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1. Funktionen.
Potenzgesetze / Potenzfunktionen
Ganzrationale Funktionen
Symmetrie, Nullstellen, etc.
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THEMEN ÜBERSICHT: · ZENTRALKLAUSUR 1. Funktionen. Potenzgesetze / Potenzfunktionen Ganzrationale Funktionen Symmetrie, Nullstellen, etc. Exponentialfunktionen Logarithmus 3. Funktionsuntersuchungen Charakteristische Punkte Monotonie Hoch- und Tiefpunkte Begriffe in Sachzusammenhängen 1. Funktionen ● Potenzgesetze gleiche Basis: a a a Potenzieren von Potenz r.s a Gleicher Exponent (a.b)" (á) ³. a b a: br Beispiele : (8) a अड = =5² 2) 3) 2. Schlüsselkonzept: Ableitungen Mittlere Änderungsrate - Differenzen quotient Momentane Änderungsrate Ableitung an einer Stelle berechnen • Ableitungsfunktion. + Regeln Tangente. Ableitung von Sinus und Kosinus 4. Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Erwartungswert Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel 4-Feldertafeln - bedingte Wahrscheinlich keiten • Stochastische Unabhängigkeit a (ta)m a n = Tam (a) = Bop (40,5) = (0,5²) ² = 0,5 € 4 Bsp. : 3 (42²)²³ = 2*² == =(4)³ √² 8 53 = 4√5 (am) - = (0,5) == 1₁5² 16 € = 416³¹ 27 عاس (27) = Potenzfunktionen n-ten Grades f(x) = a.x^ 1. Für jede Potenzfunktion gilt f(0) = 0. Graph geht durch den Punkt s (010). 2. Der Faktor a ist der Stauchungs- bzw. Streckfaktor. Für -^<a<^ ist der Graph breiter (gestaucht) als der Graph von 9 mit g(x) = x". Für d <-1 baw. a >1 ist der Graph enger (gestreckt) ald der Graph von g mit g(x) = x²: 3. Für Polenzfunktionen mit geraden Exponenten gilt: a) f(1) = a und f(-1)= a, der Graph gent durch die Punkte P(112) und a (-117) b) alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen (positiv bei a>0; negativ bei a ≤ 0). 4. Für Polenzfunktionen mit ungeraden Exponenten gilt: a) f(₁) =a und f(-1) = -a; der Graph gent durch die Punkte P(11a) und Q(-11-a) b) Funktionswerte wechseln das Vorzeichen bei x = 0...

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(von negativ zu positiv bei a70, von positiv zu negativ bei aco) Gerader Exponent: Ganzrationale Funktionen ₂x)=3x f(x) = 0,5x" yz Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen für → für x- سل I ∞ f(x). (C) → 1 f₁(x)=x₂" June 20 f(x)=0,5x Verhalten für x- Für x → ± ∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der höhsten Potenz von x bestimmt Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = ant", wobei n der Grad von f ist. +00 Verhalten für x nahe O Für x nahe O wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der niedrigsten Potenz von x bestimmt Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y=a₂x² + a。, wobei k die niedrigste Potenz von x ist. of (x) = 0,5x & für für x ungerader Exponent f(x) fax) ست۔۔ سلام für für x § - 00 f₂0x)=1,5 x ³ f(x)= f(x) (cx) f(x) = x ³ f3(x)=0,5x² für x für x → - 00 -fcx)= x² + 3x² f(x)→ fax) → + ∞ Symmetrie Achsensymmetrisch zur y-Achse wenn Funktionsterm fcx) nur Potenzen mit geraden Exponenten hat wenn gilt f(-x) = f(x) Nullstellen : Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. ansonsten keine Symmetrie 1. Ablesen wenn die Funktion nur aus Linearfaktoren besteht verschieben und Strecken : Punktsymmetrisch zum Ursprung (010) Exponentialfunktionen wenn Funktionsterm fcx) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten hat wenn gilt f(-x) = -f(x) 3 2. Ausklammern, wenn alle Summanden der Funktion Variablen enthalten: 2.B. f(x)= x³ - ²x² = x²(x-2) 3. Substitution, wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x² oder x³ und xº (usu. enthält: 7 = ·x² 2.B. fcx) = -0,5· (x-3): (x-1)². (x+2) z.B. fœx)= x²-7x² +12. 2² - 72 +12 Verschieben von Graphen Den Graphen der Funktion g mit g(x) = f(x-c)+d erhält man, indem man den Graphen von fum c in in Richtung der x-Achse und um d in Richtung der y-Achse verschiebt. Strecken von Graphen Den Graphen der Funktion n mit h(x) = k· f(x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der x - Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion n mit h(x) = f(k.x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der g Achse aus in X-Richtung mit dem Faktor Streckt. fox) = c.a Exponentialfunktion Wenn eine Exponentialfunktion einen Wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für 2-1 um eine exponentielle zunahme und für a<₁ um eine exponentielle Abnahme. Faktor (= Anfangs zustand f(0) zum Zeitpunkt x = 0. १ P% Wachstumsrate 9 Wachstumsfaktor = Rechnung: 1 + p% -4 Exponentielles Modell fcx) = c.a* f(t = =) = f(t = 2/2 ) = = fcx) f(t=-1) = 16.21 a: Wachstumsfaktor (p= a-1 prozentuale Anderung pro Zeitschritt C: Anfangswert t=0 +1 -2 LIIT 101 4 16 32 :2 2 = Logaritmus Bsp.: -3 1 + 2 16. 2 = 16 р 100 8 = 2 } log, (2) x=/ 16 27. 16. 16 ²1/2³ :2 = X 16:2= Aus der Wachstumsrate Wachstumsfaktor berechnen √2¹ = 22,6 16-(²/2)³ ; x = 4 +1. log, (b) (sprich: Logarithmus von b zur Basis a) ist die Lösung der Exponentialgleichung Loga (b) ist also diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Bsp.: log₂ (16) = x mit GTR: 2 64 kann man den {" IN THE 3 128 4 5 + t 256 512 Damit 1,04 alleine steht 109 1104 3000 1,04* 6000 1,04* (2) = = 2 X 17,67 6 1024 : 3000 2 b 2. Schlüsselkonzept: Ableitungen Mittlere Änderungsrate - Differenzen quotient Ist eine Funktion auf einem Intervall Ẹ xoi xo th] f (x₂ +h)-f(x₂) die Steigung der Sekante durch die Punkte berechnen.. Diese Entspricht bei Anwendungen der mittleren n h = Intervallbreite f (xoth) f(x₂) f (x₂ +h) = f(x₂) ( = y₂-y) = - 92-9₁ xo+h- xo n Momentane Änderungsrate Bsp. f(x) = x² f(xo+h)-f(xo) h Ableitung bei xo =3 = 6+h definiert, dann kann man mit dem Different quotienten P(xolf(x)). und Q (xo +hIf Croth)) Änderungsrate in dem Intervall [xo; *。 *h]. 1) Term für Differenzquotienten aufstellen: 2) Differenzquotienten so umformen, dass 6h+n² (6+h).h n Wenn der Differenz quotient Ableitung von f an der Stelle xo. Man schreibt dafür f'(xo) und liest of Strich an der Stelle xo. Bei Anwendungen. wird die Ableitung auch als momentane bzw. Lokale Änderungsrate der zugehörigen Größe bezeichnet. Die Gerade durch den Punkt P(xolfcxo)) mit der Steigung f'(xo) nennt man Tangente des von f in xo Man sagt: ,, Der Graph von f hat an der Stelle xo die Steigung f'(xo)"!. y₂ = f(x₂+h) f(xo+h)-f(xo) ·y₁ =f(x)..... h im Nenner wegfällt x₁ = xo. K für no einen Grenzwert besitzt, dann heißt dieser h X2 =xo+5 f(3 +h)-f(3)_ (3+h) ² - 3² n = 2 (3+h)²-3² 9 +6h th²-9 h 1. Binomi Graphen 3) umgeformten Term für h→0 untersuchen : 6th 6 Die Ableitung an der Stelle x=3 ist f'(3)=6

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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