Mathematische Beschreibung von Schwingungen

Diese Seite behandelt die mathematische Beschreibung von harmonischen Schwingungen und deren Zusammenhang mit der Kreisbewegung. Die Auslenkung y(t) einer harmonischen Schwingung lässt sich durch eine Sinusfunktion beschreiben:

Example: y(t) = y_max · sin(ωt)

Dabei ist y_max die Amplitude der Schwingung und ω die Kreisfrequenz.

Die Ableitungen dieser Funktion ergeben Geschwindigkeit und Beschleunigung:

v(t) = y_max · ω · cos(ωt) a(t) = -y_max · ω² · sin(ωt)

Highlight: Die maximale Beschleunigung einer harmonischen Schwingung beträgt a_max = ω² · y_max.

Für Federschwinger und Fadenpendel werden spezifische Formeln für die Periodendauer angegeben:

Formula: Federpendel: T = 2π · √(m/D) Formula: Fadenpendel: T = 2π · √(l/g)

Dabei ist m die Masse, D die Federkonstante, l die Pendellänge und g die Erdbeschleunigung.

Example: Ein Federpendel mit m = 200g und einer Auslenkung von 9cm hat eine Periodendauer von T = 0,49s.

Diese mathematischen Beschreibungen sind grundlegend für die Analyse und Berechnung von Schwingungen in der Physik.

Grundlagen der Schwingungen

Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der mechanischen Schwingungen ein. Eine Schwingung wird definiert als die zeitlich periodische Änderung physikalischer Größen. Voraussetzungen für eine Schwingung sind ein schwingender Körper (Oszillator), eine Energiezufuhr und eine rücktreibende Kraft zur Gleichgewichtslage.

Der typische Ablauf einer Schwingung wird beschrieben: Auslenkung aus der Ruhelage, Umkehrpunkt durch rücktreibende Kraft, Überqueren der Gleichgewichtslage aufgrund der Trägheit und erneute Auslenkung in die Gegenrichtung.

Wichtige Kenngrößen werden eingeführt:

Vocabulary: Die Elongation y(t) bezeichnet den Abstand des Oszillators zur Gleichgewichtslage zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Definition: Die Amplitude ist der maximale Abstand des Oszillators zur Gleichgewichtslage.

Vocabulary: Die Frequenz f gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit an.

Definition: Die Periodendauer T ist die Zeit für eine vollständige Schwingung.

Highlight: Es gilt der wichtige Zusammenhang f = 1/T zwischen Frequenz und Periodendauer.

Diese Grundbegriffe sind essentiell für das Verständnis von harmonischen Schwingungen und deren mathematische Beschreibung.