Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung

Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.

Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.

Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:

U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]

Hierbei repräsentieren:

• v: Vermehrungsrate
• a, b: Überlebensraten (0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1)

Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:

• a·b·v < 1: Population stirbt aus
• a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
• a·b·v > 1: Population nimmt zu

Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:

B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]

Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.

Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.

Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.