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Funktionsscharen & Integrale einfach erklärt: Aufgaben und Lösungen

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L

Laura Meier

22.11.2020

Mathe

Zusammenfassung Funktionsscharen & Integrale

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Extremstellen

Extrempunkte berechnen

2.020

•

22. Nov. 2020

•

1 Seite

Funktionsscharen & Integrale einfach erklärt: Aufgaben und Lösungen

L

Laura Meier

@laurameier_7d9e15

Funktionsscharen und Integrale sind zentrale Konzepte in der Analysis, die... Mehr anzeigen

Nullstellen f(x)=0 Extrempunkte→> filx)=0 ^f"(x) ²0 (>0=TP/<0=HP) Wendepunkte →→ f"(x)=0 ^f"(x) = 0 Funktionsscharen -> > falx)=x² + ax+2 Pa

Funktionsscharen und Integrale: Grundlagen und Anwendungen

Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über wichtige Konzepte der Analysis, insbesondere Funktionsscharen und Integrale. Sie behandelt grundlegende Berechnungsmethoden sowie fortgeschrittene Anwendungen.

Nullstellen und kritische Punkte

Die Berechnung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten ist fundamental für die Analyse von Funktionen:

  • Nullstellen: f(x) = 0
  • Extrempunkte: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 (> 0 für Tiefpunkt, < 0 für Hochpunkt)
  • Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt, an dem eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum annimmt.

Funktionsscharen und Ortskurven

Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die durch einen Parameter a beschrieben werden. Ein Beispiel ist f_a(x) = x² + ax + 2.

Highlight: Die Analyse von Funktionen mit Parametern ermöglicht es, Gemeinsamkeiten und Unterschiede innerhalb einer Funktionsfamilie zu untersuchen.

Zur Bestimmung der Ortskurve einer Funktionsschar:

  1. Den x-Wert nach dem Parameter a umstellen
  2. a in die y-Koordinate einsetzen

Example: Für die Funktionsschar f_a(x) = x³ - ax² - x + a wird gezeigt, wie man gemeinsame Punkte findet, indem man f_a(x) = f_5(x) setzt und nach x auflöst.

Integrale und Flächenberechnung

Integrale beschreiben oft Änderungen über die Zeit. Der Flächeninhalt unter einer Kurve repräsentiert die Gesamtänderung.

Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist. Sie wird zur Berechnung bestimmter Integrale verwendet.

Wichtige Konzepte:

  • Fläche oberhalb der x-Achse: positive Änderung
  • Fläche unterhalb der x-Achse: negative Änderung
  • Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Example: Zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen bestimmt man zunächst die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x), bildet dann die Differenzfunktion f(x) - g(x) und integriert diese.

Praktische Anwendungen

  • Verwendung eines Grafikrechners zur numerischen Integration
  • Berechnung von Flächeninhalten zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
  • Bestimmung des Mittelwerts einer Funktion über ein Intervall

Highlight: Die Integralrechnung findet vielfältige Anwendungen, von der Physik bis zur Wirtschaft, wo sie zur Berechnung von Gesamtänderungen und Durchschnittswerten eingesetzt wird.

Diese Zusammenfassung bietet einen fundierten Einblick in die Themen Funktionsscharen und Integrale, die für fortgeschrittene mathematische Analysen unerlässlich sind. Sie vermittelt wichtige Konzepte und Techniken, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen von großer Bedeutung sind.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Extrempunkte berechnen

 

Mathe

•

2.020

•

22. Nov. 2020

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Funktionsscharen & Integrale einfach erklärt: Aufgaben und Lösungen

L

Laura Meier

@laurameier_7d9e15

Funktionsscharen und Integrale sind zentrale Konzepte in der Analysis, die vielfältige Anwendungen in der Mathematik und den Naturwissenschaften haben. Diese Zusammenfassung erläutert wichtige Aspekte wie Nullstellen von Funktionsscharen berechnen, Ortskurven bestimmen und Flächen zwischen Graphen berechnen. Besonders wird... Mehr anzeigen

Nullstellen f(x)=0 Extrempunkte→> filx)=0 ^f"(x) ²0 (>0=TP/<0=HP) Wendepunkte →→ f"(x)=0 ^f"(x) = 0 Funktionsscharen -> > falx)=x² + ax+2 Pa

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Funktionsscharen und Integrale: Grundlagen und Anwendungen

Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über wichtige Konzepte der Analysis, insbesondere Funktionsscharen und Integrale. Sie behandelt grundlegende Berechnungsmethoden sowie fortgeschrittene Anwendungen.

Nullstellen und kritische Punkte

Die Berechnung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten ist fundamental für die Analyse von Funktionen:

  • Nullstellen: f(x) = 0
  • Extrempunkte: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 (> 0 für Tiefpunkt, < 0 für Hochpunkt)
  • Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt, an dem eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum annimmt.

Funktionsscharen und Ortskurven

Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die durch einen Parameter a beschrieben werden. Ein Beispiel ist f_a(x) = x² + ax + 2.

Highlight: Die Analyse von Funktionen mit Parametern ermöglicht es, Gemeinsamkeiten und Unterschiede innerhalb einer Funktionsfamilie zu untersuchen.

Zur Bestimmung der Ortskurve einer Funktionsschar:

  1. Den x-Wert nach dem Parameter a umstellen
  2. a in die y-Koordinate einsetzen

Example: Für die Funktionsschar f_a(x) = x³ - ax² - x + a wird gezeigt, wie man gemeinsame Punkte findet, indem man f_a(x) = f_5(x) setzt und nach x auflöst.

Integrale und Flächenberechnung

Integrale beschreiben oft Änderungen über die Zeit. Der Flächeninhalt unter einer Kurve repräsentiert die Gesamtänderung.

Vocabulary: Stammfunktion - Eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist. Sie wird zur Berechnung bestimmter Integrale verwendet.

Wichtige Konzepte:

  • Fläche oberhalb der x-Achse: positive Änderung
  • Fläche unterhalb der x-Achse: negative Änderung
  • Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Example: Zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen bestimmt man zunächst die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x), bildet dann die Differenzfunktion f(x) - g(x) und integriert diese.

Praktische Anwendungen

  • Verwendung eines Grafikrechners zur numerischen Integration
  • Berechnung von Flächeninhalten zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
  • Bestimmung des Mittelwerts einer Funktion über ein Intervall

Highlight: Die Integralrechnung findet vielfältige Anwendungen, von der Physik bis zur Wirtschaft, wo sie zur Berechnung von Gesamtänderungen und Durchschnittswerten eingesetzt wird.

Diese Zusammenfassung bietet einen fundierten Einblick in die Themen Funktionsscharen und Integrale, die für fortgeschrittene mathematische Analysen unerlässlich sind. Sie vermittelt wichtige Konzepte und Techniken, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen von großer Bedeutung sind.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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