Facharbeit Mathematische Modellierung

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des Alltags. Ein Beispiel für den Prozess einer mathematischen Modellierung wäre dahingehend das Tischdecken, bei welchem ein ähnlicher Prozess wie beim mathematischen Modellieren abläuft. Auf dem Deckblatt ist ein symbolisches Bild zu finden (Selter, ohne Jahr), welches den Vorgang des Tischdeckens verdeutlichen soll. Dabei ist den meisten Menschen der Ablauf dieses Prozesses bewusst, aber was dies mit einer mathematischen Modellierung zu tun hat, ist eher fragwürdig. Des- halb wird unter dem Punkt 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens diese Frage be- antwortet und weitere Anwendungen aus dem Alltag präsentiert. Grundlegend kann mit die- sem Beispiel festgehalten werden, dass Modellierungen jeden Tag durchgeführt werden, weshalb es wichtig ist, sich intensiver mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aus diesem Grund wird in diesem Punkt auch betrachtet, wie die Kernkompetenz der mathematischen Modellierung innerhalb des Unterrichtes entwickelt und gefördert werden kann und welche Bedeutung diese hat. Im letzten Punkt des Kapitels 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkei- ten, soll geklärt werden, welche Probleme insbesondere Lehrende und Lernende bei die- sem Thema aufweisen und welche Schritte möglich sind, um diese auftretenden Probleme zu lösen. Abgerundet wird die komplexe Präsentationsleistung mit dem letzten Kapitel 3. Der Abkühlungsprozess von Wasser, wo die Theorie eine Anwendung in einer Beispielmo- dellierung findet, welches sich mit dem Abkühlungsprozess von Wasser beschäftigt. Die dargestellten Inhalte der KPL werden anschließend von der Autorin zusammengefasst. Bevor die schriftliche Bearbeitung dieser komplexen Präsentationsleitung begann, erfolgte eine ausführliche Recherche in unterschiedlichen Quellen aus dem Internet oder aus Bü- chern. Hierbei fand insbesondere die Festschrift zum 70. Geburtstag von Werner Blum ,,Werner Blum und seine Beiträge zum Modellieren im Mathematikunterricht" Anwendung. 1 Vgl. Struckmeier, 2004; Kohlmeier, 2010 1 2 Mathematisches Modellieren 2 Mathematisches Modellieren nach Blum 2.1 Definition und Modellierungskreislauf Wenn mathematische Modellierung mit einem Prozess aus der Kunst verglichen werden sollte, wäre Modellieren ähnlich wie Töpfern aufgebaut, denn der Prozess des Modellierens hat einige Ähnlichkeiten zum Töpferprinzip. Es beginnt mit einer Vorstellung von dessen, was modelliert werden soll und mithilfe von bekannten Methoden und Prozessen entsteht das Modell oder das Kunstwerk, wobei einige Prozesse verändert und zweckentfremdet werden. Trotzdem kann auf erlerntes Wissen und Können gezählt werden.² Jedoch ist ma- thematische Modellierung noch viel komplexer als das Töpfern, denn der Prozess, welcher mit dem Töpfern verglichen wird, stellt nur das reine Mathematisieren der realen Situation dar. Mathematisches Modellieren bedeutet nämlich ein Problem im realen Kontext zu erkennen, zu verstehen sowie zu strukturieren und anschließend mithilfe von mathematischen Metho- den, Hilfsmitteln und Werkzeugen einer Lösung zu zuführen und diese anschließend zu validieren und zurück in die Realität zu interpretieren, d. h. Mathematik in der Realität fest- stellen und abschließend beurteilen. Hierbei verlangt die Modellierung insbesondere die Auseinandersetzung mit eigenen kognitiven Prozessen. Modellieren steht daher sinnbild- lich für die Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und den anderen Bereichen des wirklichen Lebens. Trotzdem ist mathematische Modellierung kein Bestandteil einer be- stimmten Wissenschaft, sondern ist Wissenschaft viel mehr Modellierung, denn in jeder Wissenschaft ist das Aufstellen von Modellen notwendig, um konkrete Fragestellungen zu lösen. Deshalb findet die mathematische Modellierung, insbesondere Anwendung in der Technik, der Ökonomie und den Naturwissenschaften. Jedoch können solche Modellie- rungsprozesse auch bei innermathematischen Problemen auftreten, wie Beispielsweise die Formalisierung eines geometrischen Problems.³ Inwiefern sich jedoch die Begriffe Anwendungen und Modellierungen unterscheiden, kann wie folgt beschrieben werden: Die Modellierung konzentriert sich auf die begleiteten Pro- zesse der Übersetzung, wobei Anwendungen eher die dazugehörigen Objekte, insbeson- dere welche aus der Realität stammen, thematisieren. Anders beschrieben, verlaufen die Prozesse in entgegengesetzten Richtungen. Die Modellierung bezieht sich von der Realität auf die Mathematik, wobei im Bereich der Anwendungen der Prozess andersherum abläuft, indem von der Mathematik Rückschlüsse in die Realität gezogen werden. In der Bildung ist die mathematische Modellierung ein wichtiger Bestandteil der sechs mathematischen Kern- kompetenzen, welche SchülerInnen im Verlauf ihres Schullebens erlernen. Unter mathe- matischen Kompetenzen werden dahingehend alle Fähigkeiten eines Menschen verstan- den, welche dieser benötigt, um Mathematik in unterschiedlichen Zusammenhängen zu in- terpretieren, anzuwenden oder formulieren zu können. Dies schließt zum einen das mathe- matische Denken ein aber auch die Anwendung unterschiedlichster mathematischer Fak- ten, Werkzeugen, Konzepten oder Verfahren, um Dinge zu beschreiben, zu erklären oder 2 Vgl. Degen, kein Datum 3 Vgl. Kirchner, 2021; Kohlmeier, 2010, S.1; Kaiser, 2015, S.16 2 2 Mathematisches Modellieren auch Voraussagen zu treffen. Diese Kompetenzen unterstützen das Individuum die Stel- lung der Mathematik und somit die Notwendigkeit dahinter zu erkennen und berechtigte Urteile und Entscheidungen zu treffen. Unter diesen unterschiedlichsten Kompetenzen stellt die Kompetenz des mathematischen Modellierens die Fähigkeit eines Individuums dar, welche dieses benötigt, um erforderliche Maßnahmen des Modellierungsprozesses in realen Problemsituationen durchzuführen, wie die Konstruktion von mathematischen Mo- dellen bis hin zur Untersuchung und Interpretation der innermathematischen Lösungen.4 In der Mathematikdidaktik, insbesondere der Schulmathematik, finden mathematische Mo- dellierungen als Textaufgaben beziehungsweise Sachaufgaben mit einem konkreten Bezug auf die Wirklichkeit ihre Anwendung. Hierbei können diese Aufgaben in drei unterschiedli- che Anforderungsbereiche unterteilt werden. Der erste Anforderungsbereich beruht auf ver- trauten und eindeutig erkennbaren Modellen, wie beispielsweise der Dreisatz, wobei die reale Situation direkt in die Mathematik überführt werden kann, ohne ein Situationsmodell bilden zu müssen. Im zweiten Anforderungsbereich erfolgt eine Modellierung der realen Situation in mehreren Schritten, wird aber von wenigen und exakt bezeichneten Einschrän- kungen umrahmt. Weiter zählt aber auch die Interpretation dieser Ergebnisse in den zwei- ten Anforderungsbereich, wie auch das Finden einer passenden Realsituation zu gegebe- nen mathematischen Modellen oder das Anpassen eines Modells an veränderten realen Gegebenheiten. Im letzten Anforderungsbereich, dem Anforderungsbereich drei, sollen ma- thematische Modelle zu komplexen Situationen erstellt werden, in denen verschiedene An- nahmen getroffen werden und Variablen, Beziehungen und Einschränkungen anders be- zeichnet werden müssen. 5 Bei der genauen Betrachtung des Modellierungsprozesses wird ersichtlich, dass es sich hierbei um einen Kreislauf handelt, welcher jedoch nicht immer linear verläuft, sondern häu- fig einen Wechsel zwischen den einzelnen Teilschritten verlangt. Bevor jedoch jede Model- lierung beginnen kann, ist es wichtig eine Leitfrage oder auch ein Ziel zu formulieren. Dieses kann sinnbildlich für die Aufgabenstellung stehen, denn davon ist die Art und die Komple- xität des Modells abhängig, sowie auch der Erfolg der Modellierung. Der Modellierungs- kreislauf (siehe Anhang 1), welcher folgend betrachtet wird, beruht auf den Ideen von Prof. Dr. Werner Blum, welcher seit 1975 Professor für Mathematik-Didaktik an der Universität Kassel ist und umfasst sieben Schritte. Im ersten Schritt „Konstruieren und Verstehen" ist es zuerst notwendig die Aufgabe zu lesen und zu verstehen, was für ein reales Problem dahintersteckt. Daraufhin müssen alle notwendigen Informationen festgehalten werden, woraufhin auch überprüft wird, ob alle notwendigen Informationen gegeben sind oder nötige Annahmen getroffen werden müssen, wodurch ein Situationsmodell entsteht. Der darauf- folgende Schritt „Vereinfachen und Strukturieren" soll das entstandene Situationsmodell optimieren, indem die notwendigen Informationen herausgearbeitet werden und unwesent- liche Informationen außer Acht gelassen werden. Dadurch wird das Situationsmodell prä- ziser und stellt eine mögliche ideale Umsetzung der Realsituation dar. In diesem Schritt kann es jedoch auch dazu kommen, dass noch fehlende Annahmen getroffen werden 4 Vgl. Kaiser, 2015, S. 12ff 5 Vgl. Leiß & Blum, 2010, S.41 6 Vgl. Besser, Hagena, & Leiss, 2015, S.50 3 2 Mathematisches Modellieren müssen, um das Problem mathematisch zugänglich zu machen. Durch diese Prozesse er- hält das Situationsmodell nun eine gewisse Struktur und wird als ein vereinfachtes Real- modell dargestellt, aus welchem ersichtlich wird, welche mathematischen Prozesse für die Bearbeitung notwendig sind. Als nächstes erfolgt die Übersetzung der Realität in die Ma- thematik, indem im dritten Schritt ,,Mathematisieren" das Realmodell in ein mathematisches Modell überführt wird, welches die Schlüsselrolle im Prozess der Übersetzung darstellt. Hierbei erfolgt eine angemessene mathematische Notation, wobei relevante Daten der Re- alität in mathematische Begriffe umgewandelt werden, damit mathematische Werkzeuge Anwendung finden. Dahingehend ist es von Vorteil, wenn das gegebene Problem noch ein- mal grafisch dargestellt wird, beispielsweise mithilfe einer Skizze, um eine präzisere Dar- stellung zu erlangen. Dadurch dass das reale Problem in ein innermathematisches Problem überführt wurde, kommt es im vierten Schritt ,,Mathematisch arbeiten" zur Anwendung von mathematischen Verfahren, indem die Aufgabe berechnet und einer Lösung zugeführt wird. Nachdem nun ein mathematisches Resultat gefunden wurde, muss dieses im fünften Schritt „Interpretieren" zurück in die Realität überführt werden und auf das reale Modell bezogen werden, dabei könnte die entstandene Lösung verallgemeinert werden. Im sechsten Schritt „Validieren“ erfolgt einer der wichtigsten Aufgaben der Modellierung. Nämlich sollte die Lö- sung kritisch kontrolliert und für die Situation reflektiert werden, was bedeutet, dass das mathematische Resultat auf seine Korrektheit überprüft wird. Dabei könnte das Resultat mithilfe eines Experimentes und dessen Messergebnissen kontrolliert werden und infrage gestellt werden. In diesem Schritt wird auch deutlich, dass der Modellierungsprozess kei- neswegs immer linear abläuft, denn wenn festgestellt wird, dass die Lösung inkorrekt ist, müssen abgeschlossene Schritte des Kreislaufes wiederholt oder verbessert werden. Bei- spielsweise erfolgt erneutes Rechnen im fünften Schritt, oder gar die Erstellung eines kom- plett neuen Modells. Wenn jedoch alles übereinstimmt, erfolgt der siebente und letzte Punkt ,,Darlegen". Hierbei wird das Ergebnis festgehalten und dokumentiert sowie möglicherweise präsentiert. Neben dem nicht immer linear verlaufenden Prozessen der mathematischen Modellierung, sollte von Lehrenden und Lernenden auch noch ein zweiter Aspekt beachtet werden. Denn bei den meisten Aufgaben aus dem Bereich der Modellierung kann es zu multiplen Lösungen kommen, was bedeutet, dass zu einem Problem oft mehrere Lösungen zulässig sind. Die unterschiedlichen Lösungen entstehen dadurch, dass der Prozess der Bearbeitung einer Modellierungsaufgabe meist im zweiten und/oder im vierten Teilschritt des Modellierungskreislaufes variiert werden kann. Beim Vereinfachen und Strukturieren des Situationsmodells, können diesbezüglich verschiedene Annahmen getroffen werden, die verschiedene Arten von Modellen zu Folge haben, welche die Lösungen verändern kön- nen. Die Unterschiede im vierten Arbeitsschritt sind dahingehend nochmal größer, denn dort kann zwischen fünf verschiedenen innermathematischen Lösungswegen unterschie- den werden. Der erste Lösungsweg wäre eine algebraische oder funktionale Arbeitsweise in der beispielsweise lineare Gleichungssysteme mit zwei oder mehreren Variablen ver- wendet werden. Eine zweite Möglichkeit wäre eine grafische Lösung, indem das Problem in einem geeigneten Koordinatensystem dargestellt wird und nunmehr abgelesen werden kann. Ein ähnlicher, aber dafür exakter Lösungsweg wäre der nunmehr numerische 7 Vgl. Strater & Dautfest, 2011 4 2 Mathematisches Modellieren Lösungsweg, in welchem die Lösung aus einer Wertetabelle exakt abgelesen wird. Eine vierte Möglichkeit stellt die inhaltliche Bearbeitung der Aufgabe dar, in denen die exakten realitätsgetreuen Bezeichnungen für die Lösung verwendet werden. Der fünfte und letzte Weg wäre die Findung einer Lösung durch Verwendung einzelner Werte, welcher als exemplarischer Lösungsweg betitelt wird. Die Wahl des Lösungsweges hat dabei auch ei- nen intensiven Einfluss auf den Erfolg der Lösung. Nachdem nun ausführlich in diesem Punkt Modelle und Modellierungen erklärt und der Mo- dellierungskreislauf dargestellt wurde, kann im nächsten Abschnitt, 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens, mithilfe von Anwendungsbeispielen und anderen Aspekten gezeigt werden, wieso SchülerInnen das Modellieren erlernen sollten, welche Vorteile sie dadurch erlangen und welche Ziele eigentlich hinter dem Modellieren stecken. 2.2 Notwendigkeit und Ziele des Modellierens Das oberste Ziel einer mathematischen Modellierung ist es, am Ende ein Problem der Wirk- lichkeit mithilfe von mathematischen Verfahren zu lösen. Die Verwendung von realitätsna- hen Aufgaben im Unterricht soll jedoch nicht nur reale Probleme lösen, sondern auch die SchülerInnen dazu bewegen sich intensiv mit der Mathematik auseinander zu setzen.⁹ Realitätsbezogene oder auch anwendungsorientierte Aufgaben im Mathematikunterricht er- möglichen SchülerInnen viele weitere Kompetenzen für das spätere Leben zu erlernen. Denn der anwendungsbezogene Mathematikunterricht bringt Lernenden mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten bei, die dazu beitragen, außermathematische Kompetenzen zu erlangen, welche in der beruflichen Zukunft oder auch im privaten Leben der SchülerIn- nen notwendig sind und verstanden werden müssen. Ferner ist es dabei notwendig die Aufgaben so zu formulieren, dass allgemeine oder auch formale Kenntnisse und Stellungen gefördert werden, damit generelle Strategien entwickelt werden können, die helfen mit re- alen Problemstellungen umzugehen und die Offenheit gegenüber solchen Situationen för- dert. Denn niemand kann voraussehen welche Probleme, SchülerInnen im späteren Leben bewältigen müssen. Entgegengesetzt zu diesen Zielen besitzen mathematische Modellie- rungen auch den Zweck SchülerInnen zu motivieren und sich aktiv mit Problemen der Wirk- lichkeit auseinander zu setzen, indem mathematische Themen durch den Bezug auf die Realität veranschaulicht werden. Das kann Lernenden die Mathematik verständlicher rüber- bringen und ihr einen Sinn geben, wodurch erlernte mathematische Inhalte länger im Ge- dächtnis gespeichert werden. Jugendliche werden durch Modellierungsaufgaben auch auf einer sozialen Ebene gefördert und werden zu reifen Bürgern erzogen. Sie erlernen dabei durch die Validierung und Beurteilung ihrer Ergebnisse, sich kritisch mit unabhängigen Si- tuationen auseinander zu setzen und diese kritisch zu hinterfragen, wobei sie aber auch erkennen, wo Mathematik in ihrem Alltag Anwendung findet. Würden anwendungsbezo- gene Aufgaben im Mathematikunterricht keine Beachtung finden, erlangen SchülerInnen darüber hinaus ein unrechtes der Mathematik, zum einen von der aktuellen Wi sen- schaft der Mathematik aber auch von ihrer Rolle in der derzeitigen Welt und den 8 Vgl. Achmeti, Krug, & Schukajlow, 2015, S. 25ff 9 Vgl. Blum, 2007, S.2 5 2 Mathematisches Modellieren geschichtlichen Hintergründen. Somit entsteht durch eine abwechslungsreiche Gestaltung des Mathematikunterrichts, indem anwendungsorientierte und formale Aufgaben verwendet werden, ein umfangreiches und ausgewogenes Bild der Mathematik. 10 Im letzten Unterpunkt 2.1 Definition und Modellierungskreislauf nach Blum wurde abschlie- Bend festgehalten, dass beim mathematischen Modellieren durch Variationen des Lö- sungsweges multiple Lösungen entstehen, diese haben dahingehend einige Vorteile, wes- halb sie die Eigenschaften von Modellierungen im Mathematikunterricht unterstützen, ins- besondere im lernpsychologischen Bereich. Denn sie können die Problemlösefähigkeit von Personen erhöhen, da die Gelegenheit geschaffen wird, unterschiedliche Lösungsmöglich- keiten zu vergleichen und einen logischen und einfachsten Lösungsweg zu finden. Jedoch reicht die alleinige Anwesenheit von multiplen Lösungen im Unterricht nicht aus, sondern muss auch sinnvoll eingebracht werden, damit kognitive Fähigkeiten der SchülerInnen ak- tiviert werden. Dabei erwerben die Jugendlichen neues und tiefergreifendes Wissen zum Überprüfen eigener Lösungswege, wodurch übergeordnete Bildungsziele erreicht wer- den.11 Modellierungsaufgaben tragen stark zur Weiterentwicklung des Individuums bei, da der Mo- dellierungsprozess oft Anwendung im alltäglichen Leben findet, wenn auch nur unterbe- wusst. Ein Beispiel dafür wäre zum einen das Tischdecken, wie auch schon in der Einlei- tung erwähnt. Denn hier laufen ähnliche Prozesse wie beim Modellieren ab, wodurch Kinder schon früh erste Fähigkeiten für das Modellieren entwickeln. So müssen im ersten Schritt des Tischdeckens Überlegungen vorgenommen werden, wodurch wichtige Informationen für das Modell gesammelt werden. Dabei wird beispielsweise geklärt welches Geschirr be- nötigt wird oder auch wie viele Personen am Essen beteiligt sind. Daraufhin entsteht ein Modell des gedeckten Tisches im Gehirn, welches durch den Prozess des Tischdeckens umgesetzt und einer Lösung zugeführt wird. Im abschließenden Schritt werden die Ergeb- nisse validiert und überprüft, indem kontrolliert wird, ob für alle Personen gedeckt ist.¹² Ähn- liches kann auch beim Einkaufen betrachtet werden. Zuerst werden Überlegungen vorge- nommen, wie beispielsweise welche Lebensmittel benötigt werden und wie viel Geld dafür zu Verfügung steht. Durch die Beantwortung dieser Fragen entsteht ein gewisses Modell im Kopf, was gekauft werden muss und was nicht. Die Umsetzung findet folglich im Super- markt statt, in dem Preise vergleichen und überschlagen werden. Die Validierung erfolgt am Ende durch den Verkäufer an der Kasse, indem festgestellt wird, ob das Geld reicht oder nicht, womit der Modellierungsprozess abgeschlossen ist. Neben diesen wirklichen Alltagssituationen wird deutlich, dass Mathematik und insbesondere die Modellierung in be- sonderen Zeiten wie der Coronapandemie sehr wichtig sind. Denn mithilfe mathematischer Modellierungen können in der Epidemiologie quantitative Vorhersagen zur Pandemie ge- geben werden. Dabei bildet die Reproduktionszahl die wichtigste Kenngröße in der Ent- wicklung einer Pandemie. Denn diese Zahl veranschaulicht, ob die Anzahl der infizierten Personen exponentiell zunimmt oder sinkt. Dabei sind drei Größen von höchster Bedeu- tung: Die Anzahl an Tagen, an denen Personen erkrankt sind, die Anzahl der Kontakte mit 10 Vgl. Kaiser, 2015, S.4ff 11 Vgl. Achmeti, Krug, & Schukajlow, 2015, S.27 12 Vgl. Selter, kein Datum 6 2 Mathematisches Modellieren infektiösen Personen und die Wahrscheinlichkeit, dass eine gesunde Person auf eine infi- zierte Person trifft. 13 Diese drei Anwendungsbeispiele wie auch die möglichen Fähigkeiten, welche SchülerInnen durch das Erwerben der Kompetenz mathematisches Modellieren erlernen, verdeutlichen, dass ein Leben ohne Modellierungen kaum möglich wäre. Obwohl Modellierungen ständig Teil des Alltages sind, gibt es einige Probleme insbesondere beim Erlernen und Unterrich- ten des mathematischen Modellierens, welches diese sind, soll nun im abschließenden Punkt des Kapitels betrachtet werden und möglichen Lösungen zugeführt werden. 2.3 Probleme und Lösungsmöglichkeiten Für viele Menschen stellt der Mathematikunterricht ein großes Problem im Schulalltag dar. Insbesondere anwendungsbezogene und realitätsnahe Aufgaben bilden ein grundlegendes Problem für viele SchülerInnen, denn sie verlangen eine Verknüpfung unterschiedlicher grundlegender Kenntnisse der Mathematik, welche oft nicht ausreichend gefestigt sind. Es gibt jedoch noch weitere Probleme, die bei solchen Aufgaben auftreten können.¹4 Ein Aspekt dahingehend könnte der große kognitive Anspruch bei Modellierungsaufgaben sein, insbesondere weil von Lehrpersonen und SchülerInnen neben mathematischen Kom- petenzen auch außermathematische Kenntnisse verlangt werden. Aber auch durch den Prozess des siebenschrittigen Modellierungskreislaufes (siehe 2.1 Definition und Modellie- rungskreislauf nach Blum) wird das Modellieren nicht einfacher. Das grundlegende Problem liegt dabei in den ersten beiden Schritten des Kreislaufes, das selbständige Konstruieren eines geeigneten Situationsmodells und das Ableiten eines resultierenden mathematisier- baren Realmodells. Denn die in der Schulmathematik auftretenden Textaufgaben benöti- gen meist nur vier Schritte. Wobei die Aufgabe zuerst durchgelesen wird, daraufhin in eine berechenbare Aufgabe überführt wird, ausgerechnet und die Lösung abschließend in einem Antwortsatz präsentiert wird. Das verdeutlicht, dass der Vorgang des Modellierens und ins- besondere der ersten beiden Schritte anspruchsvoll ist, da die Modellierungsaktivitäten in klassischen Textaufgaben des Unterrichts eher gering sind. Deshalb kann davon ausge- gangen werden, dass ein erstes Problem darin besteht, ein geeignetes Situationsmodell zu finden. Denn anstatt ein angemessenes Situationsmodell zu erstellen, gehen SchülerInnen oft anderen Strategien nach, welche im Unterricht trotzdem funktionieren können. Jedoch kann auch bei jedem beliebigen weiteren Schritt im Modellierungskreislauf festgehalten werden, dass es Probleme gibt, denn die Hürde für viele SchülerInnen besteht meistens darin einen eigenen Lösungsansatz zu finden. Aber auch die eigenständige Validierung der Ergebnisse stellt bei Lernenden ein erhebliches Problem dar, weil sie sich meistens einzig und allein darauf verlassen, dass die Lehrkraft die Korrektheit des Resultates überprüft. Es kann aber auch zum Teil daran liegen, dass einigen SchülerInnen ein bewusstes Verständ- nis für geeignete und genaue Ergebnisse fehlt. Wird das Problem der erhöhten Ansprüche solcher Aufgaben außer Acht gelassen, wird deutlich, dass ein weiteres Problem darin be- steht, dass das Unterrichten vom Modellieren auch für Lehrkräfte eine Herausforderung 13 Vgl. Malcherek, 2020 14 Vgl. Julia, 2020; Röll, 2015; Blum, 2007 7 2 Mathematisches Modellieren darstellt, was ein Grund für die fehlende Verwendung anwendungsorientierter Aufgaben ausmacht. Denn durch Modellierungsaufgaben wird der Mathematikunterricht deutlich an- spruchsvoller und eine Vorhersage des Unterrichtsablaufes wird komplizierter, weshalb auch der Unterricht auf unterschiedlichste Szenarien vorbereitet werden muss. Im Unter- richtsablauf ist für Lehrkräfte insbesondere schwer abzuschätzen welche Hilfestellung die SchülerInnen benötigen. Deshalb wird oftmals auf inhaltliche Hilfen zurückgegriffen, welche nicht immer die optimale Lösung darstellen. Denn die eigentliche Aufgabe eines Lehrers besteht darin, SchülerInnen dabei zu unterstützen, eine eigene Lösung zu finden, was be- deutet, dass sie ihnen Hilfestellungen an die Hand reichen, die dazu beitragen, dass eine eigene Lösung entwickelt werden kann. Daher ist oftmals eine strategische Hilfe ange- brachter, um eine angemessene Balance zwischen der selbständigen Bearbeitung einer Aufgabe und der Lehreranleitung zu erlangen. Trotzdem ist eine hohe professionelle Kom- petenz der Lehrkraft, insbesondere im Bereich des fachdidaktischen Wissens, unabding- lich, damit gute Lernfortschritte bei Lernenden erreicht werden können.15 Nach diesen Aspekten scheint Modellierung fast zu schwer für den Schulalltag zu sein, jedoch ist dies nicht der Fall. Modellieren ist zwar anspruchsvoll, jedoch nicht zu schwer für SchülerInnen, es braucht lediglich Zeit und muss entschieden im Unterricht eingebracht werden. Eine Lösung dafür ist die richtige Gestaltung des Unterrichtes. Nach Werner Blum und Morgan Niss gibt es dahingehend sechs verschiedene Möglichkeiten, um mathemati- sches Modellieren richtig in den Unterricht zu implementieren. Eine erste Möglichkeit be- steht darin Modellieren in einem speziellen Kurs neben dem eigentlichen Mathematikunter- richt zu unterrichten, um das Modellieren abgesondert von anderen Themen zu betrachten. Eine andere Möglichkeit ist jedoch, den Unterricht in zwei Bereiche einzuteilen. Zum einen der reine Mathematikunterricht, in welchem notwendige Verfahren und Techniken unter- richtet werden und zum anderen der Teil, in welchem das erlangte Wissen seine Anwen- dung in Modellierungen findet. Eine ähnliche Variante wäre auch, den eigentlichen Lehrplan mit seinen notwendigen Themen in verschiedene Teile einzugrenzen und in diesen Berei- chen, wie in der Variante zuvor, das Thema nochmals in die reine Vermittlung des Wissens und den Anwendungen zu unterteilen. Als vierte Variante ist es möglich, Modellierungen immer mal wieder in den Unterricht einzubauen, um neue Themen einzuführen oder schon erlangtes Wissen zu festigen. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die realen Probleme in den Mittelpunkt des Unterrichts zu stellen und passende mathematische Verfahren da- hingehend zu finden oder zu erlernen. Eine sechste Möglichkeit, ähnelt der letzten sehr, da die Ansätze in beiden Varianten gleich sind, jedoch hier der Unterricht durch eine gesamte Einbindung mathematischer und außermathematischer Probleme entsteht.16 Trotzdem sollte der Mathematikunterricht beim Unterrichten vom Modellieren den folgenden Quali- tätsmerkmalen entsprechen. Denn ein Unterricht sollte stets schülerorientiert und effektiv sein, jedoch auch fachlich korrekt bleiben und dabei die SchülerInnen kognitiv aktivieren. Dabei ist eine strategische Verfahrensweise angebracht.¹7 15 Vgl. Blum, 2007, S.3ff 16 Vgl. Kaiser, 2015, S.10 17 Vgl. Blum, 2007, S.7 8 2 Mathematisches Modellieren Jedoch sollten noch weitere Punkte in der Gestaltung des Unterrichts beachtet werden, damit die Probleme von Lernenden möglichst geringgehalten werden können. Dazu zählt neben der kognitiven Aktivierung der SchülerInnen auch die metakognitive Aktivierung, in- dem sie sich mit eigenen Gedanken, Einstellungen und Meinungen auseinandersetzen. Die angewandten Modellierungsaufgaben sollten jedoch nicht nur vielfältig, sondern auch gut sein. Gut kann in dieser Hinsicht wie folgt verstanden werden: Das Problem, welches be- handelt wird, ist verständlich, aktuell und wirklich hinsichtlich des außermathematischen Rahmens aber gleichzeitig innermathematisch berechenbar. Wichtig dabei ist, dass die Auf- gaben mit den Rahmenlehrplänen kooperativ sind und sogar eine bedeutende und tragende Funktion entwickeln. Zwar ist es wichtig eine Vielzahl von Beispielen zu verwenden, jedoch sollte die Anwendung auch begründet sein und die Wirklichkeit nicht verfälschen. Ein wei- terer wichtiger Aspekt ist jedoch auch, dass eine Lehrkraft nicht auf genau eine Lösung plädiert, sondern die unterschiedlichen und eigenständigen Lösungen der SchülerInnen vo- ranbringt, dabei aber selbst diese Aufgaben in unterschiedlichsten Varianten lösen kann. Modellieren besteht, wie schon oft erwähnt, aus unterschiedlichen Teilschritten, weshalb auch unterschiedliche Teilkompetenzen benötigt werden. Dabei muss sich auf die einzel- nen Teilkompetenzen genauso konzentriert werden wie auch auf den gesamten Modellie- rungsprozess. Neben der Entwicklung einzelner Kompetenzen sollen SchülerInnen durch das Unterrichten von anwendungsorientierten Aufgaben eine angenehme Einstellung ge- genüber solchen Problemen erlangen. Damit SchülerInnen das Modellieren nochmal einfa- cher vermittelt werden kann, sollte auch aktuelle Technik als hilfreiches Utensil verwendet werden. Abschließend ist wichtig, dass die Bewertung solcher Aufgaben die Ziele von Mo- dellierungen wiedergibt.18 Alle Lösungsmöglichkeiten bezogen sich nunmehr auf die Gestaltung des Mathematikun- terrichtes, jedoch sollte auch eine Veränderung am Modellierungskreislauf vorgenommen werden, denn der siebenschrittige Modellierungskreislauf nach Blum ist für viele SchülerIn- nen zu präzise, weshalb dieser in eine vierschrittige Variante überführt werden sollte. Hier- bei muss zuerst die Aufgabe verstanden werden, dann ein mathematisches Modell konstru- iert werden und einer Lösung zugeführt werden. Worauf abschließend das Ergebnis der SchülerInnen dargelegt und erklärt wird. Am wichtigsten ist jedoch, dass mathematische Modellierung in einem langfristigen Prozess unterrichtet wird, denn von jetzt auf gleich kön- nen SchülerInnen modellieren nicht lernen. Deshalb sollte dieses Thema schon ab der Grundschule ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts sein, da viele Übungs- und Festigungsphasen notwendig sind, wobei viele verschiedene Arten von Aufgaben in unterschiedlichsten Zusammenhängen verwendet werden sollten, welche nach und nach höhere Anforderungen erwarten. Demzufolge wird ersichtlich, dass es Probleme insbeson- dere beim Unterrichten von mathematischer Modellierung gibt, welche jedoch auf unter- schiedlichster Art und Weise gelöst werden können. 1⁹ Im folgenden Kapitel „Der Abkühlungsprozess von Wasser" sollen nun die gesammelten theoretischen Fakten in einem Anwendungsbeispiel dargestellt werden. 18 Vgl. Kaiser, 2015, S.19f; Achmeti, Krug, & Schukajlow, 2015, S.32 19 Vgl. Blum, 2007, S.7 9 3 Der Abkühlungsprozess von Wasser 3 Der Abkühlungsprozess von Wasser Um einen typischen Prozess der Modellierung zu veranschaulichen wird folgendes Problem betrachtet: Es ist Sonntagmorgen und es wird festgestellt, dass der Boiler für die Warm- wasserversorgung defekt ist. Jedoch ist lauwarmes Wasser unabdinglich (ungefähr 35 °C), um einen perfekten Hefekuchen zu backen. Daraufhin wird beschlossen 400ml Wasser mit- hilfe eines Wasserkochers zu erhitzen und dieses dann abkühlen zu lassen. Dieser Abküh- lungsprozess des Wassers soll nun mithilfe einer geeigneten Funktion dargestellt werden. Dafür ist es notwendig den im zurückliegenden Kapitel vorgestellten Modellierungskreislauf nach Blum zu verwenden. Im ersten Schritt wird der Sachverhalt reflektiert und nachvollzogen. In der zugrunde lie- genden Aufgabe soll also der Vorgang des Abkühlens von gekochtem Wasser mithilfe einer geeigneten Funktion modelliert werden. Die wichtigste Information aus dem Text ist, dass das Wasser auf eine Temperatur von 35 °C abkühlen soll. Jedoch fällt auf, dass diese In- formation nicht ausreicht, um eine geeignete Funktion zu konstruieren, weshalb es notwen- dig ist, die fehlenden Werte anhand eines Experimentes zu beschaffen. Für dieses Experi- ment ist eine weitere Information aus der Aufgabenstellung notwendig, nämlich die Liter- zahl des Wassers von 400ml. Indem mithilfe eines Thermometers, einem Wasserkocher, einem Behälter in welchem die erhitzten 400ml Wasser aufbewahrt werden und einer Stoppuhr, wie Beispielsweise das Smartphone, das Experiment durchgeführt wird, erfolgt der zweite Schritt des Modellierungskreislaufes. Denn durch das Experimentieren werden fehlende Informationen für die Konstruktion einer Funktion beschafft. Gesammelt werden die Ergebnisse, indem nach jeder Minute die Temperatur des Wassers abgelesen wird und in einer Wertetabelle dokumentiert wird (siehe Anhang 2). Im dritten Schritt werden anhand erfasster Messdaten mathematische Zusammenhänge gebildet. So können die erfassten Werte in ein Koordinatensystem übertragen werden (siehe Anhang 3). Dabei bildet die fest- gelegte Zeit die Definitionsmenge der gesuchten Funktion f, d. h. die Werte der x-Achse. Womit die gemessenen Temperaturen den Wertebereich der gesuchten Funktion f darstel- len, dementsprechend die Funktionswerte. Würden die einzelnen Punkte miteinander ver- bunden werden, fällt auf, dass der Prozess der Abkühlung keineswegs linear verläuft, son- dern durch eine Kurve dargestellt wird. Dabei ist jedoch auffällig, dass einige Punkte im Koordinatensystem vom eigentlichen Verlauf der möglichen Kurve abweichen. Diese kön- nen beispielsweise durch Messfehler entstehen oder auch durch bestimmte Umstände der Realität. Die Auseinandersetzung mit möglichen Fehlerquellen erfolgt jedoch erst im sechs- ten Schritt des Modellierungskreislaufes. In der Sekundarstufe II oder auch im Studium kann die mögliche Kurve nochmals genauer betrachtet und präzisiert werden. Dabei sollte ersichtlich werden, dass die Steigung in den einzelnen Punkten unterschiedlich ist. Insbe- sondere wird jedoch deutlich, dass die Steigung in den Punkten gegen null geht, je größer die Werte des Definitionsbereiches werden. Daraus folgt, dass die Funktion scheinbar asymptotisch gegen einen bestimmten Punkt verläuft. Damit jedoch eine Funktion mit einer dazugehörigen Funktionsvorschrift gebildet werden kann, muss berücksichtigt werden, dass es einige Messwerte gibt, welche abweichen. Deshalb kann eine Funktionsvorschrift nur durch Regression entstehen, womit der vierte Schritt des Modellierungskreislaufes 10 3 Der Abkühlungsprozess von Wasser beginnt. Bei der Regression kann auf moderne Technik und hilfreiche Programme zurück- gegriffen werden. Dadurch wird für SchülerInnen aber auch für die Lehrperson der Vorgang der Regression vereinfacht und beschleunigt. Ein mögliches Programm dafür wäre bei- spielsweise Geogebra. Dieses Programm wurde auch verwendet, um diese Beispielmodel- lierung zum Abkühlungsprozess von Wasser durchzuführen. Dabei muss zuerst entschie- den werden, um welche Art von Regression es sich handelt. Werden die Punkte im Koordi- natensystem betrachtet, wird ersichtlich, dass es sich in diesem Fall um eine logistische Regression handelt. Mittels dieser Regression entsteht ein Graph (siehe Anhang 4) mit fol- gender Funktionsvorschrift: f(x): = f(x)in °C; x in Sek; x = R; x ≥0 16,41 1-0,82e-0,01x 16,41 1-0,82e-0,01x Nachdem die Funktionsvorschrift aufgestellt ist, erfolgt der fünfte Schritt des Modellierungs- kreislaufes, indem das Ergebnis interpretiert wird. Somit stellt die Funktions schrift f(x) = den Graphen des Abkühlungsprozesses von Wasser dar, in welchem die geforderte Temperatur von 35 °C nach ungefähr 78,7 Minuten erreicht wird. Trotzdem sollte dieses Ergebnis im sechsten Schritt nochmals überprüft und validiert werden, um herauszufinden, ob das Modell wirklich realitätsnah ist. Indem im zweiten Schritt ein Expe- riment durchgeführt wurde, um fehlende Informationen zu beschaffen, kann zuerst festge- halten werden, dass dieses Modell für den speziellen Fall des Experimentes übereinstimmt. Auch ist sicher festzuhalten, dass es sich wirklich um eine Funktion in diesem Fall handelt, da jeder Definitionsmenge genau ein Funktionswert zugeordnet werden kann. Jedoch musste eine Regression durchgeführt werden, weshalb die Funktionsvorschrift keine voll- ständig exakte Voraussage geben kann. Aber sollte nun auch überprüft werden, ob es sich um die richtige Art der Regression handelt, oder ob eine andere Art präzisere Ergebnisse liefert. In diesem Fall wäre die logistische Regression in der Tat die beste Wahl. Jedoch muss beachtet werden, dass der Abkühlungsprozess von seiner Umgebung abhängig ist. Denn das Wasser nimmt zu kleinen Teilen die Temperatur der Umgebung an, weshalb in einem kälteren Raum, der Abkühlungsprozess von Wasser schneller vollzogen wird. Aber auch der Behälter für das Wasser spielt eine wichtige Rolle wie lange der Abkühlungspro- zess dauert. Denn beispielsweise kühlt gekochtes Wasser in einem Thermobehälter, wel- cher die Wärme speichert, langsamer ab. Das im zweiten Schritt durchgeführte Experiment erfolgte in einem Raum mit der Temperatur von 21 °C und in einer Tasse aus Keramik. Insgesamt kann deshalb festgehalten werden, dass die entstandene Funktionsvorschrift, bei normalen Bedingungen, der Realität sehr nahekommt. Damit ist auch der sechste Schritt des Modellierungskreislaufes abgeschlossen, sodass abschließend im siebenten Schritt die entstandene Funktionsvorschrift von f als Ergebnis dokumentiert und präsentiert werden kann, mit der Schlussfolgerung, dass die Funktionsvorschrift anhand normaler Um- stände entstanden ist. Diese Modellierung erfordert viel Zeit, weshalb die Umsetzung im reinen Mathematikunter- richt eher abzuraten ist, jedoch eine gute Möglichkeit für ein Projekt in einem extra Kurs bildet. Modellierungsaufgaben für den reinen Mathematikunterricht wären beispielsweise Extremwertaufgaben für den Bereich der quadratischen Funktionen. Diese können anhand des vierschrittigen Modellierungskreislaufes einer Lösung zugeführt werden. Dahingehend ist eine Beispielaufgabe mit Musterlösung im Anhang 5 zu finden. 11 4 Zusammenfassung 4 Zusammenfassung Um die Arbeit abzurunden wurde im letzten Kapitel das Lösungsverfahren von Modellie- rungsaufgaben anhand eines Beispiels dargestellt. Dabei erfolgte die mathematische Mo- dellierung, also die Übersetzung der Realität in die Mathematik, durch die Anwendung des Modellierungskreislaufes nach Blum. Zum einen wird die Komplexität solcher Aufgaben- stellungen ersichtlich aber auch die Probleme, welche bei der Bearbeitung und beim Unter- richten von Modellierungsaufgaben auftreten können. Denn hinsichtlich multipler Ergeb- nisse und Lösungswege, ist die Bearbeitung für SchülerInnen anspruchsvoll, wie auch die Überprüfung der Ergebnisse für die Lehrperson. Somit ist festzuhalten, dass mathematische Modellierung mühsam ist, aber trotzdem eine große Bedeutung besitzt, denn die Kompetenz der mathematischen Modellierung verein- facht den Umgang mit unterschiedlichsten Situationen und Problemen des Alltags. Insbe- sondere hinsichtlich der anfänglichen Fragestellung, wo mathematische Modellierung ihre Anwendung findet. Dort wird deutlich, worin die Notwendigkeit von Modellierungen steckt. Denn Modellierung besitzt einen starken Bezug zum Alltag. Denn der Prozess der mathe- matischen Modellierung wird in vielen unterschiedlichen Bereichen des alltäglichen Lebens angewandt, wie in alltäglichen Situationen (Tischdecken, Einkaufen ...) oder auch bezüg- lich der Erfassung und Entwicklung von Erkrankungen bei Epidemien oder Pandemien. Im Hinblick darauf, dass Modellierungsaufgaben so realitätsnah sind, müssen auftretende Probleme beim Bearbeiten und Unterrichten des Modellierens überwunden werden, indem die Wissenschaft und insbesondere die Mathematikdidaktik hinsichtlich solcher Probleme weitere Forschungen durchführt, damit Lösungen gefunden werden können. Dahingehend sollte das Modellieren stärker in den Mittelpunkt gerückt werden, zum einen im Bereich des Studiums aber auch im Bereich der Schulmathematik. Es muss sich intensiv mit der Frage auseinandergesetzt werden, wie eine realitätsnahe und gleichzeitig berechenbare Aufgabe erstellt werden kann, da die Aufgabenstellung die Grundlage bildet, eine authentische und gute Modellierung durchzuführen. Deshalb sollten angehende Lehrkräfte angehalten wer- den, gute und realitätsnahe Aufgaben zu erstellen und in den Unterricht zu implementieren. Das reicht jedoch nicht aus, um diese Probleme zu beheben, vielmehr müssen Lehrmittel überarbeitet werden. In heutigen Zeiten ist es nämlich nicht mehr tragbar, dass anwen- dungsorientierte Aufgaben in Lehrbüchern, zum größten Teil auf Grundlage von realitäts- fernen Situationen aufgebaut werden, wie klassische Textaufgaben in denen Personen bei- spielsweise fünfzig Melonen in einem Moment kaufen. Denn erst wenn, die anwendungs- orientierten Modellierungsaufgaben richtig angepasst werden, kann im Unterricht auf die Modellierung intensiver zurückgegriffen werden, damit durch stetiges Üben die Kompetenz der mathematischen Modellierung verbessert werden kann. Denn auch dann wird deutlich, in wie vielen Bereichen des Lebens die Mathematik und insbesondere die mathematische Modellierung einen bedeutenden Platz einnimmt. 12 Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis Achmeti, K., Krug, A., & Schukajlow, S. (2015). Multiple Lösungsmöglichkeiten und ihre Nutzung mathematischen Modellierens. (G. Kaiser, & H.-W. Henn, Hrsg.) Wiesbaden: Springer Sepktrum. Besser, M., Hagena, M., & Leiss, D. (2015). Lehrerlösungsprozesse beim mathematischen Modellieren. (G. Kaiser, & H.-W. Henn, Hrsg.) Wiesbaden: Springer Spektrum. Blum, W. (9. März 2007). Mathematisches Modellieren - zu schwer für Schüler und Lehrer? 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Anhang 3: Messwerte im Koordinatensystem Anhang 4: Regressionskurve. Anhang 5: Extremwertaufgabe.... Anhang V VI VII VII VIII IV Anhang 1: Modellierungskreislauf nach Blum (Quelle: Kehr, 2014) Modellierungskreislauf nach W. Blum Real- situation Reales Modell/ Problero 2/ 1 Rest der Welt M 6 Reale Resultate Situations- modell B Math. Modell Problem 4 Math. Resultate 1 Konstruieren/ Verstehen 2 Vereinfachen/ Strukturieren 3 Mathematisieren 4 Mathematisch arbeiten 5 Interpretieren 6 Validieren 7 Darlegen Anhang Mathematik V Anhang 2: Messwertetabelle zum Abkühlungsprozess von Wasser (Quelle: Eigene Darstellung) 8 in °C t in min 0 in °C t in min 0 1 2 w N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 89.1 86.4 84.5 83.2 81.3 80.1 78.3 76.3 75.2 73.6 72.1 70.6 69.1 68.2 67.2 66.2 65.2 63.8 62.8 62.2 61.1 60.2 59.7 58.6 57.5 56.8 56.1 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 55.3 54.6 54.0 53.3 52.7 52.0 51.5 51.0 50.3 49.6 49.2 48.6 48.1 47.7 47.2 46.7 46.2 45.8 45.5 45 44.6 44.1 43.8 43.3 43.1 42.6 42.3 t in min 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 7574 73 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 e in min t in min 40.6 40.3 39.8 39.6 39.3 39.0 38.7 38.3 38.1 37.7 37.5 37.2 37.0 36.7 36.2 36.2 36.0 35.7 35.6 35.3 35.1 35.0 34.7 34.5 34.2 34.1 33.8 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Anhang 100 e in min 32.9 32.8 32.7 32.6 32.3 32.2 32.1 31.6 31.6 31.4 31,3 31.2 VI Anhang 3: Messwerte im Koordinatensystem (Quelle: Eigene Dar- stellung) 110- oo 90 80 70- 60 50 40 30 20 10- -10 C 15 Anhang 4: Regressionskurve (Quelle: Eigene Darstellung) 10 20 20 25 30 30 40 50 45 60 50 70 55 80 60 90 70 100 75 110 120 130 150 110 160 115 170 Anhang 180 120 125 130 190 200 210 VII Anhang 5: Extremwertaufgabe (Quelle: Eigene Darstellung) Aufgabenstellung: Lisa hat zum Geburtstag 2 Hasen bekommen. Mit Hilfe eines 75m langen Drahtes möchte ihr Vater den Hasen ein rechteckiges Außengehege bauen. Wie groß kann die Fläche maximal werden? Musterlösung: → Lösung mit Hilfe des vierschrittigen Modellierungskreislaufes 1. Schritt: verstehen Maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen, mittels gegebenen Umfangs 2. Modell erstellen Annahme: maximaler Flächeninhalt dargestellt durch nach unten geöffneter Parabel Scheitelpunkt gibt maximalen Flächeninhalt an O x - Koordinate = länge einer beliebigen Seite y - Koordinate = Flächeninhalt A = x*y A(x) = x * O u = 2x + 2y u-2x 2 = y ux - 2x² A(x) = 2 3. Mathematisch Arbeiten u = 75m A(x) = x² + 37,5x Scheitelpunktform: mit x E R; u ER u-2x) A(x) = y = 75x-2x² 2 A(x) = (x² - 37,5x) A(x) = [(x 18,75)² - 351,5625] A(x) = (x 18,75)² + 351,5625 75-2*18,75 18,75 ⇒ y = 18,75m 350 345 335 330 325 320 Anhang 315 310 Nebenrechnung: (x - 18,75)² = x² - 37,5 + 351,5625 S(18,75 351,5625) x = 18,75m A = 18,75 * 18,75 ⇒ A= 351,5625m² 4. Ergebnis erklären Den maximalen Flächeninhalt von 351,5625 m² erhält das rechteckige Außengehege, wenn die Seiten alle die gleiche Länge von 18,75 m aufweisen, womit dieses Rechteck auch ein Quadrat darstellt VIII Selbstständigkeitserklärung Hiermit versichere ich Mira Wahl, die vorliegende Arbeit mit dem Titel „Mathematisches Modellieren - Die Übersetzung der Realität in die Mathematik" selbstständig und ohne fremde Hilfsmittel angefertigt zu haben. Sämtliche Hilfe, Quellen und Zitate sind in ihrer Herkunft benannt. Waren (Müritz), den 13. April 2021 Mira wal Mira Wahl