Zusammenfassung Schuljahr Klasse 8 Mathematik

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Summand der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Sommer multipliziert wird. (2x + 3y) (4a + 5b) = 8ax +10bx + 12ay + 15by 3. Schritt: vereinfachen Summe und suchen nach auszuklammernden Variablen f) Binomische Formeln. zu 1.: zu 2.: 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 24a²b 4bca 2 24a²b 4bca 6a² са 6a C 2. (a - b)² =a² - 2ab + b² Mit Faktoren Man multipliziert eine Summe mit einem Faktor, in dem man jeden Summanden mit dem Faktor multipliziert. 3u · (v + 3) = 3u · u + 3u · 3 = 3u² + 9u 3. (a + b)(a - b) =a²b² Mathematik Klasse 8 g) Faktorisieren mit Binomische Formeln Wichtig! Summen in denen vollständige Quadrate auftreten, kann man durch Anwenden binomische Formeln in Produkte umwandeln Beispiel: u² + 10u + 25 = (u + 5)² h) Vereinfachen von Bruchteilen Wichtig! Um Bruchterme vereinfachen zu können, muss man zunächst den Zähler, Nenner, oder beide Faktorisieren. Erst nach dem Faktorisieren kann man kürzen! 1-a² (1 + a)(1 − a) 1-a 1-a Beispiel: i) lösen weiterer Bruchgleichungen Wichtig! Steht eine Variable im Nenner einer Bruchgleichung, so ist zunächst der Definitionsbereich (DB) der Gleichung festzulegen. D. h. man untersucht welchen Wert die Variable nicht annehmen darf, weil sonst der Nenner 0 wird. Beispiel: x 3=0 x = 3 Lösen der Gleichung: 3 x-3 2. ZUFALLSVERSUCHE 2.1 Was ist ein Zufallsversuch 1 6 - 2x 6-2x = 0 x = 3 = 1 + a 18 3 (62x) = 1. (x − 3) 6x= x - 3 18 7x = -3 -7x = -21 x = 3 Wichtig! Zufallsversuche haben folgende Eigenschaften: 3 DB: x EQ,x #3 |-x |-18 1: (-7) Die Gleichung hat keine Lösung! L = Ø 1. Man kann nicht vorhersagen, welches Ergebnis konkret bei der Durchführung des Versuches eintreten wird. Mathematik Klasse 8 2. Vor dem Versuch lassen sich alle möglichen Ergebnisse angeben (Ergebnismenge 2). 3. Der Versuch ist unter gleicher Bedingungen beliebig oft wiederholbar. Beispiel: Würfeln (Ergebnismenge: {1; 2; 3; 4; 5; 6}) 2.2 Ergebnis E Wichtig! Jede Teilmenge der Ergebnismenge wird Ergebnis genannt. Beispiel: Würfeln →={1; 2; 3; 4; 5; 6} 2.3 Die Wahrscheinlichkeit P Ereignis Wortform E₁: ,,Gerade Zahlen" E2: ,,Ungerade Zahlen" E3: ,,Primzahlen" Beispiel: Wichtig! Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gibt an, welche relative Häufigkeit man bei langen Versuchsreihen für dieses Ergebnis erwarten kann. Die relative Häufigkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit des Ergebnis. abs. H. rel. H. Prozent Beispiel: 1 2 2:25 0,08% P(1) = ²: ≈ 0,17% 2.4 Wahrscheinlichkeit bei Laplace - Versuchen P(1) = - Ereignis Mengenschreibweise E₁: {2; 4; 6} E₂: {1; 3; 5} E3: {2; 3; 5} P(3) = P(5)= 2 5 5:25 0,2% Wichtig! Zufallsversuche, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt Laplace - Versuche. Bei einem Laplace - Versuch mit n möglichen Ergebnissen 1 ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses: P(e) = n Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Würfeln →→={1; 2; 3; 4; 5; 6} 1 |CH|CH6 3 6 6:25 0,24% 4 4 5 3 6 3:25 6:25 0,12% 0,24% P(2) = P(4) = P(6) = 6 3 3:25 0,12% 116116216 Mathematik Klasse 8 2.5 Sicheres Ereignis- unmögliches Ereignis - Gegenereignis Sicheres Ereignis tritt mit Sicherheit ein. Unmögliches Ereignis kann nicht eintreten. Gegenereignis E enthält alle Ereignisse der Ergebnismenge , die nicht zum Ergebnis E gehören. Speziell für Laplace - Versuche gilt: Wahrscheinlichkeit Ereignisses X des = 2.6 Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsversuchen Kopf () Beispiel: Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. → P(E) = m Zahl () Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnis Abzahl aller möglichen Ergebnisse Kopf () Zahl () Kopf (=) Zahl () P = 1 P = 0 P(Ē) = 1 - P(E) weil P(E) + P(E) = 1 Pfadregeln für mehrstufige Zufallsversuche P(Kopf; Kopf) P(Kopf; Zahl) = ... 5 = Ergebnismenge: n = {(Kopf, Kopf) (Kopf, Zahl) (Zahl, Zahl) (Zahl, Kopf)} Wichtig! Bei zweistufigen Zufallsversuchen besteht die Ergebnismenge aus geordneten Paaren. 1 2 Wahrscheinlichkeit eines Pfades Erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeit entlang des Pfandes multipliziert (Multiplikationsregel) Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses E Ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der zum Ergebnis gehörenden Ergebnisse (Additionsregel) Mathematik Klasse 8 2.7 ,,Ziehen ohne Zurücklegen" - Voneinander abhängige Ereignisse Beispiel: Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne zurücklegen aus dem Gefäß gezogen (6 schwarze, 4 rote, 5 weiße). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse? E₁: zwei schwarze Kugeln E₂: zwei gleichfarbige Kugeln E3: Erst eine schwarze, dann eine rote, dann eine weiße Kugel X Wichtig! S(₁) Beispiel: N (₁) W R(+) 2.8 Das Zahlenschloss S (₁) W(₁) R() s() W R(₁) S(-) W(3) Beim Ziehen ohne zurücklegen verändern sich die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfandes von Stufe zu Stufe abhängig vom vorhergehenden Ergebnis. P(SS) = ... P(SW) = ... Tanja hat an ihrem Koffer ein Zahlenschloss. Sie kann den Koffer nur öffnen, wenn sie 3 bestimmte Ziffern in der richtigen Reihenfolge wählt. Lösung: a) 10³ = 1000 mögliche Kombinationen b) P(richtige Kombination) ... a) wie viele Ziffern Kombinationen mit 3 Ziffern gibt es? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gleich beim ersten Versuch die richtigen Ziffern infolge einstellt? 1000 6 = 0,001 = 0,1% Mathematik Klasse 8 2.9 UND/ODER - Ereignisse Wichtig! Gegeben seien die Ergebnisse E₁ und E₂.Zu dem UND - Ereignis gehören alle Ergebnisse, die sowohl zu E₁ als auch zu E₂ gehören (also zu E₁ und E2 gleichzeitig). Zu dem ODER - Ereignis E₁ oder E2 gehören alle Ergebnisse von E₁ und alle von E₂. 3. LINEARE FUNKTIONEN 3.1 Darstellungsformen für Zuordnungen Wortvorschrift: Pfeildiagramm: Wertetabelle: Koordinatensystem: Gleichung: Jeder natürlichen Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet. A B X у 3.2 Arten von Zuordnungen a) Mehrdeutig - Eindeutig - Eineindeutig mehrdeutige Zuord. Wichtig! ES gibt ein Element in der Ausgangsmenge, 1 1 welchem mehrere Elemente der Zuordnungsmenge zugeordnet werden können. 1 2 3 4 7 2 4 y = x² a #b 3 69 eindeutige Zuord. Jedem Element der Ausgangsmenge wird genau ein Element der Zuordnungsmenge zugeordnet. d 4 16 5 25 eineindeutige Zuord. Jedem Elemente der Ausgangsmenge wird genau ein Elemente Ausgangsmenge zugeordnet. Mathematik Klasse 8 Beispiel: eine Körpergrößen → mehrere Schüler b) spezielle eineindeutige Zuordnungen direkt proportionale Zuord. Je, mehr..., desto mehr ... X : Y (Quotientengleicheit) im Kos. entsteht Ursprungsgerade 3.3 Was ist eine Funktion? Je mehr ..., desto weniger... → In dem Maße, indem die eine Größe für Wertepaare gleich zunimmt, nimmt die andere ab für alle Wertepaare gleich x. y ein Schüler → eine Körpergröße Beispiel: Wichtig! Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Element X aus der ein Element Y der Ausgangsmenge (Definitionsbereich) genau Zuordnungsmenge (Wertebereich) zugeordnet wird. 3.4 Lineare Funktionen der Form y = f(x) = m.x a) Begriffserklärung b) Welchen Einfluss hat m? Zahl →→ Quadratzahl indirekt proportionale Zuord. (Produktgleichheit) im Kos. Entsteht Hyperbel Wichtig! Funktionen, deren Graphen im Koordinatensystem Geraden sind, heißen lineare Funktionen. Verlaufen die Geraden durch den Koordinatenursprung, so hat die Funktionsgleichung die Form y = f(x) = m.x. Jede direkt proportionale Zuordnung ist eine lineare Funktion der Form y = f(x) = m.x. m>0 y = 2x ***** X -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 Wichtig! Die Ursprungsgerade verläuft von links unten nach rechts oben (monoton steigend). 8 X m<0 y = -3x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 6 3 0 -3 -6 -9 Die Ursprungsgerade verläuft von y links oben nach rechts unten (monoton fallend). Mathematik Klasse 8 c) Das Anstiegsdreieck Wichtig! Um von einem Punkt A auf den Graphen der linearen Funktion zum Punkt B auf dem Graphen der linearen Funktion zu kommen, zeichnen wir das Anstiegsdreieck ein. d) Berechnen des Anstiegs m Beispiel: Gegeben sind die Punkte A (x1, y₁) und B (x2; y2) auf dem Graphen einer eindeutigen Funktion. Für den Anstieg m dieser eindeutigen Funktion gilt dann: m = y2-y₁ X2-X1 e) Punktprobe Beispiel: es gilt: m = Ay Ax 1. Schritt: 2. Schritt: Beispiel: A (0;0) m = B (1;.4) -40 32-Ji X2X1 -1 - 0 = f) Berechnen fehlender Koordinaten Ax=2 = 4 Ay=-2 Gegeben ist die Funktion y = 2x Prüfe rechnerisch, ob der Punkt P (1;2) auf dem Graphen der Funktion liegt. f(x) = 4x einsetzen der Koordinaten des Punktes in Funktionsgleichung. P liegt auf dem Graphen 22.1 Prüfung des Wahrheitsgehaltes der entstandenen Aussage 9 → entsteht eine wahre Aussage (w.A.) liegt der Punkt auf dem Graphen → entsteht eine falsche Aussage (f.A.)liegt der Punkt nicht auf dem Graphen Gegeben ist die Funktion y = 2,5x. Bestimme die Koordinaten der Punkte P₁(-1; y), P₂ (x; 6) so, dass sie auf dem Graphen der Funktion liegen. Mathematik Klasse 8 ⇒ Man setzt die gegebenen Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne die fehlende Koordinate. P₁(-1;y) y=2,5 (-1) y = -2,5 → P₁(-1;-2,5) 3.5 Lineare Funktion der Form y = f(x) = mx + n Wichtig! Der Graph einer linearen Funktion der Form f(x) = mx +n ist eine Gerade, welche die y-Achse an der Stelle n schneidet und den Anstieg m besitzt. a) Die Nullstelle Wichtig! Beispiel: P₂(x; 6)6 = 2,5x 6 x = = 2,4 P₂ (2,4; 6) 25 J(z)=3-z-2 f(x) → Man zeichnet den Graphen der Funktion, indem man an der Stelle auf der y-Achse den Punkt Sy (0; n) markiert und von dort aus entsprechend des Anstiegsdreiecks vorwärts geht und einen zweiten Punkt markiert. Beide Punkte werden durch eine Gerade verbunden. Die Stelle, an der die Gerade der linearen Funktion f(x) die x-Achse schneidet, wird Nullstelle xo genannt. Die Koordinaten des Schnittpunktes Sx mit der x-Achse sind Sx (xo; 0) 10 f Nullstelle Mathematik Klasse 8 b) Berechnen der Nullstelle 1. Schritt: Da für xo das zugehörige y = 0 ist erhält die Funktionsgleichung die Form: 0 = mxo + n 2. Schritt: 1. Graph-Menü öffnen 2. Tab - Taste drücken und Funktionsgleichung eingeben 3. Menü: I. Graph analysieren (6) II. Nullstelle (1) 4. Suchbereich der Nullstelle einschränken Beispiel: c) rechnerisches Aufstellen von Funktionsgleichungen bei 2 bekannten Punkten 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: Lösen der Gleichung 4. Schritt: Berechnen der Nullstelle mit dem Taschenrechner Wichtig! Beispiel: Gegeben sind die Punkte A (x1;y1) und B (x2;y2), die auf den Graphen einer linearen Funktion liegen. Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf. Veranschaulichen des Sachverhaltes (Koordinatensystem) berechnen des Anstiegs der Gerade Berechnen der Schnittstelle mit der y-Achse d) Lagebezeichnung zwischen zwei Geraden dazu setzen wir die Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein Probe mit Koordinaten des 2. Punktes parallel zueinander zwei Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn ihre Anstiege gleich sind f₁(x) = 2x + 2 f₂(x) = 2x - 4 11 senkrecht zueinander zwei Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn für ihre Anstiege gilt: f₁(x) = 2x + 2 1 -x-2 f₂(x) = 2x Mathematik Klasse 8 e) weitere Funktionen und deren Eigenschaften Beispiel: Wortvorschrift: Gleichung: Wertetabelle: Funktionsgraph: Definitionsbereich (DB): Wertebereich (WB): Minimum: Maximum: Monotonie Symmetrie: Schnittpunkte Koordinatensystem: 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: zeichnerisch Ordne jeder natürlichen Zahl eine Quadratzahl zu. y = x² X 1 y 1 rechnerisch YEQ 2 4 5 4 9 16 25 f) Bestimmen der Koordinaten des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen 3- 7 y-r XEQ YEQ; y E0 Pmin(0;0) keinen für ∞o < x < 0 monoton fallend für 0 < x < ∞ monoton steigend achsensymmetrische bezüglich der y-Achse 12 Sx(0; 0) Sy(0; 0) →> zeichnen der Graphen der gegebenen Funktion in Koordinatensystem und lesen Koordinaten des Schnittpunktes ab ein beide Funktionsterme gleichsetzen und lösen der Gleichung Ergebnis in eine Funktionsgleichung einsetzen, um anderen Wert zu erhalten Probe mit anderen Funktionsterm Mathematik Klasse 8 4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) 4.1 Lineare Gleichungen Wichtig! Eine Gleichung der Form ax + by = c nennt man lineare Gleichungen mit 2 Variablen. Jedes Zahlenpaar (x; y), welches die Gleichung erfüllt, ist eine Lösung der linearen Gleichung. 4.2 Lineare Gleichungssysteme 4.2.1 Definition Lineare Gleichungen mit 2 Variablen hat unendlich viele Lösungen. Die Gesamtheit der Lösungen liegt auf einer Geraden im Koordinatensystem Wichtig! Ein LGS mit den zwei variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (Gleichung I und Gleichung II) 4.2.2 Lösen von LGS Wichtig! Ein LGS zu lösen, bedeutet das Zahlenpaar (x; y) zu finden, welches sowohl Gleichung I als auch Gleichung Il erfüllt. Lösen mit GTR: 1. Calculator öffnen 2. Menü 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: I. II. 4.2.3 Graphisches Lösen von LGS Algebra (3) Löse (1) Stellen Gleichung I und II nach y um → erhaltene Form y = mx + n Zeichnen bei der Geraden in ein Koordinatensystem Lesen Koordinaten des Schnittpunktes ab (geordnetes Zahlenpaar für Gleichung I und II) 13. Mathematik Klasse 8 4.2.4 weitere Verfahren a) Gleichsetzungsverfahren Wichtig! Bietet sich an, wenn beide Gleichungen der LGS nach ein und derselben Variable umgestellt sind (entweder nach x oder nach y). b) Einsetzungsverfahren Wichtig! Bietet sich immer dann an, wenn eine der beiden Gleichungen bereits nach einer variable umgestellt ist. 1. Schritt: setzen Term für entsprechende Variable in 2. Gleichung → erhalten Gleichung mit einer variablen 2. Schritt: setzen den Wert der variablen in eine Ausgangsgleichung c) Additionsverfahren 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: 4.2.5 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen Beispiel: Wichtig! 1. Schritt: Multipliziere/Dividiere eine/beide Gleichungen mit versch. Zahlen → Koeffizienten einer Variable Gegenzahlen sind Addiere beide Gleichungen, behalte eine der Ausgangsgleichungen bei Berechne Gleichung (mit nur noch einer Variable) und erhalte eine Koordinate → setzte sie in eine Ausgangsgleichung und berechne zweite Koordinate 2. Schritt: 4.2.6 Lösen von Textaufgaben 3. Schritt: keine Lösung I y = 3x - 4 II y = 3x + 5 I + II: 0 = 0 + 1 f. A. zeichnerisch bedeutet das dass, die Graphen parallel zueinander verlaufen unendlich viele Lösungen I 2x - 4y = -1 II - 4x + 8y = 2 I 21: 4x8y = -2 II + 1:0 + 0 = 0 W.A. 14 zeichnerisch sind die Geraden identisch → sie liegen direkt aufeinander Variablenvereinbarung Veranschaulichung des Sachverhaltes in Skizze Aufstellen und lösen LGS Mathematik Klasse 8 4. Schritt: Antwortsatz 4.2.7 LGS mit drei Variablen und drei Gleichungen Wichtig! Zum Lösen von LGS mit 3 Variablen und 3 Gleichungen stellt man zunächst die 3 Gleichungen nach einer Variable um. Dann setzt man den Term für diese Variable in den verbleibenden beiden Gleichungen ein und erhält somit ein LGS bekannter Form. 5. ÄHNLICHKEIT 5.1 Maßstäbliche Vergrößerung/Verkleinerung Wichtig! Beim maßstäblichen Vergrößern/Verkleinern bleiben die Größen einander entsprechender Winkel gleich und die Längen aller Strecken werden mit demselben positiven Faktor (den Maßstab) multipliziert. Maßstab = 5.2 Zueinander ähnliche Figuren 5.2.1 Definition Bildlänge Originallänge Wichtig! Zwei Vielecke F und G heißen ähnlich zueinander, wenn sich ihre Eckpunkte so einander zuordnen lassen: entsprechende Winkel sind gleich groß Alle Seiten des Vielecks G sind k-mal so lang wie die entsprechenden Seiten des Vielecks F (mit derselben Zahl K) man spricht: F ist ähnlich zu G man schreibt: F~G 15 Mathematik Klasse 8 5.2.2 Flächeninhalt Beispiel: Gegeben sind die Rechtecke ABCD und A'B'C'D'. A'B'C'D' entsteht durch maßstäbliche Vergrößerung mit dem Vergrößerungsfaktor K = 4 aus ABCD. Wie verhalten sich die Flächeninhalte der Rechtecke zueinander 5.2.3 Volumen y 10- 9- 8- 5.3 Zentrische Streckung 7- 6- 5- Wichtig! Wenn zwei Körper K und K' ähnlich zueinander, mit dem Ähnlichkeitsfaktor k sind, dann gilt: Der Körper K' hat das K³-fache Volumen des Körpers K: Vk = K³. Vk 4- b 3- 2- Z a -4-16-(4² A A = a b A' B 8 9 B' 10 x 4b 16 4a A' 16 ab allgemeine Formel: A` = k² A Wichtig! Eine zentrische Streckung wird festgelegt durch das Streckungszentrum Z und den positiven Streckfaktor K. Zu einem Punkt erhältst du den Bild Punkt wie folgt: dem 1. Wenn der Punkt P nicht mit Zentrum Z zusammenfällt, dann erhält man den Bildpunkt P', wie folgt: I. II. zeichne den Strahl ZP zeichne den Punkt P' auf dem Strahl. So gilt: 2. Der Bildpunkt Z' von Z fällt mit Z zusammen Z' = Z Mathematik Klasse 8 5.4 Strahlensätze 1. Strahlensatz Wichtig! Die Abschnitte auf dem ersten Strahl verhalten sich zueinander, wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem zweiten Strahl. ZA ZC ZB ZD 5.5 Der Hauptähnlichkeitssatz 2. Strahlensatz Gleichliegende Parallelabschnitte verhalten sich zueinander, wie die zugehörigen Abschnitte auf einem Strahl. oder 17 AC ZA BD ZB = AC ZC BD ZD = Wichtig! Dreiecke sind zueinander ähnlich, denn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.