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Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen - Aufgaben und Rechner für Kinder

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Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen - Aufgaben und Rechner für Kinder
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Lineare Gleichungssysteme sind ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das die Beziehungen zwischen Variablen beschreibt und Lösungen für komplexe Probleme ermöglicht. Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Aspekte des grafischen Lösens linearer Gleichungssysteme, die Normalform von linearen Gleichungen als Lernmaterial und hilft, das Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zu verstehen.

• Lineare Gleichungssysteme können in verschiedenen Formen dargestellt werden, einschließlich der allgemeinen Form und der Normalform.
• Es gibt mehrere Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, darunter grafische Darstellung, Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren.
• Die Lösbarkeit eines Gleichungssystems hängt von der Lage der Geraden zueinander ab und kann eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben.
• Komplexere Systeme mit drei Gleichungen und zwei oder drei Variablen erfordern fortgeschrittenere Lösungsansätze.
• Die Fähigkeit, Gleichungen aus gegebenen Punkten zu ermitteln, ist eine wichtige Anwendung linearer Gleichungssysteme.

27.8.2022

6609

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Ermitteln der Gleichung einer Funktion mit 2 gegebenen Punkten

Diese Seite erklärt, wie man die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt, wenn zwei Punkte gegeben sind, die auf der Geraden liegen. Die Vorgehensweise wird Schritt für Schritt erläutert.

  1. Aufstellen von zwei Gleichungen mit den gegebenen Punkten
  2. Berechnung der Steigung m
  3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts n

Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(-0,5; -4) und B(0,75; 1). Durch Einsetzen und Berechnen ergibt sich die Funktionsgleichung y = 4x - 2.

Highlight: Diese Methode ermöglicht es, eine lineare Gleichung in Normalform aus zwei bekannten Punkten zu erstellen.

Diese Technik ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum Umwandeln linearer Funktionen in Normalform und wird oft in Arbeitsblättern für lineare Gleichungen verwendet.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Lösbarkeit eines Gleichungssystems

Auf dieser Seite werden die verschiedenen Möglichkeiten der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems behandelt. Es werden drei Fälle unterschieden und jeweils mit Beispielen illustriert.

  1. Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  2. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel zueinander.
  3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.

Beispiel: Für den Fall mit genau einer Lösung: y = 2x - 1 und y = x + 1. Die Lösung ist L = {(2,3)}.

Highlight: Die Lösbarkeit hängt von den Steigungen (m) und y-Achsenabschnitten (n) der Geraden ab.

Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis von linearen Gleichungssystemen und deren Lösungen. Sie bilden die Grundlage für weiterführende Übungen zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 1

Diese Seite behandelt den ersten Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen. Es wird die Situation beschrieben, in der alle Geraden sich in einem Punkt schneiden.

Beispiel: Gegeben sind y = 1x + 2, y = 2x + 4 und y = 4x + 8. Alle drei Geraden schneiden sich im Punkt (-2; 0).

Highlight: In diesem Fall hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, da sich alle Geraden in einem gemeinsamen Punkt schneiden.

Definition: Die Steigungen der Geraden (m₁, m₂, m₃) sind alle unterschiedlich und entweder alle positiv oder alle negativ.

Diese Art von Gleichungssystemen ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Arbeitsblättern für lineare Gleichungssysteme verwendet.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen: Teil 1

Diese Seite beginnt mit der Erklärung, wie man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen löst. Der Lösungsprozess wird Schritt für Schritt dargestellt.

  1. Umformen der Gleichungen
  2. Elimination einer Variablen durch Addition oder Subtraktion von Gleichungen
  3. Schrittweise Auflösung nach den verbleibenden Variablen

Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen: I. 6x + y + 2z = 4 II. x - 10y + 2z = 7 III. 10x - 4y + 2z = 10

Highlight: Die Lösung erfolgt durch systematisches Eliminieren von Variablen und anschließendes Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen.

Diese Methode ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Arbeitsblättern für lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen verwendet.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Lösen von linearen Gleichungssystemen: Gleichsetzungsverfahren

Diese Seite erklärt das Gleichsetzungsverfahren als eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Das Verfahren wird Schritt für Schritt anhand eines Beispiels erläutert.

  1. Verbinden der Gleichungen durch ein Gleichheitszeichen
  2. Auflösen nach einer Variablen
  3. Einsetzen des Ergebnisses in eine der ursprünglichen Gleichungen

Beispiel: Gegeben sind y = -2x + 4 und y = 0,5x + 1. Durch Gleichsetzen und Auflösen ergibt sich x = 1,2 und y = 1,6.

Highlight: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn alle Gleichungen bereits nach y umgestellt sind.

Diese Methode ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Arbeitsblättern und beim Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme verwendet.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 2

Auf dieser Seite wird der zweite Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen behandelt. Hier wird die Situation beschrieben, in der alle Geraden identisch sind.

Beispiel: Gegeben sind y = -4x + 2, y = -4x + 2 und y = -4x + 2. Alle drei Geraden sind identisch.

Highlight: In diesem Fall hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, da alle Geraden übereinander liegen.

Definition: Die Steigungen (m₁, m₂, m₃) und y-Achsenabschnitte (n₁, n₂, n₃) aller Geraden sind gleich.

Diese Art von Gleichungssystemen ist ein wichtiger Aspekt beim Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme behandelt.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 4

Auf dieser Seite wird der vierte Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen behandelt. Hier wird die Situation beschrieben, in der sich die Geraden zwar schneiden, aber nicht in einem gemeinsamen Punkt.

Beispiel: Gegeben sind y = 2x - 1,5, y = 4x + 3 und y = -1,7x + 4. Die Geraden schneiden sich, aber nicht in einem gemeinsamen Punkt.

Highlight: In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine Lösung, obwohl sich die Geraden paarweise schneiden.

Definition: Die Steigungen (m₁, m₂, m₃) und y-Achsenabschnitte (n₁, n₂, n₃) sind alle unterschiedlich, und nicht alle Steigungen oder y-Achsenabschnitte haben das gleiche Vorzeichen.

Diese Art von Gleichungssystemen ist ein wichtiger Aspekt beim Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme behandelt.

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Grafisches Lösen eines linearen Gleichungssystems

Diese Seite erklärt Schritt für Schritt, wie man ein lineares Gleichungssystem grafisch löst. Die Methode wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.

  1. Umstellen der Gleichungen in die Normalform
  2. Eintragen der linearen Funktionen in ein Koordinatensystem
  3. Bestimmen des Schnittpunkts und Überprüfen der Lösung

Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen 2x + y = -1 und x + 2y = 5. Nach Umstellung in die Normalform erhält man y = -2x - 1 und y = 0,5x + 2,5. Der Schnittpunkt dieser Geraden liegt bei (-1,4; 1,8).

Highlight: Die grafische Methode bietet eine visuelle Darstellung der Lösung und ist besonders hilfreich, um das Konzept von linearen Gleichungssystemen zu verstehen.

Diese Methode ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Arbeitsblättern verwendet.

<h2 id="definitionen">Definitionen</h2> <p>Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n

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Definitionen und Grundlagen linearer Gleichungssysteme

Diese Seite führt grundlegende Konzepte für das Verständnis linearer Gleichungssysteme ein. Es werden zwei wichtige Formen linearer Gleichungen vorgestellt: die allgemeine Form und die Normalform. Zudem wird der Begriff der Lösung eines Gleichungssystems erläutert.

Definition: Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet ax + by = c.

Definition: Die Normalform einer linearen Gleichung wird als y = mx + n dargestellt.

Highlight: Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden des Systems, also ein Zahlenpaar, das alle Gleichungen bzw. Bedingungen erfüllt.

Diese Definitionen bilden die Grundlage für das grafische Lösen von linearen Gleichungssystemen und sind essenziell für das Verständnis der folgenden Kapitel.

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Lösen von linearen Gleichungssystemen: Einsetzungsverfahren

Auf dieser Seite wird das Einsetzungsverfahren als eine weitere Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme vorgestellt. Die Vorgehensweise wird anhand eines konkreten Beispiels erläutert.

  1. Eine nach einer Variablen umgestellte Gleichung in die andere einsetzen
  2. Die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auflösen
  3. Das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen

Beispiel: Gegeben sind x + y = 10 und y = 2x - 2. Durch Einsetzen und Auflösen ergibt sich x = 4 und y = 6.

Highlight: Das Einsetzungsverfahren ist besonders effektiv, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt ist.

Diese Methode ist ein wichtiger Teil von Übungen zum Einsetzungsverfahren und wird oft in Arbeitsblättern für lineare Gleichungssysteme verwendet. Es ist auch ein grundlegender Bestandteil des Einsetzungsverfahrens für 3 Gleichungen.

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Lineare Gleichungssysteme sind ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das die Beziehungen zwischen Variablen beschreibt und Lösungen für komplexe Probleme ermöglicht. Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die wichtigsten Aspekte des grafischen Lösens linearer Gleichungssysteme, die Normalform von linearen Gleichungen als Lernmaterial und hilft, das Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zu verstehen.

• Lineare Gleichungssysteme können in verschiedenen Formen dargestellt werden, einschließlich der allgemeinen Form und der Normalform.
• Es gibt mehrere Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, darunter grafische Darstellung, Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren.
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  1. Aufstellen von zwei Gleichungen mit den gegebenen Punkten
  2. Berechnung der Steigung m
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Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(-0,5; -4) und B(0,75; 1). Durch Einsetzen und Berechnen ergibt sich die Funktionsgleichung y = 4x - 2.

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Lösbarkeit eines Gleichungssystems

Auf dieser Seite werden die verschiedenen Möglichkeiten der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems behandelt. Es werden drei Fälle unterschieden und jeweils mit Beispielen illustriert.

  1. Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  2. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel zueinander.
  3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.

Beispiel: Für den Fall mit genau einer Lösung: y = 2x - 1 und y = x + 1. Die Lösung ist L = {(2,3)}.

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 1

Diese Seite behandelt den ersten Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen. Es wird die Situation beschrieben, in der alle Geraden sich in einem Punkt schneiden.

Beispiel: Gegeben sind y = 1x + 2, y = 2x + 4 und y = 4x + 8. Alle drei Geraden schneiden sich im Punkt (-2; 0).

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Definition: Die Steigungen der Geraden (m₁, m₂, m₃) sind alle unterschiedlich und entweder alle positiv oder alle negativ.

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Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen: Teil 1

Diese Seite beginnt mit der Erklärung, wie man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen löst. Der Lösungsprozess wird Schritt für Schritt dargestellt.

  1. Umformen der Gleichungen
  2. Elimination einer Variablen durch Addition oder Subtraktion von Gleichungen
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Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen: I. 6x + y + 2z = 4 II. x - 10y + 2z = 7 III. 10x - 4y + 2z = 10

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Lösen von linearen Gleichungssystemen: Gleichsetzungsverfahren

Diese Seite erklärt das Gleichsetzungsverfahren als eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Das Verfahren wird Schritt für Schritt anhand eines Beispiels erläutert.

  1. Verbinden der Gleichungen durch ein Gleichheitszeichen
  2. Auflösen nach einer Variablen
  3. Einsetzen des Ergebnisses in eine der ursprünglichen Gleichungen

Beispiel: Gegeben sind y = -2x + 4 und y = 0,5x + 1. Durch Gleichsetzen und Auflösen ergibt sich x = 1,2 und y = 1,6.

Highlight: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn alle Gleichungen bereits nach y umgestellt sind.

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 2

Auf dieser Seite wird der zweite Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen behandelt. Hier wird die Situation beschrieben, in der alle Geraden identisch sind.

Beispiel: Gegeben sind y = -4x + 2, y = -4x + 2 und y = -4x + 2. Alle drei Geraden sind identisch.

Highlight: In diesem Fall hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, da alle Geraden übereinander liegen.

Definition: Die Steigungen (m₁, m₂, m₃) und y-Achsenabschnitte (n₁, n₂, n₃) aller Geraden sind gleich.

Diese Art von Gleichungssystemen ist ein wichtiger Aspekt beim Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme behandelt.

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Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: Fall 4

Auf dieser Seite wird der vierte Fall von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen behandelt. Hier wird die Situation beschrieben, in der sich die Geraden zwar schneiden, aber nicht in einem gemeinsamen Punkt.

Beispiel: Gegeben sind y = 2x - 1,5, y = 4x + 3 und y = -1,7x + 4. Die Geraden schneiden sich, aber nicht in einem gemeinsamen Punkt.

Highlight: In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine Lösung, obwohl sich die Geraden paarweise schneiden.

Definition: Die Steigungen (m₁, m₂, m₃) und y-Achsenabschnitte (n₁, n₂, n₃) sind alle unterschiedlich, und nicht alle Steigungen oder y-Achsenabschnitte haben das gleiche Vorzeichen.

Diese Art von Gleichungssystemen ist ein wichtiger Aspekt beim Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme behandelt.

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Grafisches Lösen eines linearen Gleichungssystems

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  1. Umstellen der Gleichungen in die Normalform
  2. Eintragen der linearen Funktionen in ein Koordinatensystem
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Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen 2x + y = -1 und x + 2y = 5. Nach Umstellung in die Normalform erhält man y = -2x - 1 und y = 0,5x + 2,5. Der Schnittpunkt dieser Geraden liegt bei (-1,4; 1,8).

Highlight: Die grafische Methode bietet eine visuelle Darstellung der Lösung und ist besonders hilfreich, um das Konzept von linearen Gleichungssystemen zu verstehen.

Diese Methode ist ein wichtiger Bestandteil von Übungen zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme und wird oft in Arbeitsblättern verwendet.

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Definitionen und Grundlagen linearer Gleichungssysteme

Diese Seite führt grundlegende Konzepte für das Verständnis linearer Gleichungssysteme ein. Es werden zwei wichtige Formen linearer Gleichungen vorgestellt: die allgemeine Form und die Normalform. Zudem wird der Begriff der Lösung eines Gleichungssystems erläutert.

Definition: Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet ax + by = c.

Definition: Die Normalform einer linearen Gleichung wird als y = mx + n dargestellt.

Highlight: Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden des Systems, also ein Zahlenpaar, das alle Gleichungen bzw. Bedingungen erfüllt.

Diese Definitionen bilden die Grundlage für das grafische Lösen von linearen Gleichungssystemen und sind essenziell für das Verständnis der folgenden Kapitel.

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Lösen von linearen Gleichungssystemen: Einsetzungsverfahren

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  1. Eine nach einer Variablen umgestellte Gleichung in die andere einsetzen
  2. Die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auflösen
  3. Das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen

Beispiel: Gegeben sind x + y = 10 und y = 2x - 2. Durch Einsetzen und Auflösen ergibt sich x = 4 und y = 6.

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Diese Methode ist ein wichtiger Teil von Übungen zum Einsetzungsverfahren und wird oft in Arbeitsblättern für lineare Gleichungssysteme verwendet. Es ist auch ein grundlegender Bestandteil des Einsetzungsverfahrens für 3 Gleichungen.

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