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15.8.2025
Mathe
Zyklische Prozesse
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15. Aug. 2025
•
Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung durch Übergangsmatrizen werden detailliert erklärt, mit... Mehr anzeigen
Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.
Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.
Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:
U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]
Hierbei repräsentieren:
Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:
- a·b·v < 1: Population stirbt aus
- a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
- a·b·v > 1: Population nimmt zu
Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:
B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]
Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.
Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.
Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.
Eine Übergangsmatrix hilft uns, die Entwicklung einer Population über Zeit zu beschreiben. Sie enthält die Überlebens- und Vermehrungsraten verschiedener Stadien einer Population und ermöglicht es, zukünftige Populationsgrößen vorherzusagen. Bei der Populationsentwicklung in der Mathe werden die Veränderungen der Anzahl von Individuen in verschiedenen Stadien (wie Laich, Kaulquappe, Frosch) durch Multiplikation mit dieser Matrix berechnet.
Zyklische Prozesse entstehen, wenn das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate genau 1 ergibt (a·b·v=1). Bei diesen zyklischen Prozessen Matrizen wiederholt sich die Populationsgröße nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten. Man kann dies auch über die Übergangsmatrix erkennen - eine Matrix ist zyklisch, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass die n-te Potenz der Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Der entscheidende Unterschied liegt im Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate. Bei Populationsprozessen stirbt eine Population aus, wenn a·b·v<1 ist, weil dann mit jedem Zyklus weniger Individuen überleben als sich fortpflanzen können. Eine Population wächst hingegen, wenn a·b·v>1 ist. In Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen wird oft verlangt, diesen Wert zu berechnen und daraus die langfristige Entwicklung vorherzusagen.
Ein Verflechtungsdiagramm verwendest du, wenn du die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population visuell darstellen willst. Es zeigt durch Pfeile, wie die Individuen von einem Stadium ins nächste wechseln, mit den entsprechenden Übergangsraten an den Pfeilen. Bei zweistufigen Produktionsprozessen oder mehrstufigen Populationsmodellen hilft dir das Diagramm, die Zusammenhänge besser zu verstehen, bevor du die entsprechende Matrix aufstellst.
Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien von Baum et al., Klett Verlag 2019, Schulbuch, Grundlegende Erklärungen zu Matrizen, zyklischen Prozessen und Populationsentwicklungen mit vielen praxisnahen Aufgaben
Mathematik Neue Wege: Matrizen und Prozesse von Lergenmüller, Schlesinger & Wagener, Schroedel Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ausführliche Erklärungen zu Übergangsmatrizen und zweistufigen Produktionsprozessen mit Lösungen
Fokus Mathematik Gymnasium: Lineare Algebra und Stochastik von Fokus-Mathematik-Autorenteam, Cornelsen 2020, Schulbuch, Behandelt Populationsmatrizen, Fixvektoren und inverse Matrizen mit Übungsaufgaben und Lösungswegen
Formeln und Aufgaben zur Matrizenrechnung von Meyberg & Vachenauer, Springer 2017, Formelsammlung, Kompaktes Nachschlagewerk zu Matrizenrechnung mit Anwendungen in Populationsprozessen und zyklischen Prozessen
Entwirf ein eigenes Übergangsdiagramm für eine Tierpopulation mit drei Entwicklungsstadien. Berechne die Übergangsmatrix und überprüfe, ob die Population langfristig wächst, stabil bleibt oder ausstirbt (a·b·v < 1, = 1 oder > 1).
Modelliere einen zweistufigen Produktionsprozess aus dem Alltag (z.B. Herstellung von Schokolade: Kakao→Rohschokolade→Tafel) mit einer Übergangsmatrix und berechne die Entwicklung über mehrere Perioden.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung durch Übergangsmatrizen werden detailliert erklärt, mit Fokus auf mathematische Modelle und deren Anwendung in der Populationsbiologie.
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Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.
Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.
Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:
U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]
Hierbei repräsentieren:
Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:
- a·b·v < 1: Population stirbt aus
- a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
- a·b·v > 1: Population nimmt zu
Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:
B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]
Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.
Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.
Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.
Eine Übergangsmatrix hilft uns, die Entwicklung einer Population über Zeit zu beschreiben. Sie enthält die Überlebens- und Vermehrungsraten verschiedener Stadien einer Population und ermöglicht es, zukünftige Populationsgrößen vorherzusagen. Bei der Populationsentwicklung in der Mathe werden die Veränderungen der Anzahl von Individuen in verschiedenen Stadien (wie Laich, Kaulquappe, Frosch) durch Multiplikation mit dieser Matrix berechnet.
Zyklische Prozesse entstehen, wenn das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate genau 1 ergibt (a·b·v=1). Bei diesen zyklischen Prozessen Matrizen wiederholt sich die Populationsgröße nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten. Man kann dies auch über die Übergangsmatrix erkennen - eine Matrix ist zyklisch, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass die n-te Potenz der Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Der entscheidende Unterschied liegt im Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate. Bei Populationsprozessen stirbt eine Population aus, wenn a·b·v<1 ist, weil dann mit jedem Zyklus weniger Individuen überleben als sich fortpflanzen können. Eine Population wächst hingegen, wenn a·b·v>1 ist. In Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen wird oft verlangt, diesen Wert zu berechnen und daraus die langfristige Entwicklung vorherzusagen.
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Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien von Baum et al., Klett Verlag 2019, Schulbuch, Grundlegende Erklärungen zu Matrizen, zyklischen Prozessen und Populationsentwicklungen mit vielen praxisnahen Aufgaben
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Fokus Mathematik Gymnasium: Lineare Algebra und Stochastik von Fokus-Mathematik-Autorenteam, Cornelsen 2020, Schulbuch, Behandelt Populationsmatrizen, Fixvektoren und inverse Matrizen mit Übungsaufgaben und Lösungswegen
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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