Lineare Gleichungssysteme

In dieser Zusammenfassung lernst du alles Wichtige über lineare Gleichungssysteme. Ein lineares Gleichungssystem (GS) besteht aus mehreren Gleichungen, die gemeinsam gelöst werden müssen.

Du wirst verschiedene Methoden kennenlernen, wie du solche Systeme lösen kannst - grafisch oder rechnerisch mit dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.

💡 Das Wichtigste zuerst: Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt, der ALLE Gleichungen gleichzeitig erfüllt!

Definitionen

Bevor du mit dem Lösen beginnst, solltest du die Grundformen kennen:

Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist ax + by = c. Diese Form wird häufig in Aufgaben angegeben, ist aber nicht direkt zum Zeichnen geeignet.

Die Normalform y = mx + n erhältst du, indem du die allgemeine Form nach y umstellst. Diese Form brauchst du, um die Geraden zu zeichnen oder mit dem Rechner zu arbeiten.

Die Lösung eines Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der Geraden. Das ist ein Zahlenpaar (x, y), das alle Gleichungen erfüllt. Bei Übungen ist es wichtig, die Lösung immer zu überprüfen!

Grafisches Lösen eines linearen GS

Um ein lineares Gleichungssystem grafisch zu lösen, gehst du in drei Schritten vor:

1. Stelle beide Gleichungen nach y um (bringe sie in die Normalform):

   • Aus 2x + y = -1 wird y = -2x - 1
   • Aus x + 2y = 5 wird y = 0,5x + 2,5

2. Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem. Ein Gleichungssysteme Rechner kann dir dabei helfen, aber versuche es zuerst selbst!

3. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden. In unserem Beispiel liegt er bei $-1,4; 1,8$.

🔍 Prüftipp: Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um deine Lösung zu überprüfen!

Lösbarkeit eines GS

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei mögliche Fälle:

Fall 1: Das GS hat genau eine Lösung

• Die Geraden schneiden sich in einem Punkt
• Die Steigungen sind unterschiedlich: m₁ ≠ m₂
• Beispiel: y = 2x - 1 und y = x + 1 haben die Lösung L = {(2;3)}

Fall 2: Das GS hat keine Lösung

• Die Geraden verlaufen parallel zueinander
• Die Steigungen sind gleich, aber y-Achsenabschnitte verschieden: m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂
• Beispiel: y = 0,5x - 1 und y = 0,5x + 1 haben keine Lösung $L = ∅$

Fall 3: Das GS hat unendlich viele Lösungen

• Die Geraden sind identisch (liegen übereinander)
• Steigungen und y-Achsenabschnitte sind gleich: m₁ = m₂ und n₁ = n₂
• Beispiel: y = 0,5x + 2 zweimal ergibt L = {(x;y) | y = 0,5x + 2}

💡 Achte auf die Steigungen! Sie verraten dir sofort, welchen Fall du vor dir hast.

Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn beide Gleichungen bereits nach y umgestellt sind:

I. y = -2x + 4 II. y = 0,5x + 1

Schritt 1: Setze die rechten Seiten gleich: -2x + 4 = 0,5x + 1

Schritt 2: Löse nach x auf: -2,5x = -3 x = 1,2

Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein: y = -2 · 1,2 + 4 = -2,4 + 4 = 1,6

Die Lösung ist also L = {(1,2; 1,6)}

💡 Profi-Tipp: Wähle das Gleichsetzungsverfahren, wenn deine Gleichungen bereits nach y umgestellt sind - das spart Zeit bei Übungen und Tests!

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist ideal, wenn mindestens eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist:

I. x + y = 10 II. y = 2x - 2

Schritt 1: Setze Gleichung II in Gleichung I ein: x + (2x - 2) = 10

Schritt 2: Löse nach x auf: 3x - 2 = 10 3x = 12 x = 4

Schritt 3: Setze x in eine der Gleichungen ein: 4 + y = 10 y = 6

Die Lösung ist L = {(4; 6)}

📝 Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders für Übungen und Arbeitsblätter, bei denen eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

Das Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist perfekt, wenn du durch Addition oder Subtraktion eine Variable eliminieren kannst:

I. 3x + 7y = 16 II. -3x - 3y = -12

Schritt 1: Addiere die Gleichungen, um x zu eliminieren: 3x + 7y + (-3x - 3y) = 16 + (-12) 4y = 4 y = 1

Schritt 2: Setze y in Gleichung I ein: 3x + 7 · 1 = 16 3x + 7 = 16 3x = 9 x = 3

Die Lösung ist L = {(3; 1)}

🎯 Zeitspartipp: Wenn die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind (wie hier bei x), ist das Additionsverfahren die schnellste Lösung!

GS mit 3 Gleichungen und 2 Variablen

Bei Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Variablen gibt es verschiedene mögliche Situationen im Koordinatensystem.

Fall 1: Alle Geraden schneiden sich in einem Punkt I. y = 1x + 2 II. y = 2x + 4 III. y = 4x + 8

In diesem Beispiel haben alle drei Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt bei $-2; 0$.

Die Lösung ist L = {$-2; 0$}

Für diese Art von Übungen brauchst du einen Rechner oder Lehrerschmidt-Videos, die dir die grafische Lösung zeigen. Du kannst diese Aufgaben mit Lösungen auch mit dem Gleichsetzungsverfahren überprüfen.

GS mit 3 Gleichungen und 2 Variablen (Fortsetzung)

Fall 2: Alle Geraden sind identisch I. y = -4x + 3 II. y = -4x + 3 III. y = -4x + 3

Hier sind alle Geraden identisch (gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt).

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: L = {(x;y) | y = -4x + 3}

Erkennbar ist dieser Fall daran, dass alle Steigungen $m$ und y-Achsenabschnitte $n$ identisch sind: m₁ = m₂ = m₃ und n₁ = n₂ = n₃.

🔎 Beim grafischen Lösen solcher Aufgaben siehst du, dass die drei Geraden übereinander liegen und nicht zu unterscheiden sind.

GS mit 3 Gleichungen und 2 Variablen (Fortsetzung)

Fall 3: Parallele Geraden I. y = 2x - 0,5 II. y = 2x + 2 III. y = 2x

In diesem Fall verlaufen alle Geraden parallel zueinander (gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte).

Das Gleichungssystem hat keine Lösung: L = ∅

Du erkennst diesen Fall daran, dass alle Steigungen gleich sind $m₁ = m₂ = m₃$, aber die y-Achsenabschnitte unterschiedlich (n₁ ≠ n₂ ≠ n₃).

Beim grafischen Lösen solcher linearen Gleichungssysteme wird schnell klar, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.