Zusammengesetzte Funktionen und Ableitungsregeln
Dieser Abschnitt befasst sich mit den grundlegenden Konzepten der zusammengesetzten Funktionen und den Methoden zu ihrer Ableitung. Es werden die Kettenregel und die Produktregel sowie deren Kombination erläutert.
Zusammengesetzte Funktionen
Zusammengesetzte Funktionen bestehen aus mehreren einzelnen Funktionen. Um sie abzuleiten, ist es notwendig, sie in ihre Einzelfunktionen zu zerlegen. Hierfür werden die Ketten- und Summenregel benötigt.
Definition: Eine zusammengesetzte Funktion ist eine Funktion, die selbst aus mehreren Funktionen besteht.
Kettenregel
Die Kettenregel wird bei Funktionen der Form f(x) = u[v(x)] angewendet. Dies tritt häufig bei Potenzen mit Klammern, e-Funktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen auf.
Highlight: Die Kettenregel ist ein wesentliches Werkzeug für die Ableitungsmethoden für zusammengesetzte Funktionen.
Der Rechenweg für die Kettenregel lautet:
f'(x) = u'[v(x)] · v'(x)
Dabei bezeichnet man:
- u(x) als äußere Funktion
- v(x) als innere Funktion
Produktregel
Die Produktregel wird bei Funktionen der Form f(x) = u(x) · v(x) angewendet, wenn f(x) das Produkt von zwei verschiedenen Funktionen ist.
Example: Bei f(x) = x² · sin(x) würde man die Produktregel anwenden.
Der Rechenweg für die Produktregel lautet:
f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Kombination von Produkt- und Kettenregel
In manchen Fällen ist es notwendig, die Produkt- und Kettenregel zu kombinieren. Dies tritt auf bei Funktionen der Form f(x) = b(x) · u[v(x)], also einem Produkt aus zwei Faktoren, wobei einer der Faktoren eine Kette ist.
Vocabulary: Verkettung - bezeichnet die Anwendung einer Funktion auf das Ergebnis einer anderen Funktion.
Der Rechenweg für die Kombination von Produkt- und Kettenregel lautet:
- Ableitung von u[v(x)] nach der Kettenregel: u'[v(x)] · v'(x)
- Ableitung von f(x) nach der Produktregel:
f'(x) = b'(x) · u[v(x)] + b(x) · u'[v(x)] · v'(x)
Diese Produktregel und Kettenregel bei Funktionsableitungen ermöglichen es, komplexe zusammengesetzte Funktionen effektiv abzuleiten.
