Q2 - Schwingungen und Wellen Abitur

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= -3 w². sin (wit) Momentane Beschleunigung Winkelgeschwindigkeit Ableitungen Gedämpfte Schwingung • Realität (vorhandene Reibung) • Dissipation von Energie (Abwärme nicht mehr zu Verfügung) Amplitude nimmt exponentiell ab • Zeitkonstante r= Zeit →→ Amplitude - 37% Dämpfungskonstante / Abklingkoeffizient = = Halbwertszeit t₁/2 T. ln (2) = 0,638. T Wpot (t) = 1/2 D. ² sin² (wit) Win (t) = //m.w². 5². cos² (wit) da v(t) = w. 3 cos (wt), erhält man da D = mw², erhält man: Whin (t) = 4.D. Ŝ² cos² (wit) Wges= D.5² 2TT = 2π f Fadenpendel • Rücktreibende Kraft F zeigt tangential zum Kreisbogen 3 in Richtung der Gleichgewichtslage 4 sin α = • Eine Schwingung ist harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung / Elongation ist Formeln Fadenpendel Rackstellkraft Schwingungsdauer T = 2πT T = 2πT √ √ ² Kleinwinkelnäherung sin x = sh (shes) -> für kleine o kann der Kreisbogenabschnitt durch den horizontalen Streckenabschnitt Sh angenähert werden Je größer I, desto größer T, desto kleiner f Je größer die Fallbeschleunigung g, desto kleiner T, desto größer f Masse und Anfangsouslenkung haben keinen Einfluss auf T UP Pendel = masselos (kürzt sich weg) B v= デニーロ →> FR = m.g. S C V<û D V=O Ev‹ῦ Racktreibende Kraft Damit ein Pendel schwingt, wird eine Kraft benötigt, die das Pendel in Richtung der Gleichgewichtslage beschleunigt. Diese sog. Rücktreibende Kraft wirkt stets zur Ruhelage und ist somit der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Bei einer harmonischen Schwingung ist die Rücktreibende kraft proportional zur Elongation." Feder pendel Horizontal A v=O (D. m.8) Frequenz f = √√ Fr=on Umkehrpunkt Gleichgewichtslage Umkehrpunkt Formeln Federpendel Hook'sches Gesetz ↓ Rücktreibende Kraft & Federkonstante F₁DS = -ma(t) =-mw² ŝ sin (wt) = -m.w³².s →D=mw² FR=-Dy Win =0; Wpot = 1/D² Wain = 1/m₁²; Wpot = 0 Whin > Wpot WRin = 0; Wpot = 1/2D₁² WICHTIG *TR auf Bogenmaßs (bei Schwingungen) Wpot > Win → F₁ = -m.w².s Je größer m, desto größer T, desto kleiner f Je größer D, desto kleiner T, desto größer f Amplitude hat keinen Einfluss auf T Vertikal Schwingungsdauer T= 2π √√ Herleitung von T a (t) = -ý w².sin (wt) ma(t) = -Dy(t) m.ÿ (t) = -D⋅y(t) => ÿ (t) = - 2 = √ FG-Fspann Epot = max Ekin =O B E =0 Eper max Fspann> Fo Frequenz F₂ → T = 2TT E = max FGFspann f= (FR als einzig wirkende Kraft → Beschleunigung mit F=m.a) 2 y(t) w². sin (wt) = w² = 2 a y sin (wt) W=√3 Epot = 0 Ekin=max E=0 E = max Fo> Fapann F₁ =-F₁+Fapann D.Sx Ruhelage w= Definition • Kreis aus Kondensator und Spule in dem elektrische Schwingungen stattfinden können Elektromagnetische Schwingung periodische Umwandlungen von elektrischer und magnetische ukondensator Aufbau • Spule & Kondensator werden zu einern Kreis geschaltet • Kondensator wird über einen Wechselschalter mit einer Gleichspannungsquelle verbunden und somit elektrisch aufgeladen. • Verbindung von Spule & Kondensator durch Umlegen des Schalters Beobachtung • Gedämpfte Schwingung lan Messinstrumenten erkennbar) • Stromstärke maximal bei einer Spannung von ov einer Stromstärke von OA • Spannung maximal bei Energieumwandlungen U = max wel = cû² Ⓒ Fazit ein Magnetfeld erzeugt. Nach dem Schließen des Schalters entlädt sich der Kondensator über die Spule Der ansteigende Spulenstrom induziert ein Magnetfeld, das nach der Lenz'schen Regel seiner Ursache entgegen wirkt und somit den Anstieg des Spulenstroms bremst. Der Spulenstrom ist maximal, wenn der Kondensator vollständig entladen ist. Danach sinkt der Spulenstrom und es wird wieder welches allerdings den Abfall des Stroms bremst. Der Spulenstrom fließt weiter und der Kondensator lädt sich mit umgekehrtem Vorzeichen auf. Die Vorgänge wiederholen sich in umgekehrter Reihenfolge. Q wing = 0 I=O U=O Wel - O I = max Wing= Formeln elektri Lβ Eelak t=0 Emag Thomson'sche Schwingungsgleichung cher schwingkreis Wimng' uke = 1/((-ú) ² u = -max I = 0; wmg U=0 ; Wel = 0 I= max wmg Kapazität des Kondensators C= @= & E Energie Wel = 1/2 cu² = 1/²LI² ^ 2TT √L.C Feldenergie = L(-1) ² -0 oder Eelek tit Emag tr T= 2πT √√L.C Lenz'sche Regel "Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der ursache seiner Entstehung entgegenwirkt." die gleiche) Entstehung (Richtung, wie der Anfangastron Induktionsstrom hemmt die Ursache seiner (fließt noch eine weile Induktivität der Spule Là MoMinz ễ (→> Energieerhaltungssatz) *! Energiediagramme niemals negativ? Definition. Eine Welle ist eine sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit im Raum ausbreitende Störung. Sie ist abhängig von Raum und Zeit. 'P transportiert Energie von einem Ort zum anderen, jede Welle benötigt Medium zum Ausbreiten (außer elektromagn, auch im Valeuum möglich) U räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes infolge von Kopplingseffekten (Energieübertraging, nicht von Materie) как Wellenmaschine periodische Anregung eines Pendels wird zeitversetzt an die darauffolgenden Pendel weitergegeben (Schwingungszustand wandert weiter) •jeder Pendelkörper schwingt mit der Periodendower T Ausbreitung einer Welle • Kürzeste Strecke zwischen zwei Körpern im gleichen Schwingungs- zustand (Phose): Wellenlänge 1 (Lambola) - Perioden länge • Verstrichene Zeit zwischen diesen Phasen: Schwingungsdauer T Phasengeschwindigkeit c c = ² / bzw. Wellenarten Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen Lichtgeschwindigkeit C = 3.10⁰ m/s Wellenfront jeweils gleicher zeitlicher Abstand . wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit C = 2.f . überschneidung Löngs- & Querwellen: z. B. Erdbeben Superpositionsprinzip • 2 Wellen überlagern sich 2 x sinusförmig mit gleicher Frequenz resultierende Sinusform 2) Transversalwellen (dt. Querwellen) U die Richtung der Störung steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ↳ Beispiele Wellenmaschine, Seilwellen, La-Ola-Welle, elektromagnetisch Wellen periodische Anregung eines Pendels wird zeitversetzt an die anderen weitergegebenen 1) Longitudinalwellen (dt. Längswellen) die Richtung der Störung verläuft parallel zur Ausbreitung der Welle UP Beispiele Zusammendrücken einer Spiralfeder, Druck- /Schallwellen (Luft), Magnetrollen auf Schiene ↳ Verdickungen & Verdünnungen wandern in Bewegungsrichtung Interferenz 2x sinusförmig mit ungleicher Frequenz resultierende NICHT- Sinusform Schallgeschwindigkeit. Cschall = 343, 2 m/s Schwebung Kenngrößen Wellen • Wellenlänge A 4 kleinster räumlicher Abstand zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen • Schwingungsdauer T verstrichene Zeit zwischen diesen Phasen Phasengeschwindigkeit c aberlagerung von Wellen lows unterschiedlicher Richtung kommend) 4 Störungen treffen aufeinander, addieren sich, lawfen in ursprünglicher Richtung weiter (durchdringen sich & laufen unbeeinflusst weiter) • Konstruktiv →> Wellen vostärken sich (resultierende Amplitude / Auslenkung = maximal) (bei gleicher momentaner Auslenkung) • Destruktiv → Wellen läschen sich aus (resultierende Amplitude minimal) (bei ungleicher momentaner Auslenkung) Q. T • Frequenzen von hörbarem Schall 420Hz-20 kHz (2=16,5m-2m) mor → Störung/Amplitude ↑ Störung/Amplitude -> Ausbreitung (Schall-) Wellen leicht unterschiedlicher/ähnlicher Frequenz -> periodisches An- & Abschwellen horbar Ausbreitung von Schwebungsfrequenz steigt mit Frequenzunterschied Häufigkeit der Lautstärkemaxima/-minima → Ausbreitung fs= fatf₂ 2 Huygens'sches Prinzip Jeder Punkt der Wellen front kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden If & C sind gleich, viele erzeugen Wellen front) Definition bei Null verbleibt (Knotenpunkte) . • Welle, deren Auslenkung an bestimmten Stellen immer überlagerung zweier gegenläufig fortschreitenden Wellen gleicher Frequenz und Amplitude / Reflexion von Wellen gleicher Frequenz (z.B. Reflexion aus der hinlaufenden Wella) Zwei gegenläufige Wellen interferieren zu stehenater Welle nur von Ort ab, wandert nicht mit Zeit (Orte immer in Ruhe Knoten ; Orte mit max Ausdehnung - Bauche) up Amplitude hängt Reflexion am losen Ende Grundschwingung •Auslenkung 40 letztes Atom ist frei und schwingt mit • Störung der zurücklaufenden welle hat die gleiche Richtung, wie die hin laufende Welle L = n am losen Ende maximal →> Schwingungsbauch X DOCa BOS DOOC 1000k 2 (n = 1,2,3,...) stehende wellen L = Länge des Wellenträgers Q = ^ n=1 ungerade Vielfache von 2 L = n of f = n (durch Einsetzen von ca. f) n = 2 n = 3 l= x+ Reflexion bei 1 festem & 1 loses Ende n=4 l = a + 2a + ²a = 2^ ₁1/22 =2 e = a + a feeten Ende Auslenkung am Ende ist minimal (0) → Schwingungsknoten to letztes Atom ist fest (schwingt nicht mit) Störung der zurücklaufenden welle hat die entgegengesetzte Richtung zur hinlaufenden Welle n = Anzahl der vollen Bäuche] 2 Reflexion am L= n²/2/2 2 l=2+12= 2 0000 2 = x + 2 = n=2 (=^ n=3 n=4 l= 2^ (n = 1,2,3,...) ∞∞o 000011 l= (2n-1) = f = (20-1) (4. Harmonische) J Grundechwingung (n=1,2,3,...) (n=1,2,3...) (2. Harmonische) 1. Oberschwinguna (3.Harmonische) 2.aberschwingung Kundt'sches Rohr & Resonanz • Glasröhre (an beiden Enden zunächst offen) in der Korkmehl verteilt • Lautsprecher (Tonfrequenz - Generator) wird vor ein Ende gebracht • Erzeugung einer Schallwelle, die am Ende der Röhre reflektiert wird > Entstehung einer stehenden Welle durch überlagerung Sinusschwingung & monaffequenter Ton • Frequenz wird nun langsam gesteigert • bei bestimmten Frequenzen (Eigenfrequenzen) wird der Ton lauter es tritt Resonanz auf U Korkmenl wird an bestimmten Stellen aufgewirbelt → Schnellebouche an anderen Stellen ist das Korlemehl in Ruhe → Schnelle knoten 4 interferenz & Wechselwirkung ungestörte Überlagering. beim Aufeinandertreffen zweier Wellen addieren sich dort die Elongationen danach laufen diese ungestört wie vorher weiter • Phasendifferenz der Schwingung entscheidend für Ergebnis der Überlagerung 04 = 1₂-1₁₁ = 2TT 32-34 Gangunterschied AS a 45 AS 9₂-3₁ • Untersuchungen der Interferent mithilfe zwei gleichphasigen Sendem (2.6. in einer Wellenwanne) gerade Wellenfront mit zwei Spalten → Erzeugung von Konstruktive Interferenz • Maximale Verstärkung der Schwingung • Addition (gleiche Richtung) • Geradzallige Vielfache der Wellenlänge 44=n·2π 45 na (n = 0,1,2,...) Kohärent von Ton-Frequent-Generator von Wellen gleicher Frequenz & Wellenlänge =2 TT ist die Wegdifferenz der Strecken vom Treffpunkt zu den Erregern (für S₂3₂) Herausfinden ob konstruktiv a. destruktiv kreiswellen. Elementarwellen AY (2n-1). T A5 (2n-1) 22 (n=1,2,3,...) Ukohärente Wellen gehen von Erregerzentren aus, die eine konstante Phasendifferenz haben E. Voraussetzung für die Entstehung eines über lange Zeit zu beobachtenden Interferenzphänomens 6₂ Korkmenl P Entgegengesetzte Richtung Ungeradzallige Vielfache der halben Wellenlänge Glasrohre Destruktive Interferenz • Maximale Abschwächung (Avolöschung bei gleicher Amplitude) •Schnelle knoten (Druckknoten) Schnellebauche (Druckbouche) Definitionen Wellenfront Fläche auf der alle Punkte die gleiche Laufzeit zum sender haben Schallwellen Elementarwellen: Von Punkt nach allen Seiten ausbreitend (Kreiswellen) Interferenz von Licht 1, Licht zeigt die üblichen Welleneigenschaften wie Beugung & Interferenz. Es breitet sich als elektromagnetische Welle aus." • Ausbreitungsgeschwindigkeit C= 3·10³ m/s Huygens'sches Prinzip "Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden, die sich mit gleicher Frequent und Phasengeschwindigkeit wie die ursprüngliche Welle ausbreiten. Die Einhallende alter Elementarwellen ergibt die neue Wellenfront." up Eine Wellenfront besteht aus unendlich vielen Elementarwellen (jeder Punkt kann als Zentrum angesehen werden) Beispiel von einer Öffnung gehen wieder kreisförmige Wellen aus - die Spaltöffnung wirkt als Zentrum der Entstehung & Ausbreitung einer Kreiswelle • mehrere Spaltöffnungen rebeneinander senden Kreiswellen aus, die sich dann zu neven Wellenfronten überlagern →> Interferenz Huygens-Frensel 'sches Prinzip "Der Schwingungszustand wird in einem beliebigen Punkt des Wellenfeldes durch alle Elementarwellen bestimmt, die von einer beliebigen Wellenfront ausgehen, wenn dort ihre Wirkung unter Berücksichtigung ihrer Phasen und Amplituden addiert werden." • Nachweis der Welleneigenschaft von Licht (durch Thomas Young 1802) • Verbreiterung des Spaltbildes entsteht durch Beugung Doppelspalt=beugende struktur → Elementarwellen, die sich dann aberlagern konstr. & destr. • Abwechselnd helle & dunkle Streifen entstehen durch Interferenz Maxima (konstr. Int.). AS nλ d sinan Abstände benachbarter Maxima stets gleich psymmetrisch Sin α = sin x tan x n.a d AS = n-a doppelspalt (beugung & interferenz) • Schirmabstand » Spaltabstand →→ Kleinwinkelnäherung möglich 1. Näherung: Die Wellentüge laufen parallel 2. Näherung Die Wellenzüge liegen hinter dem Spalt so dicht, dass sie durch einen Wellentug ersetzt werden können, der in der Spaltmitte beginnt. ezl Spaltöffnung als Quellen von ^- 1 g {L P Minima (destr. Int.) AS (2n-1)=d-sinan (tan x= an) an d en Wellenlänge Licht I • Je weiter außen die Streifen, desto schwächer ist das Licht • Je kleiner der Spaltabstand, desto weiter liegen die Streifen auseinander • Je kleiner die Wellenlänge des Lichts, desto enger liegen die Streifen zusammen Sin x. →Bei Gas liegen Maxima näher am Hauptmaximum (Brechungsindex größer als Luft) Abstand der Maxima proportional zur Wellenlänge Interferenz bei ausgedehnten Lichtquellen Kondensator bandelt das Licht der Lampe Kohärenzspalt engt die ausgedehnte Lichtquelle ein Licht wird phosengleich/kohärent UD Erzeugung parallelen Lichts Abbildungslinse macht das Bild auf dem Schirm scharf Doppelspalt (phosengleiche Elementarwellen) UP Erzeugung zwei kohärenter Lichtwellenzüge nachfolgende Beugung Schirm: Sichtbare interferenzmuster /-erscheinungen Interferenzmuster d → sin x up Gitter: • Genowe Wellenlängenmessung durch optische Gitter N parallele Spalten gleicher Breite gegebene Länge Gitterkonstante: Abstand benachbarter Spaltmitten g = Anzahl der Linien Je höher N, desto schärfer die Spektrallinien / Hauptmaxima auf dem Schirm Gitter wird verwendet, um 1 genauer berechnen zu können • von N Spalten des Gitters gehen phosengleiche Wellen aus (wie Doppelspalt) phasenverschobene Schwingungen überlagern sich (z. B. auf Schirm) und interferieren miteinander (je nach Gangunterschied) →Vielstrahlinterferenz maximale Intensität bei konstruktiver Interferenz Beugung am Gitter • gleicher Aufbau wie Doppelspalt, jedoch mit mehr Spalten • Kleinwinkelnäherung beachten! I 1 Abstände benachbarter Maxima sa= antan = n tan α = lae e a (winkel unter denen Maxima und Minima auftreten) gitter (beugung & interferenx) an e Bei einer Lichtquelle wie der Lampe/ Glühbirne muss das Licht erst noch gebündelt werden (Kohärentspalt + Linse) Bei Verwendung eines Lasers benötigt man keinen Kohärenzspalt. Dieser sendet bereits phasengleiches & gebündeltes Licht aus. e 380 nm 10 m 10 nm 1 nm Gamma Röntgen strahlen strahlen Abbildungs- linse Spektrallinien." UV 10 mm Infrarot 380nm <2< 780mm sichtbares Licht yv 10 nm Interferenz • [[[ ]] Kondensator Kohärent- Doppelspalt Schirm Spalt 1m (10 mm) Mikro- wellen 450 nm 500 nm 550 nm 600 ne 650 nm 700 nm 750 mm Wellenlänge nimmt zu. .Energie nimmt zu •Frequent nimmt zu 10³ m Radio wellen S "Ein Gitter erzeugt in weißem Licht (neben weißen Streifen in der Mitte) eine Reihe von nach außen hin breiter werdenden Farbbändern, die reine Spektralfarben von violett bis rot enthalten (kontinuierliche Gitterspektren). Im monochromatischen Licht entsteht eine Reihe von scharfen Unterschied Gitter & Doppelspalt Bei einem Gitter (Laser als Lichtquelle) ist der Abstand der Maxima im Vergleich zum Doppelspalt größer. Maxima weiter auseinander & schmaler up Dunkelstellen breiter (mehr destruktive Interferenz) Die Maxima sind beim Gitter außerdem heller und schärfer, da zwischendrin mehr Auslöschung (destruktive Interferent) stattfindet.