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24. Jan. 2026
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Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung durch Übergangsmatrizen werden detailliert erklärt, mit... Mehr anzeigen
Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.
Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.
Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:
U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]
Hierbei repräsentieren:
Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:
- a·b·v < 1: Population stirbt aus
- a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
- a·b·v > 1: Population nimmt zu
Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:
B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]
Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.
Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.
Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.
Eine Übergangsmatrix hilft uns, die Entwicklung einer Population über Zeit zu beschreiben. Sie enthält die Überlebens- und Vermehrungsraten verschiedener Stadien einer Population und ermöglicht es, zukünftige Populationsgrößen vorherzusagen. Bei der Populationsentwicklung in der Mathe werden die Veränderungen der Anzahl von Individuen in verschiedenen Stadien (wie Laich, Kaulquappe, Frosch) durch Multiplikation mit dieser Matrix berechnet.
Zyklische Prozesse entstehen, wenn das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate genau 1 ergibt (a·b·v=1). Bei diesen zyklischen Prozessen Matrizen wiederholt sich die Populationsgröße nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten. Man kann dies auch über die Übergangsmatrix erkennen - eine Matrix ist zyklisch, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass die n-te Potenz der Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Der entscheidende Unterschied liegt im Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate. Bei Populationsprozessen stirbt eine Population aus, wenn a·b·v<1 ist, weil dann mit jedem Zyklus weniger Individuen überleben als sich fortpflanzen können. Eine Population wächst hingegen, wenn a·b·v>1 ist. In Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen wird oft verlangt, diesen Wert zu berechnen und daraus die langfristige Entwicklung vorherzusagen.
Ein Verflechtungsdiagramm verwendest du, wenn du die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population visuell darstellen willst. Es zeigt durch Pfeile, wie die Individuen von einem Stadium ins nächste wechseln, mit den entsprechenden Übergangsraten an den Pfeilen. Bei zweistufigen Produktionsprozessen oder mehrstufigen Populationsmodellen hilft dir das Diagramm, die Zusammenhänge besser zu verstehen, bevor du die entsprechende Matrix aufstellst.
Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien von Baum et al., Klett Verlag 2019, Schulbuch, Grundlegende Erklärungen zu Matrizen, zyklischen Prozessen und Populationsentwicklungen mit vielen praxisnahen Aufgaben
Mathematik Neue Wege: Matrizen und Prozesse von Lergenmüller, Schlesinger & Wagener, Schroedel Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ausführliche Erklärungen zu Übergangsmatrizen und zweistufigen Produktionsprozessen mit Lösungen
Fokus Mathematik Gymnasium: Lineare Algebra und Stochastik von Fokus-Mathematik-Autorenteam, Cornelsen 2020, Schulbuch, Behandelt Populationsmatrizen, Fixvektoren und inverse Matrizen mit Übungsaufgaben und Lösungswegen
Formeln und Aufgaben zur Matrizenrechnung von Meyberg & Vachenauer, Springer 2017, Formelsammlung, Kompaktes Nachschlagewerk zu Matrizenrechnung mit Anwendungen in Populationsprozessen und zyklischen Prozessen
Entwirf ein eigenes Übergangsdiagramm für eine Tierpopulation mit drei Entwicklungsstadien. Berechne die Übergangsmatrix und überprüfe, ob die Population langfristig wächst, stabil bleibt oder ausstirbt .
Modelliere einen zweistufigen Produktionsprozess aus dem Alltag (z.B. Herstellung von Schokolade: Kakao→Rohschokolade→Tafel) mit einer Übergangsmatrix und berechne die Entwicklung über mehrere Perioden.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Zyklische Prozesse und Populationsentwicklung durch Übergangsmatrizen werden detailliert erklärt, mit Fokus auf mathematische Modelle und deren Anwendung in der Populationsbiologie.
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Diese Seite behandelt die mathematische Modellierung von Populationsentwicklungen mithilfe von Übergangsmatrizen. Es wird erklärt, wie zyklische Prozesse in der Populationsbiologie durch Matrizen dargestellt werden können.
Definition: Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, die die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population beschreibt.
Die Übergangsmatrix U wird als Beispiel für einen dreistufigen Lebenszyklus (Laich → Kaulquappe → Frosch) dargestellt:
U = [0 0 v; a 0 0; 0 b 0]
Hierbei repräsentieren:
Highlight: Die langfristige Entwicklung der Population hängt vom Produkt a·b·v ab:
- a·b·v < 1: Population stirbt aus
- a·b·v = 1: Zyklische Entwicklung
- a·b·v > 1: Population nimmt zu
Ein konkretes Beispiel wird mit einer 3x3-Matrix B gegeben:
B = [0 0 2; 0.9 0 0; 0 0.5 0]
Example: Nach drei Übergängen (B³) sind nur noch 90% des Startbestandes vorhanden, was langfristig zum Aussterben der Population führt.
Vocabulary: Zyklische Matrix: Eine Matrix A ist zyklisch, wenn es ein n ∈ N gibt, sodass A^n = E (Einheitsmatrix) gilt. Die Zykluslänge entspricht der Anzahl der Stadien n.
Die Seite schließt mit der Erklärung, dass die Werte in der Matrix nicht Prozente, sondern absolute Zahlen darstellen, was für die korrekte Interpretation der Populationsentwicklung wichtig ist.
Eine Übergangsmatrix hilft uns, die Entwicklung einer Population über Zeit zu beschreiben. Sie enthält die Überlebens- und Vermehrungsraten verschiedener Stadien einer Population und ermöglicht es, zukünftige Populationsgrößen vorherzusagen. Bei der Populationsentwicklung in der Mathe werden die Veränderungen der Anzahl von Individuen in verschiedenen Stadien (wie Laich, Kaulquappe, Frosch) durch Multiplikation mit dieser Matrix berechnet.
Zyklische Prozesse entstehen, wenn das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate genau 1 ergibt (a·b·v=1). Bei diesen zyklischen Prozessen Matrizen wiederholt sich die Populationsgröße nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten. Man kann dies auch über die Übergangsmatrix erkennen - eine Matrix ist zyklisch, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass die n-te Potenz der Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Der entscheidende Unterschied liegt im Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate. Bei Populationsprozessen stirbt eine Population aus, wenn a·b·v<1 ist, weil dann mit jedem Zyklus weniger Individuen überleben als sich fortpflanzen können. Eine Population wächst hingegen, wenn a·b·v>1 ist. In Populationsmatrizen Aufgaben mit Lösungen wird oft verlangt, diesen Wert zu berechnen und daraus die langfristige Entwicklung vorherzusagen.
Ein Verflechtungsdiagramm verwendest du, wenn du die Übergänge zwischen verschiedenen Stadien einer Population visuell darstellen willst. Es zeigt durch Pfeile, wie die Individuen von einem Stadium ins nächste wechseln, mit den entsprechenden Übergangsraten an den Pfeilen. Bei zweistufigen Produktionsprozessen oder mehrstufigen Populationsmodellen hilft dir das Diagramm, die Zusammenhänge besser zu verstehen, bevor du die entsprechende Matrix aufstellst.
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Mathematik Neue Wege: Matrizen und Prozesse von Lergenmüller, Schlesinger & Wagener, Schroedel Verlag 2018, Lehrbuch, Enthält ausführliche Erklärungen zu Übergangsmatrizen und zweistufigen Produktionsprozessen mit Lösungen
Fokus Mathematik Gymnasium: Lineare Algebra und Stochastik von Fokus-Mathematik-Autorenteam, Cornelsen 2020, Schulbuch, Behandelt Populationsmatrizen, Fixvektoren und inverse Matrizen mit Übungsaufgaben und Lösungswegen
Formeln und Aufgaben zur Matrizenrechnung von Meyberg & Vachenauer, Springer 2017, Formelsammlung, Kompaktes Nachschlagewerk zu Matrizenrechnung mit Anwendungen in Populationsprozessen und zyklischen Prozessen
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Anna
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David K
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Sudenaz Ocak
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Rohan U
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Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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