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Facharbeit Mathematische Modellierung

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 Mathematisches Modellieren
Die Übersetzung der Realität in die Mathematik
von: Mira Wahl
13.04.2021
Regionales Berufliches Bildungszentrum

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Meine komplexe Präsentationsleistung aus der 11. Klasse mit demThema: Mathematische Modellierung Die Übersetzung der Realität in die Mathematik (Bewertung mit 1, 0) P. S. Ich habe wirklich viel Arbeit & Liebe rein gesteckt

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Mathematisches Modellieren Die Übersetzung der Realität in die Mathematik von: Mira Wahl 13.04.2021 Regionales Berufliches Bildungszentrum Müritz Fach: Mathematik Betreuende Lehrkraft: Herr Kolloch Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung. 2 Mathematisches Modellieren 2.1 Definition und Modellierungskreislauf nach Blum ..... 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens. 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkeiten 3 Der Abkühlungsprozess von Wasser. 4 Zusammenfassung. Literaturverzeichnis............ Anhang. Inhaltsverzeichnis | 1 .2 ..2 .5 ..7 10 .12 IV 1 Einleitung 1 Einleitung Seitens der SchülerInnen wird im Unterrichtsfach Mathematik die Frage gestellt, welchen Anwendungsbezug die vermittelten Inhalte einerseits im alltagsbezogenen und anderer- seits im wissenschaftlichen Kontext haben. Dieser Frage will die Autorin in der folgenden komplexen Präsentationsleistung (KPL) nachgehen und insbesondere die mathematische Modellierung thematisieren. Denn Modellierung symbolisiert die Anwendung der Mathema- tik in einem realen Kontext und verbindet die Außenwelt mit innermathematischen Aktivitä- ten. Aus diesem Grund kann mathematische Modellierung auch als „Übersetzung der Re- alität in die Mathematik“ verstanden werden. Hierbei liefern Übersetzungsprozesse die Möglichkeit Probleme, beispielsweise im alltäglichen Leben, zu lösen, und macht gleichsam den Weg in die verschiedensten Wissenschaften möglich.¹ Im zweiten Kapitel „Mathematisches Modellieren" unter dem Punkt 2.1 Definition und Mo- dellierungskreislauf nach Blum werden die aufgeführten allgemeinen Informationen zur ma- thematischen Modellierung vertieft und ergänzt. Hierbei wird zuerst geklärt, was mathema- tische Modellierung ist und anschließend erläutert, wie der Modellierungskreislauf nach Prof. Dr. Werner Blum funktioniert. Eine Frage, welche folgend aufkommen könnte, ist bei- spielsweise wo mathematische Modellierung ihre Anwendung im Alltag findet, denn dies geschieht oft in den...

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unscheinbarsten Situationen des Alltags. Ein Beispiel für den Prozess einer mathematischen Modellierung wäre dahingehend das Tischdecken, bei welchem ein ähnlicher Prozess wie beim mathematischen Modellieren abläuft. Auf dem Deckblatt ist ein symbolisches Bild zu finden (Selter, ohne Jahr), welches den Vorgang des Tischdeckens verdeutlichen soll. Dabei ist den meisten Menschen der Ablauf dieses Prozesses bewusst, aber was dies mit einer mathematischen Modellierung zu tun hat, ist eher fragwürdig. Des- halb wird unter dem Punkt 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens diese Frage be- antwortet und weitere Anwendungen aus dem Alltag präsentiert. Grundlegend kann mit die- sem Beispiel festgehalten werden, dass Modellierungen jeden Tag durchgeführt werden, weshalb es wichtig ist, sich intensiver mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aus diesem Grund wird in diesem Punkt auch betrachtet, wie die Kernkompetenz der mathematischen Modellierung innerhalb des Unterrichtes entwickelt und gefördert werden kann und welche Bedeutung diese hat. Im letzten Punkt des Kapitels 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkei- ten, soll geklärt werden, welche Probleme insbesondere Lehrende und Lernende bei die- sem Thema aufweisen und welche Schritte möglich sind, um diese auftretenden Probleme zu lösen. Abgerundet wird die komplexe Präsentationsleistung mit dem letzten Kapitel 3. Der Abkühlungsprozess von Wasser, wo die Theorie eine Anwendung in einer Beispielmo- dellierung findet, welches sich mit dem Abkühlungsprozess von Wasser beschäftigt. Die dargestellten Inhalte der KPL werden anschließend von der Autorin zusammengefasst. Bevor die schriftliche Bearbeitung dieser komplexen Präsentationsleitung begann, erfolgte eine ausführliche Recherche in unterschiedlichen Quellen aus dem Internet oder aus Bü- chern. Hierbei fand insbesondere die Festschrift zum 70. Geburtstag von Werner Blum ,,Werner Blum und seine Beiträge zum Modellieren im Mathematikunterricht" Anwendung. 1 Vgl. Struckmeier, 2004; Kohlmeier, 2010 1 2 Mathematisches Modellieren 2 Mathematisches Modellieren nach Blum 2.1 Definition und Modellierungskreislauf Wenn mathematische Modellierung mit einem Prozess aus der Kunst verglichen werden sollte, wäre Modellieren ähnlich wie Töpfern aufgebaut, denn der Prozess des Modellierens hat einige Ähnlichkeiten zum Töpferprinzip. Es beginnt mit einer Vorstellung von dessen, was modelliert werden soll und mithilfe von bekannten Methoden und Prozessen entsteht das Modell oder das Kunstwerk, wobei einige Prozesse verändert und zweckentfremdet werden. Trotzdem kann auf erlerntes Wissen und Können gezählt werden.2 Jedoch ist ma- thematische Modellierung noch viel komplexer als das Töpfern, denn der Prozess, welcher mit dem Töpfern verglichen wird, stellt nur das reine Mathematisieren der realen Situation dar. Mathematisches Modellieren bedeutet nämlich ein Problem im realen Kontext zu erkennen, zu verstehen sowie zu strukturieren und anschließend mithilfe von mathematischen Metho- den, Hilfsmitteln und Werkzeugen einer Lösung zu zuführen und diese anschließend zu validieren und zurück in die Realität zu interpretieren, d. h. Mathematik in der Realität fest- stellen und abschließend beurteilen. Hierbei verlangt die Modellierung insbesondere die Auseinandersetzung mit eigenen kognitiven Prozessen. Modellieren steht daher sinnbild- lich für die Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und den anderen Bereichen des wirklichen Lebens. Trotzdem ist mathematische Modellierung kein Bestandteil einer be- stimmten Wissenschaft, sondern ist Wissenschaft viel mehr Modellierung, denn in jeder Wissenschaft ist das Aufstellen von Modellen notwendig, um konkrete Fragestellungen zu lösen. Deshalb findet die mathematische Modellierung, insbesondere Anwendung in der Technik, der Ökonomie und den Naturwissenschaften. Jedoch können solche Modellie- rungsprozesse auch bei innermathematischen Problemen auftreten, wie Beispielsweise die Formalisierung eines geometrischen Problems.³ Inwiefern sich jedoch die Begriffe Anwendungen und Modellierungen unterscheiden, kann wie folgt beschrieben werden: Die Modellierung konzentriert sich auf die begleiteten Pro- zesse der Übersetzung, wobei Anwendungen eher die dazugehörigen Objekte, insbeson- dere welche aus der Realität stammen, thematisieren. Anders beschrieben, verlaufen die Prozesse in entgegengesetzten Richtungen. Die Modellierung bezieht sich von der Realität auf die Mathematik, wobei im Bereich der Anwendungen der Prozess andersherum abläuft, indem von der Mathematik Rückschlüsse in die Realität gezogen werden. In der Bildung ist die mathematische Modellierung ein wichtiger Bestandteil der sechs mathematischen Kern- kompetenzen, welche SchülerInnen im Verlauf ihres Schullebens erlernen. Unter mathe- matischen Kompetenzen werden dahingehend alle Fähigkeiten eines Menschen verstan- den, welche dieser benötigt, um Mathematik in unterschiedlichen Zusammenhängen zu in- terpretieren, anzuwenden oder formulieren zu können. Dies schließt zum einen das mathe- matische Denken ein aber auch die Anwendung unterschiedlichster mathematischer Fak- ten, Werkzeugen, Konzepten oder Verfahren, um Dinge zu beschreiben, zu erklären oder 2 Vgl. Degen, kein Datum 3 Vgl. Kirchner, 2021; Kohlmeier, 2010, S.1; Kaiser, 2015, S.16 2 2 Mathematisches Modellieren auch Voraussagen zu treffen. Diese Kompetenzen unterstützen das Individuum die Stel- lung der Mathematik und somit die Notwendigkeit dahinter zu erkennen und berechtigte Urteile und Entscheidungen zu treffen. Unter diesen unterschiedlichsten Kompetenzen stellt die Kompetenz des mathematischen Modellierens die Fähigkeit eines Individuums dar, welche dieses benötigt, um erforderliche Maßnahmen des Modellierungsprozesses in realen Problemsituationen durchzuführen, wie die Konstruktion von mathematischen Mo- dellen bis hin zur Untersuchung und Interpretation der innermathematischen Lösungen.4 In der Mathematikdidaktik, insbesondere der Schulmathematik, finden mathematische Mo- dellierungen als Textaufgaben beziehungsweise Sachaufgaben mit einem konkreten Bezug auf die Wirklichkeit ihre Anwendung. Hierbei können diese Aufgaben in drei unterschiedli- che Anforderungsbereiche unterteilt werden. Der erste Anforderungsbereich beruht auf ver- trauten und eindeutig erkennbaren Modellen, wie beispielsweise der Dreisatz, wobei die reale Situation direkt in die Mathematik überführt werden kann, ohne ein Situationsmodell bilden zu müssen. Im zweiten Anforderungsbereich erfolgt eine Modellierung der realen Situation in mehreren Schritten, wird aber von wenigen und exakt bezeichneten Einschrän- kungen umrahmt. Weiter zählt aber auch die Interpretation dieser Ergebnisse in den zwei- ten Anforderungsbereich, wie auch das Finden einer passenden Realsituation zu gegebe- nen mathematischen Modellen oder das Anpassen eines Modells an veränderten realen Gegebenheiten. Im letzten Anforderungsbereich, dem Anforderungsbereich drei, sollen ma- thematische Modelle zu komplexen Situationen erstellt werden, in denen verschiedene An- nahmen getroffen werden und Variablen, Beziehungen und Einschränkungen anders be- zeichnet werden müssen. 5 6 Bei der genauen Betrachtung des Modellierungsprozesses wird ersichtlich, dass es sich hierbei um einen Kreislauf handelt, welcher jedoch nicht immer linear verläuft, sondern häu- fig einen Wechsel zwischen den einzelnen Teilschritten verlangt. Bevor jedoch jede Model- lierung beginnen kann, ist es wichtig eine Leitfrage oder auch ein Ziel zu formulieren. Dieses kann sinnbildlich für die Aufgabenstellung stehen, denn davon ist die Art und die Komple- xität des Modells abhängig, sowie auch der Erfolg der Modellierung. Der Modellierungs- kreislauf (siehe Anhang 1), welcher folgend betrachtet wird, beruht auf den Ideen von Prof. Dr. Werner Blum, welcher seit 1975 Professor für Mathematik-Didaktik an der Universität Kassel ist und umfasst sieben Schritte. Im ersten Schritt „Konstruieren und Verstehen" ist es zuerst notwendig die Aufgabe zu lesen und zu verstehen, was für ein reales Problem dahintersteckt. Daraufhin müssen alle notwendigen Informationen festgehalten werden, woraufhin auch überprüft wird, ob alle notwendigen Informationen gegeben sind oder nötige Annahmen getroffen werden müssen, wodurch ein Situationsmodell entsteht. Der darauf- folgende Schritt „Vereinfachen und Strukturieren“ soll das entstandene Situationsmodell optimieren, indem die notwendigen Informationen herausgearbeitet werden und unwesent- liche Informationen außer Acht gelassen werden. Dadurch wird das Situationsmodell prä- ziser und stellt eine mögliche ideale Umsetzung der Realsituation dar. In diesem Schritt kann es jedoch auch dazu kommen, dass noch fehlende Annahmen getroffen werden 4 Vgl. Kaiser, 2015, S. 12ff 5 Vgl. Leiß & Blum, 2010, S.41 6 Vgl. Besser, Hagena, & Leiss, 2015, S.50 3

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Mathematisches Modellieren Die Übersetzung der Realität in die Mathematik von: Mira Wahl 13.04.2021 Regionales Berufliches Bildungszentrum Müritz Fach: Mathematik Betreuende Lehrkraft: Herr Kolloch Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung. 2 Mathematisches Modellieren 2.1 Definition und Modellierungskreislauf nach Blum ..... 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens. 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkeiten 3 Der Abkühlungsprozess von Wasser. 4 Zusammenfassung. Literaturverzeichnis............ Anhang. Inhaltsverzeichnis | 1 .2 ..2 .5 ..7 10 .12 IV 1 Einleitung 1 Einleitung Seitens der SchülerInnen wird im Unterrichtsfach Mathematik die Frage gestellt, welchen Anwendungsbezug die vermittelten Inhalte einerseits im alltagsbezogenen und anderer- seits im wissenschaftlichen Kontext haben. Dieser Frage will die Autorin in der folgenden komplexen Präsentationsleistung (KPL) nachgehen und insbesondere die mathematische Modellierung thematisieren. Denn Modellierung symbolisiert die Anwendung der Mathema- tik in einem realen Kontext und verbindet die Außenwelt mit innermathematischen Aktivitä- ten. Aus diesem Grund kann mathematische Modellierung auch als „Übersetzung der Re- alität in die Mathematik“ verstanden werden. Hierbei liefern Übersetzungsprozesse die Möglichkeit Probleme, beispielsweise im alltäglichen Leben, zu lösen, und macht gleichsam den Weg in die verschiedensten Wissenschaften möglich.¹ Im zweiten Kapitel „Mathematisches Modellieren" unter dem Punkt 2.1 Definition und Mo- dellierungskreislauf nach Blum werden die aufgeführten allgemeinen Informationen zur ma- thematischen Modellierung vertieft und ergänzt. Hierbei wird zuerst geklärt, was mathema- tische Modellierung ist und anschließend erläutert, wie der Modellierungskreislauf nach Prof. Dr. Werner Blum funktioniert. Eine Frage, welche folgend aufkommen könnte, ist bei- spielsweise wo mathematische Modellierung ihre Anwendung im Alltag findet, denn dies geschieht oft in den...

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Aus diesem Grund wird in diesem Punkt auch betrachtet, wie die Kernkompetenz der mathematischen Modellierung innerhalb des Unterrichtes entwickelt und gefördert werden kann und welche Bedeutung diese hat. Im letzten Punkt des Kapitels 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkei- ten, soll geklärt werden, welche Probleme insbesondere Lehrende und Lernende bei die- sem Thema aufweisen und welche Schritte möglich sind, um diese auftretenden Probleme zu lösen. Abgerundet wird die komplexe Präsentationsleistung mit dem letzten Kapitel 3. Der Abkühlungsprozess von Wasser, wo die Theorie eine Anwendung in einer Beispielmo- dellierung findet, welches sich mit dem Abkühlungsprozess von Wasser beschäftigt. Die dargestellten Inhalte der KPL werden anschließend von der Autorin zusammengefasst. Bevor die schriftliche Bearbeitung dieser komplexen Präsentationsleitung begann, erfolgte eine ausführliche Recherche in unterschiedlichen Quellen aus dem Internet oder aus Bü- chern. Hierbei fand insbesondere die Festschrift zum 70. Geburtstag von Werner Blum ,,Werner Blum und seine Beiträge zum Modellieren im Mathematikunterricht" Anwendung. 1 Vgl. Struckmeier, 2004; Kohlmeier, 2010 1 2 Mathematisches Modellieren 2 Mathematisches Modellieren nach Blum 2.1 Definition und Modellierungskreislauf Wenn mathematische Modellierung mit einem Prozess aus der Kunst verglichen werden sollte, wäre Modellieren ähnlich wie Töpfern aufgebaut, denn der Prozess des Modellierens hat einige Ähnlichkeiten zum Töpferprinzip. Es beginnt mit einer Vorstellung von dessen, was modelliert werden soll und mithilfe von bekannten Methoden und Prozessen entsteht das Modell oder das Kunstwerk, wobei einige Prozesse verändert und zweckentfremdet werden. Trotzdem kann auf erlerntes Wissen und Können gezählt werden.2 Jedoch ist ma- thematische Modellierung noch viel komplexer als das Töpfern, denn der Prozess, welcher mit dem Töpfern verglichen wird, stellt nur das reine Mathematisieren der realen Situation dar. Mathematisches Modellieren bedeutet nämlich ein Problem im realen Kontext zu erkennen, zu verstehen sowie zu strukturieren und anschließend mithilfe von mathematischen Metho- den, Hilfsmitteln und Werkzeugen einer Lösung zu zuführen und diese anschließend zu validieren und zurück in die Realität zu interpretieren, d. h. Mathematik in der Realität fest- stellen und abschließend beurteilen. Hierbei verlangt die Modellierung insbesondere die Auseinandersetzung mit eigenen kognitiven Prozessen. Modellieren steht daher sinnbild- lich für die Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und den anderen Bereichen des wirklichen Lebens. Trotzdem ist mathematische Modellierung kein Bestandteil einer be- stimmten Wissenschaft, sondern ist Wissenschaft viel mehr Modellierung, denn in jeder Wissenschaft ist das Aufstellen von Modellen notwendig, um konkrete Fragestellungen zu lösen. Deshalb findet die mathematische Modellierung, insbesondere Anwendung in der Technik, der Ökonomie und den Naturwissenschaften. Jedoch können solche Modellie- rungsprozesse auch bei innermathematischen Problemen auftreten, wie Beispielsweise die Formalisierung eines geometrischen Problems.³ Inwiefern sich jedoch die Begriffe Anwendungen und Modellierungen unterscheiden, kann wie folgt beschrieben werden: Die Modellierung konzentriert sich auf die begleiteten Pro- zesse der Übersetzung, wobei Anwendungen eher die dazugehörigen Objekte, insbeson- dere welche aus der Realität stammen, thematisieren. Anders beschrieben, verlaufen die Prozesse in entgegengesetzten Richtungen. Die Modellierung bezieht sich von der Realität auf die Mathematik, wobei im Bereich der Anwendungen der Prozess andersherum abläuft, indem von der Mathematik Rückschlüsse in die Realität gezogen werden. In der Bildung ist die mathematische Modellierung ein wichtiger Bestandteil der sechs mathematischen Kern- kompetenzen, welche SchülerInnen im Verlauf ihres Schullebens erlernen. Unter mathe- matischen Kompetenzen werden dahingehend alle Fähigkeiten eines Menschen verstan- den, welche dieser benötigt, um Mathematik in unterschiedlichen Zusammenhängen zu in- terpretieren, anzuwenden oder formulieren zu können. Dies schließt zum einen das mathe- matische Denken ein aber auch die Anwendung unterschiedlichster mathematischer Fak- ten, Werkzeugen, Konzepten oder Verfahren, um Dinge zu beschreiben, zu erklären oder 2 Vgl. Degen, kein Datum 3 Vgl. Kirchner, 2021; Kohlmeier, 2010, S.1; Kaiser, 2015, S.16 2 2 Mathematisches Modellieren auch Voraussagen zu treffen. Diese Kompetenzen unterstützen das Individuum die Stel- lung der Mathematik und somit die Notwendigkeit dahinter zu erkennen und berechtigte Urteile und Entscheidungen zu treffen. Unter diesen unterschiedlichsten Kompetenzen stellt die Kompetenz des mathematischen Modellierens die Fähigkeit eines Individuums dar, welche dieses benötigt, um erforderliche Maßnahmen des Modellierungsprozesses in realen Problemsituationen durchzuführen, wie die Konstruktion von mathematischen Mo- dellen bis hin zur Untersuchung und Interpretation der innermathematischen Lösungen.4 In der Mathematikdidaktik, insbesondere der Schulmathematik, finden mathematische Mo- dellierungen als Textaufgaben beziehungsweise Sachaufgaben mit einem konkreten Bezug auf die Wirklichkeit ihre Anwendung. Hierbei können diese Aufgaben in drei unterschiedli- che Anforderungsbereiche unterteilt werden. Der erste Anforderungsbereich beruht auf ver- trauten und eindeutig erkennbaren Modellen, wie beispielsweise der Dreisatz, wobei die reale Situation direkt in die Mathematik überführt werden kann, ohne ein Situationsmodell bilden zu müssen. Im zweiten Anforderungsbereich erfolgt eine Modellierung der realen Situation in mehreren Schritten, wird aber von wenigen und exakt bezeichneten Einschrän- kungen umrahmt. Weiter zählt aber auch die Interpretation dieser Ergebnisse in den zwei- ten Anforderungsbereich, wie auch das Finden einer passenden Realsituation zu gegebe- nen mathematischen Modellen oder das Anpassen eines Modells an veränderten realen Gegebenheiten. Im letzten Anforderungsbereich, dem Anforderungsbereich drei, sollen ma- thematische Modelle zu komplexen Situationen erstellt werden, in denen verschiedene An- nahmen getroffen werden und Variablen, Beziehungen und Einschränkungen anders be- zeichnet werden müssen. 5 6 Bei der genauen Betrachtung des Modellierungsprozesses wird ersichtlich, dass es sich hierbei um einen Kreislauf handelt, welcher jedoch nicht immer linear verläuft, sondern häu- fig einen Wechsel zwischen den einzelnen Teilschritten verlangt. Bevor jedoch jede Model- lierung beginnen kann, ist es wichtig eine Leitfrage oder auch ein Ziel zu formulieren. Dieses kann sinnbildlich für die Aufgabenstellung stehen, denn davon ist die Art und die Komple- xität des Modells abhängig, sowie auch der Erfolg der Modellierung. Der Modellierungs- kreislauf (siehe Anhang 1), welcher folgend betrachtet wird, beruht auf den Ideen von Prof. Dr. Werner Blum, welcher seit 1975 Professor für Mathematik-Didaktik an der Universität Kassel ist und umfasst sieben Schritte. Im ersten Schritt „Konstruieren und Verstehen" ist es zuerst notwendig die Aufgabe zu lesen und zu verstehen, was für ein reales Problem dahintersteckt. Daraufhin müssen alle notwendigen Informationen festgehalten werden, woraufhin auch überprüft wird, ob alle notwendigen Informationen gegeben sind oder nötige Annahmen getroffen werden müssen, wodurch ein Situationsmodell entsteht. Der darauf- folgende Schritt „Vereinfachen und Strukturieren“ soll das entstandene Situationsmodell optimieren, indem die notwendigen Informationen herausgearbeitet werden und unwesent- liche Informationen außer Acht gelassen werden. Dadurch wird das Situationsmodell prä- ziser und stellt eine mögliche ideale Umsetzung der Realsituation dar. In diesem Schritt kann es jedoch auch dazu kommen, dass noch fehlende Annahmen getroffen werden 4 Vgl. Kaiser, 2015, S. 12ff 5 Vgl. Leiß & Blum, 2010, S.41 6 Vgl. Besser, Hagena, & Leiss, 2015, S.50 3