1³ 1 10 0,5 0,1 Eigenschaften: 1. f ist für x=0 Nicht definiert. 2. f verläuft in 1. UNd 2. Quadranten. 3. ist achsensymmetrisch zur y-Achse 4. fist steigend für XC0 und fallend für x>0. 5. x ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. x > 0: ANSChmiegung an die y- Achse 7. P(111) UNd Q (-1/1) liegen auf t Verschiebungen und Streckungen Beispiel: Manipulation einer Hyperbel ↑ f(x)=√/₂2 Ex0,5-2 Differenzialrechnung Nullstellen berechnen . Satz vom Nullprodukt (Ablesen Bsp.: (x+3) ²=0 X=-3 x(x²+2)=0 f₁(x)=0,5/1/2 . Faktorisieren / Ausklammern Bsp.: x 3+2x = 0 g(x) = 0,5. (x-2)² X=0 v x²+2=0 x=+ √2 + ·P-9- Formel x² +px +q ×₁₁2 = -1/² ± √( 1²/₂2) ²-q' + 1,2 Bsp.: - 0,5x22x-6=0 x² + 4x +12=0 x= -1/√(4)²-12 x= -2± √√-8 -> keine Nullstelle . Substitution 1. (-2) + 1 . LENN der Funktionsthern Nur die Potenzen x2 UND x 4 oder x3 UND x 6 (usw.) enthält Bsp.: X x²= Substitution u²-5u +4=0 u²-u-4u+ 4 =0 u(u-11-4(u+1)=0 (4-1)-(4-4)=0 x₁=1 ×2=-1 4= 1 L1 = 4 FU=x² Resubstitution x²=1 4²=4 5x2+4:0 + 4 = 0 kein Ausklammern Durchschnittliche Änderungsrate . Mittlere Änderungsrate/Sekanten Steigung/ f(xo+h) Differenzen quotient . Mittlere Änderungsrate bei beliebiger Funktion f in beliebigen Intervall [xo; Xo+h] berechnen f(xo+h)-f(xo) (Xo+h)- Xo f(xo) x3 = 2 X4 =-2 f ·gibt Steigung der Sekanten durch die Punkte P(xolf(x)) und Q(xo+h|f(xoth)) an = = gegeben: f(x)=x³+2x+4 I= {-1; 2} Xo Xo+h f(2)=f(-1) 2-(-1) f(xo+h)-f(xo) h Formel für das Steigungsdreieck: f(xo+h)-f(xo) (Xo+h)- Xo 15 = 5 3 X I: Intervall (x = -1 bis x =2) f(2)=2³+2·2+ 4 = 16 f(-1) = (-1)³ + 2 · (-1) + 4 = 1 16-1 2+1 2 als x in Originalgleichung einsetzen -1 MOMENtaNe Änderungsrate • lokale Änderungsrate bei einer beliebigen Funktion f an einer bestimmten Stelle xo berechnen · Grenzwert : Ableitung VON f an der Stelle Хо . Ableitung an der Stelle xo entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(xolf (xo))

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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Verschiebung UM +2 iN y- Richtung YL -2 -3 +2 Streckung der Normalparabel iN y-Richtung •jeder Funktionswert VON 9 zweimal so groß wie der Funktionswert VON f an der g(x)=2x² 2x² Spiegelung der Normalparabel an der X-Achse . Ist der Streckfaktor kleiner als 1, wird die FUNKTION f gestaucht . Ist der Streckfaktor Negativ, wird die Funktion f an der x-Achse gespielt Beispiel: StauchuNg iN y-Richtung und Spiegelung an *2 der →g(x) = -0,5 x ² x-Achse 1 Graph: -0,5x2 Scheitelpunktsform der Gleichung einer Parabel · g(x)=-2x²+4X+2 0,5x2 = -2(x²-2x-1) = -2(x²-2x+1-1-1) =-2 [(x-1)² -2] = -2(x-1)² + 4 ← Scheitelpunkts form X-Koordinate y-koordinate Streckung, Verschiebung und Spiegelung beliebiger reeller Funktionen Vertikale Streckung / Stauchung Gleichung: Operation: y=a. f(x) a>1 Vertikale Streckung des Graphen VON & Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert Gleichung: Operation: y=a. f(x) 0<a<1 a. f(x) f(x) Vertikale Stauchung des Graphen von f Mit a: Jeder Funktionswert wird den Faktor Mit a Multipliziert Graph: Graph: vertikale verschiebung einer FunktioN. Gleichung: Operation: y = f(x) + C C>0 C>O Graph: Gleichung: Operation : y=f(x)-c (>0 Graph: Vertikale Hebung des Graphen VON f UM C Einheiten Nach oben. C70 Graph: f(x) +c a. f(x) f(x) f(x) Vertikale Senkung des GrapheN VON f UM C Einheiten Nach unten. Horizontale verschiebung einer Funktion Gleichung: Operation: y=f(x-c) Horizontale Verschiebung des Graphen VON f um C Einheiten Nach rechts. f(x) A f(x+c) f(x) f(x)-c Gleichung: Operation: y=f(x+C) f(x-c) Horizontale verschiebung des Graphen UM C Einheiten Nach links. f(x) Horizontale Streckung / Stauchung Gleichung: Operation: y=f(a.x) a>1 Graph Gleichung: Operation: y = f(a.x) 0<a<1 Graph: Graph: Horizontale Stauchung des Graphen VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. Graph: f(ax) Spiegelung einer Gleichung: Operation: y = -f(x) f(x) Horizontale Streckung des Graphen VON f Mit dem Faktor 1. Der Schnitpunkt Mit der y- Achse bleibt. FUNKTION Gleichung: Operation: y=f(-x) f(-x) einer f(x) Spiegelung des Graphen VON f an der x-Achse -f(x) f(x) f(x) # FUNKTION flax) Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse Potenfunktionen f(x)=xN (NE (N) → Potenzfunktion von Grad N Beispiel: Potenzfunktionen mit geraden Grad № x² x 4 x 6 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: P(-111), S(010), Q(1/1) liegt in 1. UND Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung: x≤o fallend, X20 steigend S(010) Tiefpunkt ; linkskrümmung 3. Verhalten an den Rändern: Für x-∞0 Strebt f(x) gegen 00. Für x > 00 Strebt f(x) gegen ∞o. 4. Symmetrie: Achsensymmetrie zur Y-Achse Beispiel: Potenzfunktionen mit ungeraden Grad 1 V -1 X x ³ + 5 gemeinsame Eigenschaften 1. gemeinsame Punkte: Pl-11-1), (010), Q(111) Graph liegt im 1. UNd 3. Quadranten 2. Steigungsverhalten und Krümmung (Nicht für f(x) = x): durchgängig steigend x≤0:rechtskrümmung x20: linkSkrüMMuNg W: Wendepunkt 3. Verhalten an den Rändern: Für x-00 Strebt f(x) gegen - 00. Für x→ ∞0 Strebt f(x) gegen ∞o. 4. Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung Symmetrie VON FUNKTIONEN . StandardsymmetrieN: Punktsymmetrie ZUM Ursprung UND Achsensymmetrie zur y-Achse Achsensymmetrie zur y- Achse · f(-x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung · f(-x) = f(x) Beispiel: Rechnerische Synnetrie untersuchung 1) f(x)=x2 f(-x) =(-x)² = x ² = f(x) →achsensymmetrisch Zur 2) g(x)=x 3 g(-x) =(-x)³ = - → PUNK+Symmetrisch zum Ursprung 3) h(x)=2x³+³x² h(-x) = 1/2 (-x)³ + ²/(-x)² = -1/2 x ³ + ²³2 × ² 2 -h(x)=-x³x² 3 X →→ keine Übereinstimmung / keine Standardsymmetrie Potenzfunktionen Mit Negativen ExpoNeNteN · f(x) = //N bzw. f(x) = x -N .flx) = 1/ oder f(x)=1/2 → HyperbelN - f(x) = x^²N (N UNgerade) Wertetabelle VON f(x) = 1: X -10 -2 -1 -0,1 0 0,1 1 Y = -x³ = -g(x) -0,1 0,5 -1 -10 Graph: w/= x/2 3 </^ 5 Q Q Y 1 S y-Achse 1 Eigenschaften: 1. fist für x=0 Nicht definiert 2. verläuft im 1. und 3. Quadranten 3. fist punktsymmetrisch zum Ursprung 4. f verläuft überall fallend 5. X→ ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. XO: ANSchmiegung an die y- Achse 7. P(111) UND Q (-11-1) liegen auf f • f(x) = N(N gerade) Wertetabelle von f(x)=1/12: 2 10 X 10 -2 -1 -0,10 0,1 1 100 1 0,25 0,01 y 0,01 0,25 1 100 Graph: P 10 -1³ 1 10 0,5 0,1 Eigenschaften: 1. f ist für x=0 Nicht definiert. 2. f verläuft in 1. UNd 2. Quadranten. 3. ist achsensymmetrisch zur y-Achse 4. fist steigend für XC0 und fallend für x>0. 5. x ±00: ANSchmiegung an die x-Achse 6. x > 0: ANSChmiegung an die y- Achse 7. P(111) UNd Q (-1/1) liegen auf t Verschiebungen und Streckungen Beispiel: Manipulation einer Hyperbel ↑ f(x)=√/₂2 Ex0,5-2 Differenzialrechnung Nullstellen berechnen . Satz vom Nullprodukt (Ablesen Bsp.: (x+3) ²=0 X=-3 x(x²+2)=0 f₁(x)=0,5/1/2 . Faktorisieren / Ausklammern Bsp.: x 3+2x = 0 g(x) = 0,5. (x-2)² X=0 v x²+2=0 x=+ √2 + ·P-9- Formel x² +px +q ×₁₁2 = -1/² ± √( 1²/₂2) ²-q' + 1,2 Bsp.: - 0,5x22x-6=0 x² + 4x +12=0 x= -1/√(4)²-12 x= -2± √√-8 -> keine Nullstelle . Substitution 1. (-2) + 1 . LENN der Funktionsthern Nur die Potenzen x2 UND x 4 oder x3 UND x 6 (usw.) enthält Bsp.: X x²= Substitution u²-5u +4=0 u²-u-4u+ 4 =0 u(u-11-4(u+1)=0 (4-1)-(4-4)=0 x₁=1 ×2=-1 4= 1 L1 = 4 FU=x² Resubstitution x²=1 4²=4 5x2+4:0 + 4 = 0 kein Ausklammern Durchschnittliche Änderungsrate . Mittlere Änderungsrate/Sekanten Steigung/ f(xo+h) Differenzen quotient . Mittlere Änderungsrate bei beliebiger Funktion f in beliebigen Intervall [xo; Xo+h] berechnen f(xo+h)-f(xo) (Xo+h)- Xo f(xo) x3 = 2 X4 =-2 f ·gibt Steigung der Sekanten durch die Punkte P(xolf(x)) und Q(xo+h|f(xoth)) an = = gegeben: f(x)=x³+2x+4 I= {-1; 2} Xo Xo+h f(2)=f(-1) 2-(-1) f(xo+h)-f(xo) h Formel für das Steigungsdreieck: f(xo+h)-f(xo) (Xo+h)- Xo 15 = 5 3 X I: Intervall (x = -1 bis x =2) f(2)=2³+2·2+ 4 = 16 f(-1) = (-1)³ + 2 · (-1) + 4 = 1 16-1 2+1 2 als x in Originalgleichung einsetzen -1 MOMENtaNe Änderungsrate • lokale Änderungsrate bei einer beliebigen Funktion f an einer bestimmten Stelle xo berechnen · Grenzwert : Ableitung VON f an der Stelle Хо . Ableitung an der Stelle xo entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(xolf (xo))