Zentralklausur Mathe EF

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und Q (-11-a) b) Funktionswerte wechseln das Vorzeichen bei x = 0 (von negativ zu positiv bei a7 0, von positiv zu negativ bei aco) Gerader Exponent: Ganzrationale Funktionen 1 f₁(x)=x₂ -f₂(x)=3x²/ Vasco f₂(x) = 0,5x" Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen (a) ungerader Exponent VJ f(x)=0,5x* für für Verhalten für x ± ∞0 Für x → ± ∞o wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der höhsten Potenz von X bestimmt - Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y= ant", wobei n der Grad von f ist. Verhalten für x nahe O Für x nahe O wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der niedrigsten Potenz von x bestimmt Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y=a₂x² ao wobei k die niedrigste Poteriz von x ist. (a) G) 0,5x2x³. 1²20x)=1,5 x ³ D f(x)= x² + 3x². Jane f(x). fo(x)=x²³ f3(x) = 0,5x² für für -fox)= x² + 3x². ((x)-16 (a) +∞ Symmetrie Achsensymmetrisch zur y-Achse • wenn Funktionsterm f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten hat • wenn gilt: f(-x) = f(x) • Nullstellen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. verschieben und Strecken ansonsten keine Symmetrie Punktsymmetrisch zum Ursprung (010) 1. Ablesen, wenn die Funktion nur aus Linearfaktoren besteht : 2.B. fcx) = -0,5 (x-3) · (x-1)²· (x+2) 2. Ausklammern, wenn alle Summanden der Funktion Variablen enthalten: 2.B. f(x) = x²³ - ²x² = x²(x-2) 3. Substitution, wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x" oder +³ und x² (wu. enthält: 2.B f(x)= x² - 7x² +12 2²- - 72 +12 Exponentialfunktionen • wenn Funktionsterm f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten hat "wenn gilt: f(-x) = -f(x) Exponential funktion verschieben von Graphen Den Graphen der Funktion g mit g(x) = f(x-c) +d erhält man, indem man den Graphen von f um c in in Richtung der -Achse und um d Richtung der y-Achse verschiebt. Strecken von Graphen =>2= x² Den Graphen der Funktion n mit n(x) = k· f(x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der x - Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion n mit n(x) = f(kx) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der y ・Achse aus in X-Richtung mit dem Faktor Streckt. fcx) = c.a* Wenn eine Exponentialfunktion einen Wachstumsvorgang beschreibt, handelt es sich für 2 >1 um eine exponentielle Zunahme und für a < ₁ um eine exponentielle Abnahme. Faktor ( = Anfangs zustand f(0) zum Zeitpunkt x = 0. 9 P% Wachstumsrate = Wachstumsfaktor Rechnung: 1 + p1. 1 f(x) Logaritmus 1 + Exponentielles Modell fcx) = c•a* a: Wachstumsfaktor (p= a-1 prozentuale Anderung pro Zeitschritt C: An fangswert t=0 -3 -2 2 f(t=-1) = 16.21 f(t = z) = f(t = ²) - 16. 2t Bsp.: 16. Bsp.: 2 16 -> X= 100 16²/1/2³ } 8 = 2 log, (2) = x 13 16:28 Aus der Wachstumsrate kann man den = 16 = 16. √2 = log₂ (16) = x Wachstumsfaktor berechnen 1 32 22,6 16. (³-√2)³ x = 4 +1 log, (b) (sprich: Logarithmus von b zur Basis a) ist die Lösung der Exponentialgleichung a = b Loga (b) ist also diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. mit GTR: 2 64 IN THE 3 128 3000 1,04 = 6000 1,04* Damit 1,04 alleine stent. Log 0,04 (2) 4 256 X = 2 = X 5 512 17,67 6 1024 1:3000 2. Schlüsselkonzept: Ableitungen Mittlere Änderungsrate - Differenzen quotient Ist eine Funktion auf einem Intervall [x; xo th] f (x, th) f(x₂) die Steigung der Sekante durch die berechnen. Diese Entspricht bei Anwendungen der n h = Intervallbreite. f (x₂th) - f (x₂) xo +h- xo f (x₁ th) = f(x₂) (= y₂ = y) 2 - Momentane Änderungsrate f(xo+h)-f(xo) Wenn der Different quotient Ableitung von f an der Stelle xo. Bsp. f(x)=x² Ableitung bei x6 =3 für no 1) Term für Differenzquotienten auf stellen: = 6+h . definiert, Punkte mittleren . einen Grenzwert f(xo+h)-f(ro) . dann kann man mit dem Different quotienten P (xolf. (xo)) und Q (xo +h] f( *oth)) Anderungsrate in dem Intervall [xo; xo +h] y₂ = f(x, th) 2) Different quotienten so umformen, dass h im Nenner wegfällt: 6h+h² (6 +h).h n n 4₁=f(x) x₁ = xo Man schreibt dafür f'(xo) und liest of Strich an der Stelle xo." Bei Anwendungen wird die Ableitung auch als momentane bzw. Lokale Änderungsrate der zugehörigen Größe bezeichnet. Die Gerade durch den Punkt P(xo 1 f(xo)) mit der Steigung f'(xo) nennt man Tangente des Graphen von f in xo. Man sagt: ,, Der Graph von f hat die Steigung f'(xo) " an der Stelle xo f(3+h)-f(3) * h (3+h)²-3² X besitzt, dann heißt dieser . x2-xoth (3+h)²-3² h h 9 +6h th²-9 1. Binomi * 3) umgeformten Term für h→0 untersuchen. : 6th →→ 6 → Die Ableitung an der Stelle x₂ =3 ist f'(3) = 6 Ableitungen an einer Stelle berechnen. wenn der Differenzenquotient. f(xo+h)-((xo) einer Funktion f an einer Stelle xo für h→0 einen Grenzwert besitzt, so nennt man die Funktion differenzierbar an dieser Stelle. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle xo berechnet man so.. -Man stellt einen Term für den Differenzenquotienten auf. - Der Differenzenquotient wird so umgeformt, dass erkennbar ist, gegen welchen festen wert er für h→0 strebt. Bsp.: f(x) = x ³ f(xo+h)-f(x) n A 12h+6h² +h²³ n B Die Ableitungsfunktion an der Stelle Xo = 2. f(2+h)-f(2) n Zeichnen der Ableitung: m= negativ m= 0 bí (12+6h thủ) t positiv • Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen der Funktion f an der Stelle x. an • Die Ableitung verringert sich um 1 Grad von der Ausgangsfunktion (2 +h)³_8_ (4+4h+n²) (2+h) - P Ist eine Funktion f für alle x € D₁ differenzierbar, so heißt die Funktion, die jeder Stelle x der Definitions meng der Ableitung f'(x) an dieser Stelle zuordnet, die Ableitungsfunktion floder Ableitung von f. /m-positiv n 12+ 65+² 12 In fällt weg. - ist die Steigung des Graphen von f positiv, so verläuft f' oberhalb der x-Achse ist die Steigung des Graphen von f O, so schneidet f' die Ist di Steigung des Graphen von f negativ, so verläuft fl positiv für h→0. ALSO gilt f'(2) = 12 Ableitung, Ableitung 8²+ 8h+2h³² + 4h +4h² +h³. h unterhallo x-Achse x-Achse oberhalb der x-Ach SP oberhalb x-Achse oberhalb. SP mit x-Achse Ableitungsregeln Potenzregel: Für eine Funkion f mit f(x) = x², n€ IN gilt: f'(x) = n.x^-^ Faktorregel: Für eine Funkion f. mit f(x) = Summenregel Für eine Funkion f mit f(x) = Bsp. a) f(x) = x² f'(x) = 5x³15x" Tangente 1. 5. 3. Ausgerechnetes 4. y berechnen 6. b) f(x) = x³ + x 9 Funktion ableiten 2. Dann m bestimmen → Punkt & in Ableitung einsetzen mx +b einsetzen -2π f'(x) = 3x² + 9x² y = m.x+b r.g (x), r ER, gilt: f'(x) = r.g₁cx). f'(x) = g'(x) + K²(x) b berechnen g(x) + k (x) gilt: y=cosx| Sin '(x) Sinusfunktion: f(x) = sin(x) Kosinusfunktion: g(x)= cos (x) -TT Ableiten von Sinus und Cosinus c) f(x)= 7x² y=sinx ↳ f(x) = 7.4x³ = 28x³ in → Punkt x in Ausgangsfunktion einsetzen d) f(x)= 3x (x²-2) +5 f(x) = 3x² - 6x +5 ↳ f'(x) = 9x² -6 f'(x) = g'(x) = VAL 3TT 2TT 5 3 COS (x) - Sin (x) e) f(x) = ax + bx" - (x² ↳ f'(x) = 7ax² + 4bx³ - 2 cx 2 X 3. Funktionsuntersuchungen Charakteristische Punkte Monotonie y-Achsen- abschnitt Nullstelle T. (x₂ | fox₂)) y=x H(x₂ / f(x₂)) (x₂ / (Cx₂)) Nullstellen Aus X₁ X₂ folgt f(x₂) < f (x₂), dann heißt f streng monoton zunehmend in I. Der Graph von f steigt streng monoton. y-Achsenabschnitt Extremstellen Extremwerte/lokale Extrema Lokale Minima Lokales Maximum globales Minimum Achsen Schnittpunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte sind charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion. Um den verlauf eines Graphen zu beschreiben, können charakteristische Punkte, Symmetrie und das verhalten x ±00 hilfreich sein. Die Funktion f ist auf einem Intervall I definiert. wenn für alle X., X, aus I gilt: x=-2 und x= -0,5 y = 1,5 X₁ X₂ und X₂ f(x.), f(x₁) und f(x₂) f streng monoton zunehmend f(x) und f(x₂) f(x3) f(x₂) Aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) > f (x₂), dann heißt f streng monoton abnehmend in I. Der Graph von f fällt streng monoton f'(x) 70 f streng monoton abnehmend 'f'(x) < 0 Monotoniesatz Die Funktion f ist im Intervall I differenzierbar. wenn für alle x aus I gilt:. f'(x) >0₁. f! (x) <0, dann ist f streng monoton zunehmend in I. dann ist f streng monoton abnehmend in I. Hoch- und Tiefpunkte 3 2 Bestimmen von lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion f: 1. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f'x)=0 bestimmen, um mögliche Extremstellen zu finden. Diese Bedingung muss immer erfüllt sein. + -7 Am Graphen der Funktion f mit f(x) = x³ erkennt man, dass die Umkehrung der Aussage des Monotoniesatzes nicht gilt. Obwohl die Funktionswerte von f für alle x streng monoton zunehmen, ist die Bedingung f'(x) >0 an der Stellex=0 nicht erfüllt, denn 2. Hinreichende Bedingung: wenn f'(x) = 0 ist und f'in der Umgebung von xo einen Vorzeichenwechsel (vzw) von nach- - nach + hat, dann besitzt f ein lokales Maximum an der Stelle to. hat, dann besitzt f ein lokales Minimum an der Stelle xo. Nach der Überprüfung dieser Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium) lässt sich eine sichere Aussage darüber machen, ob es sich bei einer Stelle xo um eine Extremstelle handell und welche Art von Extrempunkt vorliegt. es gilt f'(o)= 0. 3. y- Koordinaten der Extrempunkte: Einsetzen der Extrem stellen in f(x). f'(x) > 0 -6 -5 •H(xo [ f(xo)); 02/²²(x) = 0 -2 2 f'(x) < 0 1 + f'(x) < 0 -2- 3 •T(X₁ | F(x₂)) + 4 f'(x) >0 f'(x₁) = 0. 5 7 Mathematische Begriffe in Sach zusammenhängen Modelliert die differenzierbare Funktion f die Höhe eines Heißluftballons in Abhängigkeit von der Zeit t (t€ [0; 120] in Minuten nach dem Abflug und f(t) in metern) so lassen sich die folgenden. Zusammenhänge herstellen: Alltagsfrage wie noch ist der Heißluftballon eine viertel stunde nach Abflug?. Nach wie vielen Minuten ist der Ballon nöher als 100m? Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon durchschnittlich in der ersten Stunde? Wie schnell steigt der Ballon 3 Minuten nach Abflug? I wann landet er? In welchem Zeitraum steigt er, lin welchem sinkt er? Nach welcher Flugzeit ist er am höchsten? Mathematische Frage wie groß ist der Funktionswert an der Stelle t= 15? Für welches t sind die Funktionswerte 100 ? welchen wert besitzt der Differenzenquotient im Intervall I= [0,60]? wie groß ist die Ableitung bei t = 3? Wo liegen Wullstellen von f? Für welche Bereiche vont ist f streng monoton zunehmend/streng monoton abnehmend ? An welcher Stelle befindet sich ein globale Maximum im Definitionsbereich D= [0, 120] 4. Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung - Erwartungswert Lösungsansatz f(15) berechnen f(to) = 100 (ösen und interpretieren f(60) f(0) 60-0 f'(3) berechnen berechnen f(t) = 0 lösen und interpretieren f'(to)=0 lösen Vorzeichen von f' rechts, links prüfen. f'(t) 0 Ballon steigt f'(t) <o: Ballon Sinkt f'(to) =0 lösen, f' muss bei to VZW von + nach haben. bere Rand werte von D, also f (0) und (120) über- prüfen. Max. von f(to), f(0), f(120) bestimmen Den einzelnen Ergebnissen eines Zufallsversuchs kann man wahrscheinlichkeiten zuordnen. Die Wahrscheinlichkeiten sind gut gewählt, wenn sie die relativen Häufigkeiten bei großer versuchszahl gut vorhersagen. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse summieren sich zu 100%. Sie bilden eine wahrscheinlichkeitsverteilung. . Note 1 للہ ا ا ااا 2 3 4 5 6 abs. H. 105 95 95 106 98 101 600 rel. H 17,5 % 15,8%. 15,8% 17,7% 16,3%. 16.8% 100%. Mittelwert - Erwartungswert Häufigkeitsverteilungen charakterisiert man durch den Mittelwert . So wird der Ausfall einer Klausur durch den Mittelwert der erreichten vote beschrieben. Die Noten (vgl. Tabelle) wurden mit einem würfel gewürfelt. Der zugehörige Mittelwert ist x=600 (1.105 + 2.95... + 6. 101) = 3,573. relativen Häufigkeiten berechnen: x = 1.105 +2.200 +2.600 +...+ 6 = 3,573. Im Mittel wurde also die Note 3,573 erreicht. Man kann ihn auch direkt aus den 101 600 = 1.0, 175 +2.01 158+...+6.168 Wenn bei einer Datenerhebung die Ergebnisse X₁, X2,..., xn mit den Wahrscheinlichkeiten P₁, P²,..., Pn auftreten, dann heißt μ = x₁ P₁ + x₂ P₂ + ... + Xn Pn der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilung. Er gibt an, welchen Mittelwert man bei ausreichend großer versuchszahl auf lange Sicht erwarted. Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel Glücksrad : Es gibt 4 mögliche Ergebnisse Dabei gibt es zwei Elemente (r= rot, b=blau). Die Ergebnismenge s ist S= {rr, rb, br, bb} Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (Pfad eines Baumdiagrammes) wird bestimmt, indem mar, die wahrscheinlichkeiten längst eines Pfades multipliziert. Bsp.: P(rb) = 3.4- Mengenschreibweise = 1. Drenen 2. Drehen e P (e) 3 A555 16 16 PC, mindestens einmal rot") = P(ir) + P(rb) + P (br) = 10 + 10 + 10 = bestimmen: 0 (₁, zweimal blau") P(D) = P(bb) = 16. P(0) = 1 rr 9 16 rb br S = {r,b} bb 16 oder erst Gegenerei gnis PCD) (D₂ D + Ō = 1) = 1 1/6 = 18. Pfadregel: Man erhält die warscheinlickeit für ein Ergebnis, indem man die Wahrscheinlichkeiten längst des zugehörigen Pfades multipliziert. Summenre gel: Die Wahrscheinlichkeit PCE) eines Ereignisses E erhält man, indem man die wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. Die wahrscheinlichkeiten von Gegenereignissen ergänzen sich zu 1: P(D) +P (5) = 1 " wenn beim zweifachen Orehen sowohl das Ereignis A Die erste Farbe ist rot" als auch das Ereignis & Beim zweiten Drehen erscheint blau" eintreten, so schreibt man hierfül auch AnB: Es gilt P(ANB) = 2 · 4 - 76. Vierfeldertafeln bedingte warscheinlichkeiten rot (R) nicht rot (R) Summe Man mit Punkt (M) 3 2 5 L P₂(M)= M P(R) = 10 R P(ROM) ==== ohne Punkt (ū) 1 Man bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für eine Markierung (M) unter der bedingung rot (R) als bedingte wahrscheinlichkeit und schreibt P₁ (M) = = = 751. Es gilt: P₁₂ (B) = 4 Das wissen über die Markierung verändert die Wahrscheinlichkeit der Farbe: Die Wahrscheinlichkeit für rot ist P(R) = 10. Wenn man weiß, das die Kugel markiert ist (u) (z. B. durch raue Oberfläche), wächst sie auf P₁ (R) = ²/1/2₁ R erst Farbe, dann Markierung P (ANB) P (A) 5 Stochastische Unabhängigkeit Summe 4 6 10 entnehmbare Wahrscheinlichkeiten: P(R) = + P (M) = 1/5/10 P(R) - P(M)= P(RM)== bzw. P(A) = ; P(M) = 2 R P (RAM) = P(R). PR (M) bzw. P(RAM) = P(M). Pμ (R). Damit erhält man: P₂ (u) = erkenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden der 2. Stufe. Berechnung: P(RAM) P(MOR) = erst Markierung, dann Farbe P(M) = /²/²01 = P (B) ist die bedingte wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass A eingetreten ist. P. (ANB) P (B) P(R) und PM (R)= P(ROM) P(M)