Definitionen
Die Form ax + by = c von linearen Gleichungen nennt man die allgemeine Form. Die Form y = mx + n von linearen Gleichungen nennt man die Normalform. Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden des Systems, also ein Zahlenpaar, welches alle Gleichungen bzw. Bedingungen erfüllt.
Graphisches Lösen eines linearen Gleichungssystems
Bei der graphischen Lösung von linearen Gleichungssystemen müssen die Gleichungen zunächst nach y umgestellt werden, um sie in die Normalform zu bringen. Anschließend werden die linearen Funktionen in ein Koordinatensystem eingetragen. Durch den Schnittpunkt der Funktionen kann die Lösung gefunden werden.
Lösbarkeit eines Gleichungssystems
Ein Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn die Geraden schneidend sind, denn in diesem Fall sind die Steigungen der Geraden verschieden. Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Geraden parallel zueinander sind, denn in diesem Fall haben die Geraden die gleiche Steigung und unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Ein Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden identisch sind, denn in diesem Fall haben die Geraden die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt.
Lösen von linearen Gleichungssystemen
- Gleichsetzungsverfahren: Bei diesem Verfahren werden die Gleichungen miteinander verbunden und eine Variable in eine der Gleichungen eingesetzt.
- Einsetzungsverfahren: Hier wird eine Gleichung, die nach einer Variable umgestellt ist, in einer anderen Gleichung für die jeweilige Variable eingesetzt.
- Additionsverfahren: Dieses Verfahren beinhaltet das Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen miteinander, um eine Variable zu eliminieren.
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen & 2 Variablen
Wenn alle Geraden sich in einem Punkt schneiden, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Wenn die Geraden identisch sind, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Wenn die Geraden parallel zueinander liegen, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen & 3 Variablen
Um die Gleichungen eines solchen Systems zu lösen, können verschiedene Verfahren wie das Einsetzungsverfahren angewendet werden.
Ermitteln der Gleichung einer Funktion mit 2 gegebenen Punkten
Es ist möglich, die Gleichung einer Funktion zu bestimmen, wenn zwei Punkte auf der Geraden bekannt sind. Dies kann durch das Einsetzen der x- und y-Koordinaten der Punkte in die Geradengleichung erfolgen.
Insgesamt gibt es verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, und die Wahl der Methode hängt von der konkreten Situation ab. Die graphische Lösung von Gleichungssystemen kann besonders anschaulich sein, während die Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen eine systematische Lösung ermöglichen.
