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8. Feb. 2026
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KritischerHase
@thatsme_hndb
Lineare Gleichungssysteme sind eine praktische Methode, um Probleme mit mehreren... Mehr anzeigen
In dieser Zusammenfassung lernst du alles Wichtige über lineare Gleichungssysteme. Ein lineares Gleichungssystem (GS) besteht aus mehreren Gleichungen, die gemeinsam gelöst werden müssen.
Du wirst verschiedene Methoden kennenlernen, wie du solche Systeme lösen kannst - grafisch oder rechnerisch mit dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.
💡 Das Wichtigste zuerst: Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt, der ALLE Gleichungen gleichzeitig erfüllt!
Bevor du mit dem Lösen beginnst, solltest du die Grundformen kennen:
Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist ax + by = c. Diese Form wird häufig in Aufgaben angegeben, ist aber nicht direkt zum Zeichnen geeignet.
Die Normalform y = mx + n erhältst du, indem du die allgemeine Form nach y umstellst. Diese Form brauchst du, um die Geraden zu zeichnen oder mit dem Rechner zu arbeiten.
Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden. Das ist ein Zahlenpaar (x, y), das alle Gleichungen erfüllt. Bei Übungen ist es wichtig, die Lösung immer zu überprüfen!
Um ein lineares Gleichungssystem grafisch zu lösen, gehst du in drei Schritten vor:
Stelle beide Gleichungen nach y um (bringe sie in die Normalform):
2x + y = -1 wird y = -2x - 1x + 2y = 5 wird y = 0,5x + 2,5Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem. Ein Gleichungssysteme Rechner kann dir dabei helfen, aber versuche es zuerst selbst!
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden. In unserem Beispiel liegt er bei (-1,4; 1,8).
🔍 Prüftipp: Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um deine Lösung zu überprüfen!
Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei mögliche Fälle:
Fall 1: Das GS hat genau eine Lösung
y = 2x - 1 und y = x + 1 haben die Lösung L = {(2;3)}Fall 2: Das GS hat keine Lösung
y = 0,5x - 1 und y = 0,5x + 1 haben keine Lösung Fall 3: Das GS hat unendlich viele Lösungen
y = 0,5x + 2 zweimal ergibt L = {(x;y) | y = 0,5x + 2}💡 Achte auf die Steigungen! Sie verraten dir sofort, welchen Fall du vor dir hast.
Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn beide Gleichungen bereits nach y umgestellt sind:
I. y = -2x + 4
II. y = 0,5x + 1
Schritt 1: Setze die rechten Seiten gleich:
-2x + 4 = 0,5x + 1
Schritt 2: Löse nach x auf:
-2,5x = -3
x = 1,2
Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein:
y = -2 · 1,2 + 4 = -2,4 + 4 = 1,6
Die Lösung ist also L = {(1,2; 1,6)}
💡 Profi-Tipp: Wähle das Gleichsetzungsverfahren, wenn deine Gleichungen bereits nach y umgestellt sind - das spart Zeit bei Übungen und Tests!
Das Einsetzungsverfahren ist ideal, wenn mindestens eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist:
I. x + y = 10
II. y = 2x - 2
Schritt 1: Setze Gleichung II in Gleichung I ein:
x + = 10
Schritt 2: Löse nach x auf:
3x - 2 = 10
3x = 12
x = 4
Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein:
4 + y = 10
y = 6
Die Lösung ist L = {(4; 6)}
📝 Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders für Übungen und Arbeitsblätter, bei denen eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
Das Additionsverfahren ist perfekt, wenn du durch Addition oder Subtraktion eine Variable eliminieren kannst:
I. 3x + 7y = 16
II. -3x - 3y = -12
Schritt 1: Addiere die Gleichungen, um x zu eliminieren:
3x + 7y + = 16 + (-12)
4y = 4
y = 1
Schritt 2: Setze y in Gleichung I ein:
3x + 7 · 1 = 16
3x + 7 = 16
3x = 9
x = 3
Die Lösung ist L = {(3; 1)}
🎯 Zeitspartipp: Wenn die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind (wie hier bei x), ist das Additionsverfahren die schnellste Lösung!
Bei Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen gibt es verschiedene mögliche Situationen im Koordinatensystem.
Fall 1: Alle Geraden schneiden sich in einem Punkt
I. y = 1x + 2
II. y = 2x + 4
III. y = 4x + 8
In diesem Beispiel haben alle drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt bei (-2; 0).
Die Lösung ist L = {(-2; 0)}
Für diese Art von Übungen brauchst du einen Rechner oder Lehrerschmidt-Videos, die dir die grafische Lösung zeigen. Du kannst diese Aufgaben mit Lösungen auch mit dem Gleichsetzungsverfahren überprüfen.
Fall 2: Alle Geraden sind identisch
I. y = -4x + 3
II. y = -4x + 3
III. y = -4x + 3
Hier sind alle Geraden identisch .
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: L = {(x;y) | y = -4x + 3}
Erkennbar ist dieser Fall daran, dass alle Steigungen (m) und y-Achsenabschnitte (n) identisch sind: m₁ = m₂ = m₃ und n₁ = n₂ = n₃.
🔎 Beim grafischen Lösen solcher Aufgaben siehst du, dass die drei Geraden übereinander liegen und nicht zu unterscheiden sind.
Fall 3: Parallele Geraden
I. y = 2x - 0,5
II. y = 2x + 2
III. y = 2x
In diesem Fall verlaufen alle Geraden parallel zueinander .
Das Gleichungssystem hat keine Lösung: L = ∅
Du erkennst diesen Fall daran, dass alle Steigungen gleich sind , aber die y-Achsenabschnitte unterschiedlich (n₁ ≠ n₂ ≠ n₃).
Beim grafischen Lösen solcher linearen Gleichungssysteme wird schnell klar, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Thomas R
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Elisha
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KritischerHase
@thatsme_hndb
Lineare Gleichungssysteme sind eine praktische Methode, um Probleme mit mehreren Unbekannten zu lösen. Du wirst lernen, wie du diese grafisch darstellen, verschiedene Lösungsverfahren anwenden und alltägliche Probleme damit lösen kannst.
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In dieser Zusammenfassung lernst du alles Wichtige über lineare Gleichungssysteme. Ein lineares Gleichungssystem (GS) besteht aus mehreren Gleichungen, die gemeinsam gelöst werden müssen.
Du wirst verschiedene Methoden kennenlernen, wie du solche Systeme lösen kannst - grafisch oder rechnerisch mit dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.
💡 Das Wichtigste zuerst: Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt, der ALLE Gleichungen gleichzeitig erfüllt!
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Bevor du mit dem Lösen beginnst, solltest du die Grundformen kennen:
Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist ax + by = c. Diese Form wird häufig in Aufgaben angegeben, ist aber nicht direkt zum Zeichnen geeignet.
Die Normalform y = mx + n erhältst du, indem du die allgemeine Form nach y umstellst. Diese Form brauchst du, um die Geraden zu zeichnen oder mit dem Rechner zu arbeiten.
Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden. Das ist ein Zahlenpaar (x, y), das alle Gleichungen erfüllt. Bei Übungen ist es wichtig, die Lösung immer zu überprüfen!
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Um ein lineares Gleichungssystem grafisch zu lösen, gehst du in drei Schritten vor:
Stelle beide Gleichungen nach y um (bringe sie in die Normalform):
Deutsch2x + y = -1 wird y = -2x - 1x + 2y = 5 wird y = 0,5x + 2,5Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem. Ein Gleichungssysteme Rechner kann dir dabei helfen, aber versuche es zuerst selbst!
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden. In unserem Beispiel liegt er bei (-1,4; 1,8).
🔍 Prüftipp: Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um deine Lösung zu überprüfen!
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Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei mögliche Fälle:
Fall 1: Das GS hat genau eine Lösung
y = 2x - 1 und y = x + 1 haben die Lösung L = {(2;3)}Fall 2: Das GS hat keine Lösung
y = 0,5x - 1 und y = 0,5x + 1 haben keine Lösung Fall 3: Das GS hat unendlich viele Lösungen
y = 0,5x + 2 zweimal ergibt L = {(x;y) | y = 0,5x + 2}💡 Achte auf die Steigungen! Sie verraten dir sofort, welchen Fall du vor dir hast.
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Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn beide Gleichungen bereits nach y umgestellt sind:
I. y = -2x + 4
II. y = 0,5x + 1
Schritt 1: Setze die rechten Seiten gleich:
-2x + 4 = 0,5x + 1
Schritt 2: Löse nach x auf:
-2,5x = -3
x = 1,2
Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein:
y = -2 · 1,2 + 4 = -2,4 + 4 = 1,6
Die Lösung ist also L = {(1,2; 1,6)}
💡 Profi-Tipp: Wähle das Gleichsetzungsverfahren, wenn deine Gleichungen bereits nach y umgestellt sind - das spart Zeit bei Übungen und Tests!
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Das Einsetzungsverfahren ist ideal, wenn mindestens eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist:
I. x + y = 10
II. y = 2x - 2
Schritt 1: Setze Gleichung II in Gleichung I ein:
x + = 10
Schritt 2: Löse nach x auf:
3x - 2 = 10
3x = 12
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Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein:
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📝 Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders für Übungen und Arbeitsblätter, bei denen eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
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Das Additionsverfahren ist perfekt, wenn du durch Addition oder Subtraktion eine Variable eliminieren kannst:
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4y = 4
y = 1
Schritt 2: Setze y in Gleichung I ein:
3x + 7 · 1 = 16
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x = 3
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🎯 Zeitspartipp: Wenn die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind (wie hier bei x), ist das Additionsverfahren die schnellste Lösung!
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Bei Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen gibt es verschiedene mögliche Situationen im Koordinatensystem.
Fall 1: Alle Geraden schneiden sich in einem Punkt
I. y = 1x + 2
II. y = 2x + 4
III. y = 4x + 8
In diesem Beispiel haben alle drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt bei (-2; 0).
Die Lösung ist L = {(-2; 0)}
Für diese Art von Übungen brauchst du einen Rechner oder Lehrerschmidt-Videos, die dir die grafische Lösung zeigen. Du kannst diese Aufgaben mit Lösungen auch mit dem Gleichsetzungsverfahren überprüfen.
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Fall 2: Alle Geraden sind identisch
I. y = -4x + 3
II. y = -4x + 3
III. y = -4x + 3
Hier sind alle Geraden identisch .
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: L = {(x;y) | y = -4x + 3}
Erkennbar ist dieser Fall daran, dass alle Steigungen (m) und y-Achsenabschnitte (n) identisch sind: m₁ = m₂ = m₃ und n₁ = n₂ = n₃.
🔎 Beim grafischen Lösen solcher Aufgaben siehst du, dass die drei Geraden übereinander liegen und nicht zu unterscheiden sind.
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Fall 3: Parallele Geraden
I. y = 2x - 0,5
II. y = 2x + 2
III. y = 2x
In diesem Fall verlaufen alle Geraden parallel zueinander .
Das Gleichungssystem hat keine Lösung: L = ∅
Du erkennst diesen Fall daran, dass alle Steigungen gleich sind , aber die y-Achsenabschnitte unterschiedlich (n₁ ≠ n₂ ≠ n₃).
Beim grafischen Lösen solcher linearen Gleichungssysteme wird schnell klar, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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Greenlight Bonnie
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer