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Zyklische Prozesse und Übergangsmatrizen: Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen

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Zyklische Prozesse und Übergangsmatrizen: Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen

Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung durch Übergangsmatrizen werden detailliert erklärt, mit Fokus auf mathematische Modelle und deren Anwendung in der Populationsbiologie.

  • Übergangsmatrizen werden zur Modellierung von Populationsentwicklungen verwendet.
  • Die Beziehung zwischen Vermehrungsrate und Überlebensraten bestimmt das langfristige Verhalten der Population.
  • Zyklische Prozesse in Matrizen werden definiert und ihre Bedeutung für die Populationsdynamik erläutert.

24.4.2021

854

Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung

Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.

Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.

Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:

U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]

Hierbei repräsentieren:

  • v: Vermehrungsrate
  • a, b: Überlebensraten (0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1)

Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:

  • a·b·v < 1: Population stirbt aus
  • a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
  • a·b·v > 1: Population nimmt zu

Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:

B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]

Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.

Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.

Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.

Zyklische
Prozesse
→ Entwicklung einer Population durch übergangs matrizen
ist für eine Populationsentwicklung eine Übergangsmatrix
U = a go

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  • Übergangsmatrizen werden zur Modellierung von Populationsentwicklungen verwendet.
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  • Zyklische Prozesse in Matrizen werden definiert und ihre Bedeutung für die Populationsdynamik erläutert.

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Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.

Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:

U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]

Hierbei repräsentieren:

  • v: Vermehrungsrate
  • a, b: Überlebensraten (0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1)

Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:

  • a·b·v < 1: Population stirbt aus
  • a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
  • a·b·v > 1: Population nimmt zu

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B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]

Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.

Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.

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