Zusammenfassung Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme helfen dir, Probleme mit mehreren Unbekannten zu lösen. Du wirst in den folgenden Seiten verschiedene Methoden kennenlernen, um solche Systeme zu lösen.

Du wirst sehen, dass die grafische Lösung dir einen guten visuellen Überblick gibt, während rechnerische Verfahren wie das Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren besonders bei komplexeren Aufgaben nützlich sind.

💡 Tipp: Verstehe zuerst die grundlegenden Konzepte, bevor du zu komplexeren Aufgaben übergehst. Jede Methode hat ihre Vorteile in bestimmten Situationen!

Definitionen

Bevor wir mit dem Lösen beginnen, solltest du einige wichtige Begriffe kennen:

Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist ax + by = c. Sie zeigt dir direkt die Koeffizienten der Variablen und die Konstante.

Die Normalform ist y = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist. Diese Form ist besonders praktisch zum Zeichnen von Geraden.

Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden, also ein Zahlenpaar (x, y), das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

💡 Merke: Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, suchst du die Werte für x und y, die für alle Gleichungen gleichzeitig gelten!

Grafisches Lösen eines linearen GS

Beim grafischen Lösen von linearen Gleichungssystemen gehst du in drei Schritten vor:

1. Stelle beide Gleichungen nach y um (bringe sie in die Normalform y = mx + n). Zum Beispiel: 2x + y = -1 wird zu y = -2x - 1 und x + 2y = 5 wird zu y = 0,5x + 2,5.

2. Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem ein. Du kannst hierzu einen Rechner oder Millimeterpapier verwenden.

3. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden. In unserem Beispiel ist der Schnittpunkt bei $-1,4; 1,8$. Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Koordinaten in beide Gleichungen einsetzt.

💡 Praxistipp: Bei komplexeren Zahlen ist das grafische Lösen oft ungenau. Nutze diese Methode vor allem, um einen schnellen Überblick zu bekommen oder deine rechnerische Lösung zu überprüfen.

Lösbarkeit eines GS

Ein lineares Gleichungssystem kann verschiedene Lösungssituationen haben:

Genau eine Lösung: Wenn sich die Geraden in einem Punkt schneiden $m₁ ≠ m₂$. Beispiel: y = 2x - 1 und y = x + 1 haben die Lösung L = {(2;3)}.

Keine Lösung: Wenn die Geraden parallel zueinander verlaufen $m₁ = m₂ und n₁ ≠ n₂$. Beispiel: y = 0,5x - 1 und y = 0,5x + 1 haben keine gemeinsamen Punkte.

Unendlich viele Lösungen: Wenn die Geraden identisch sind $m₁ = m₂ und n₁ = n₂$. Beispiel: y = 0,5x + 2 und y = 0,5x + 2 sind die gleiche Gerade, jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.

💡 Wichtig für Tests: Achte immer auf die Steigungen und y-Achsenabschnitte, um schnell zu erkennen, welche Lösungssituation vorliegt!

Lösen von linearen GS: Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn beide Gleichungen bereits nach y umgestellt sind.

So gehst du vor:

1. Setze die beiden nach y umgestellten Gleichungen gleich. Beispiel: -2x + 4 = 0,5x + 1
2. Löse die entstandene Gleichung nach x auf: -2,5x = -3, also x = 1,2
3. Setze den x-Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu berechnen: y = -2 · 1,2 + 4 = 1,6

Die Lösung ist L = {(1,2; 1,6)}.

💡 Anwendungstipp: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders effizient, wenn du die Gleichungen bereits in der Normalform y = mx + n hast oder leicht umformen kannst.

Lösen von linearen GS: Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren eignet sich gut, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist.

So funktioniert's:

1. Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst $z.B. y = 2x - 2$.
2. Setze diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein: x + $2x - 2$ = 10
3. Löse die entstandene Gleichung: 3x - 2 = 10, also x = 4
4. Berechne die andere Variable durch Einsetzen: y = 2·4 - 2 = 6

Die Lösung ist L = {(4; 6)}.

💡 Praxistipp: Das Einsetzungsverfahren ist oft einfacher als andere Methoden, wenn eine der Gleichungen bereits nach x oder y aufgelöst ist oder wenn eine Variable einen einfachen Koeffizienten hat.

Lösen von linearen GS: Additionsverfahren

Das Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) ist dann sinnvoll, wenn du durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen eine Variable eliminieren kannst.

So wendest du es an:

1. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt. Beispiel: 3x + 7y = 16 -3x - 3y = -12 ⟹ 4y = 4, also y = 1

2. Setze diesen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die andere Variable zu berechnen: 3x + 7·1 = 16, also x = 3

Die Lösung ist L = {(3; 1)}.

💡 Tipp für komplexe Aufgaben: Manchmal musst du eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren, damit sich beim Addieren eine Variable wegkürzt. Schau genau auf die Koeffizienten!

GS mit 3 Gleichungen & 2 Variablen: Fall 1

Bei linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen gibt es verschiedene mögliche Lösungssituationen. Hier der erste Fall:

Wenn alle drei Geraden sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden, hat das System genau eine Lösung. Beispiel:

• y = 1x + 2
• y = 2x + 4
• y = 4x + 8

In diesem Fall schneiden sich alle drei Geraden im Punkt $-2; 0$, daher ist L = {$-2; 0$} die Lösung.

Diese Situation erkennst du daran, dass die Steigungen $m-Werte$ alle unterschiedlich sind (m₁ ≠ m₂ ≠ m₃) und alle entweder positiv oder alle negativ sind.

💡 Geometrische Deutung: Wenn alle drei Geraden durch denselben Punkt gehen, bedeutet das, dass dieser Punkt die einzige Lösung für alle drei Gleichungen gleichzeitig ist.

GS mit 3 Gleichungen & 2 Variablen: Fall 2

Hier betrachten wir den Fall, dass alle drei Geraden identisch sind:

• y = -4x + 3
• y = -4x + 3
• y = -4x + 3

In diesem Fall sind die Geraden deckungsgleich - sie haben dieselbe Steigung $m₁ = m₂ = m₃$ und denselben y-Achsenabschnitt $n₁ = n₂ = n₃$.

Das bedeutet, dass jeder Punkt auf dieser Geraden die Lösung für alle drei Gleichungen ist. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: L = {$x;y$ | y = -4x + 3}.

Diese Situation kommt zustande, wenn die drei Gleichungen eigentlich dieselbe Bedingung ausdrücken, nur in unterschiedlichen Schreibweisen.

💡 Wichtig für Klassenarbeiten: Bei drei identischen Geraden schreibst du die Lösungsmenge als Menge aller Punkte auf der Geraden auf, wie hier gezeigt.

GS mit 3 Gleichungen & 2 Variablen: Fall 3

In diesem Fall sind alle drei Geraden parallel zueinander:

• y = 2x - 0,5
• y = 2x + 2
• y = 2x

Diese Geraden haben die gleiche Steigung $m₁ = m₂ = m₃$, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Das bedeutet, dass die Geraden nie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Das Gleichungssystem hat daher keine Lösung. Wir schreiben L = ∅ (leere Menge).

Diese Situation tritt auf, wenn die Bedingungen der drei Gleichungen nicht gleichzeitig erfüllbar sind - es gibt keinen Punkt, der auf allen drei Geraden gleichzeitig liegt.

💡 Anschaulich betrachtet: Parallele Geraden sind wie drei verschiedene Wege, die niemals zusammenkommen. Es gibt keinen Punkt, an dem du auf allen drei Wegen gleichzeitig sein kannst.