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Schwingungen und Wellen

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Das Feder-Masse-Pendel
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Schwingungen Das Feder-Masse-Pendel Ein Massestück m an einer Feder mit der Federkonstante D wird aus der Gleichgewichtslage angehoben und sich selbst überlassen. Der Körper pendelt mit der Elongation s in der Periodendauer T (mit der Frequenz f) um die Gleichgewichtslage. a.) F = Fo+ G = 0 b.) F = Fo+ G = F₁ - Ds + G = −Ds < 0 c.) F = F₁ + G = F₁ - Ds + G = −Ds > 0 Die Rückstellkraft F ist also proportional zur Elongation s des angehängten Körpers. Es gilt das lineare Kraftgesetz F = -Ds. (0 5 0.25 [I] GVF Fo S G 0.5 Das aufgezeichnete t-s-Diagramm sieht aus wie eine Sinuskurve. In der Zeigerdarstellung zeigt sich die Verwandtschaft mit der Kreisbewegung: 0.75 Nun ist die Momentanbeschleunigung a = Av At www t/s s = ŝ. sino mit Amplitude ŝr AF t) mit w 2π = 2nf = T -0 die P = 4₁+w.t ist Phase der Schwingung mit dem Startwinkel o der s(t) = ŝsin(Po+w. Beim Federpendel wird die Schwingung des Pendelkörpers durch einen rotierenden Zeiger beschrieben. v und die Momentangeschwindigkeit v = As At Das sind Ableitungen der t-v- und t-s-Funktionen nach der Zeit t. Also ist: a(t) = v(t) = ö(t). Aus (1) wird damit: m · ŝ(t) = −D·s(t) (2) Die Differentialgleichung der Schwingung Das lineare Kraftgesetz F = -Ds diktiert den Bewegungsablauf des schwingenden Körpers. Mit Newtons Gesetz F = m · a ist die Beschleunigung a(t) zu jedem Zeitpunkt t festgelegt: (1)...

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m. 1 · a(t) = −D · s(t) = S. Das ist eine sogenannte Differentialgleichung. Sie hat eine Funktion als Lösungsmenge, bei der die Funktion s(t) proportional zur 2. Ableitung ist. Die Funktion s(t) = ŝ · sin(Q₁ + wt) erfüllt diese GI. (2): s(t) = w ŝ· cos(po + w. .t) ŝ(t) = −w² · ŝ · sin(4。 + w · t) = −w²s(t) Setzen wir jetzt ä(t) in Gleichung (2) ein, erhalten wir: -m w²s(t) = −D · s(t) ⇒ −D = −m · w² E m 2π mit der Winkelgeschwindigkeit w = T ▪ Das Fadenpendel Eine Masse an einem Faden wird zur Seite angehoben und sich selbst überlassen. Bei maximaler Amplitude ergibt sich folgende Gleichung für die Rückstellkraft: Fµ = G · sin a = m . g sin a ▪ Wenn » s ist, lässt sich der Winkel a annähernd aus dem Dreieck Sh S berechnen: Sh I sin a sin α = ≈ 1 1 ▪ = Das lineare Kraftgesetz für kleine Elongationen s lautet dann als Betragsgleichung: Fµ = m. g = • S = D.s mit der Richtgröße D = mg S m.g 1 1 ΔΙ At Um die Periodendauer des Fadenpendels zu berechnen, kann die Richtgröße D in T = 2π = Uind = D -L·i. und der Periodendauer T = 2π eingesetzt werden: T = 2π Der elektromagnetische Schwingkreis In der Abbildung rechts ist die Schaltskizze des elektromagnetischen Schwingkreises dargestellt. Bei Schalterstellung 1 wird der Kondensator aufgeladen. Bei Schalterstellung 2 entlädt sich der Kondensator über die Spule. Dabei erfolgt eine periodische Energieumwandlung zwischen der Energie des elektrischen Feldes im Kondensator und der Energie des magnetischen Feldes der Spule. m.l m. g erzeugt eine Induktionsspannung in der Spule = 2π 9 U₁ diese liegt am Kondensator als Spannung U =an B m D I-h h a S Sh FH a Die magnetische Feldenergie erhöht sich, die elektrische nimmt ab. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, befindet sich die gesamte Energie in der Spule. Nach Lenz wird der Kondensator nun seiner Ursache entgegengesetzt aufgeladen. Q(t) C L entspricht m, Q(t) entspricht s(t) und entspricht D LQ(t) In - = UL = UC ⇒-L · ‚· İ(t) : = Daraus ergibt sich als Lösung dieser Differentialgleichung Q (t) = Ộ · sin(w · t) mit w = 區 LC = Die Periodendauer der Schwingung ist (Thomson'sche Gleichung): T = 2√LC; ƒ Wählen wir Qo = Ô gilt Q(t) = Q · cos(w t) Für die Spannung gilt dann U(t) = Û · cos(w · t) und für die Stromstärke I(t) Dabei ist die maximale Stromstärke: Î = Q · w = = Û.C. einem elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische und magnetische Energie periodisch ineinander um. Geschieht dies ohne Energieverlust, so ist die Schwingung ungedämpft. Strom- und Spannungsverlauf sind sinusförmig. Beginnt die Schwingung zum Zeitpunkt t 0 bei maximaler Kondensatorspannung, so gilt U(t) = Û · cos(w. t) und I(t) = −η sin(w · t). im Vergleich zu: m · ŝ(t) = −D.s(t) Q (t) C V-0 LC 1-0 = X Û √EF Wellen Aufbau einer Welle, Wellengleichung Bei einer mechanischen Welle führt ein Oszillator nach dem anderen die Bewegung aus, die ihm vom Erreger vorgeschrieben wird. Je weiter ein Oszillator vom Erreger entfernt ist, desto später wird es von dieser Bewegung erfasst. Mit der Welle wird Energie transportiert, nicht aber Materie. Die Oszillatoren bewegen sich nicht von der Stelle, sie schwingen lediglich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle nach oben und unten. Ihre Momentangeschwindigkeit, die sich bei der Hin- und Herbewegung dauernd ändert, wird Schnelle v genannt. Dieser Name soll den = i-o CGCGC CI SI C L V-0 V=0 V-Vmax T -Î.sin(w.t). 1-2 1 2π√LC V-Vmax C 10-0 000 Unterschied zur konstanten Ausbreitungsgeschwindigkeit c hervorheben. Die Auslenkung eines Oszillators heißt Elongation y, die maximale Auslenkung Amplitude. Es entsteht eine Welle mit wandernden Bergen und Tälern. Der Abstand benachbarter Orte gleicher Phase heißt Wellenlänge 1. Rechts ist die Zeigerdarstellung einer Welle zum Zeitpunkt t = 0 und zum Zeitpunkt t = dargestellt. 8 y(t) = ŷsin(w · t) = ŷ · sin(2Ã · t) ⇒ y(t) = ŷ · sin (2π ---) y(t; x) = 9 · sin ( (t-tx)) 2π T 오 Da drunter ist in der oberen Funktion die Elongation der Welle als Sinuskurve in Abhängigkeit von ihren Ort x dargestellt, in der unteren Funktion die Elongation eines Körpers an einem bestimmten Punkt x der Welle in Abhängigkeit von der Zeit t. Für das Erregerteilchen ermittelt man mit der Kreisprojektion: Ein Teilchen am Ort x zur Zeit t hat die gleiche Phase und Elongation y(t;x) wie das Teilchen am Ort x = 0 zu einem ? früheren Zeitpunkt: 0 At y (t; x) = y sin As Xx λ ▪ mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ====2 f ergibt sich: tx = tx T Es ergibt sich folgende Wellengleichung einer fortschreitenden Sinuswelle: 2π x T (²7T. (+ - * ; 7)) t ? Transversal- und Longitudinalwelle, Polarisation Grundsätzlich wird bei mechanischen Wellen zwischen zwei Arten unterschieden: a.) Longitudinalwelle (Längswelle): Schwingrichtung entspricht der Ausbreitungsrichtung b.) Transversalwelle (Querwelle): Ausbreitung ist senkrecht zur Schwingungsrichtung ⇒ y(t; x) = y sin 2π Transversale Wellen können polarisiert werden: Ein Polarisator ist eine Vorrichtung, die transversale Wellen nur in eine Richtung durchgehen lässt. Mit einem Analysator (zweiter Polarisator, um 90° gedreht) kann eine polarisierte Amplitude ▼ Amplitude ▼ Hand motion x.T λ Beschreibende Größen der Welle: Periodendauer T, Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge >, Frequenz f, Amplitude ŷ, Phase op und Elongation y Wave (²-₁)) T direction Hand motion 2 Compression pramo Polarisator t = 0 Wave direction CONCODER DIXON COOXXOM Rarefaction t = T/8 Wellenlänge A Abstand Periode # Transverse Waves BA Longitudinal Waves Analysator X X t Zeit Welle nachgewiesen werden. Sind zwei Polarisatoren parallel zueinander, so kann die Welle beide passieren. Reflexion von Wellen Eine Störung wird am Ende eines Wellenträgers reflektiert. a.) Am festen Ende erfahren Elongation und Schnelle dabei einen Phasensprung von i b.) Am freien/losen Ende werden beide ohne Phasensprung reflektiert Eigenschwingung und Resonanz eingespannter Ein an beiden Enden fest eindimensionaler Wellenträger der Länge | kann zu stehenden Wellen mit nur ganz bestimmten Frequenzen angeregt werden den Eigenfrequenzen. Sie betragen: k.f₁; Eigenfrequenz angeregt, so tritt Resonanz ein. Elektromagnetische Wellen fk = k с 21 . Zur = hochfrequenter elektromagnetischer Schwingungen braucht man nach der thomsonschen Gleichung Schwingkreise möglichst kleiner Kapazität und Induktivität. Man benutzt dazu die rechts dargestellte Dreipunktschaltung. Erzeugung fo = k = 1, 2, 3, ... Wird ein zu Eigenschwingung fähiger Wellenträger mit seiner 1 = 1 2л√LC magnetisches Feld a elektrisches Feld Abb. 5.57 Reflexion einer Transversalwelle am festen (a) und losen Ende (b) Ausbreitungs- richtung 100 ΚΩ Uv b C₁ C₂ G 0,1...1 ΚΩ Ima Durch ersetzten des Kondensators durch einen Schwingquarz schwingt dieser in Resonanz zum Oszillator. 1 3 U Ein gerader leitender Stab kann zu elektromagnetischen Schwingungen angeregt werden. Er strahlt als hertzscher Dipol elektromagnetische Wellen bevorzugt senkrecht zur Stabrichtung ab. In Stabrichtung wandern keine Wellen von ihm weg. Die Wellen sind linear polarisiert. Ihre E und B-Vektoren sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet und stehen senkrecht aufeinander. Ihre Geschwindigkeit beträgt im Medium (&r‚µr): C = und im Vakuum (damit 1 √εoεr Hour praktisch auch Luft): FET

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m. 1 · a(t) = −D · s(t) = S. Das ist eine sogenannte Differentialgleichung. Sie hat eine Funktion als Lösungsmenge, bei der die Funktion s(t) proportional zur 2. Ableitung ist. Die Funktion s(t) = ŝ · sin(Q₁ + wt) erfüllt diese GI. (2): s(t) = w ŝ· cos(po + w. .t) ŝ(t) = −w² · ŝ · sin(4。 + w · t) = −w²s(t) Setzen wir jetzt ä(t) in Gleichung (2) ein, erhalten wir: -m w²s(t) = −D · s(t) ⇒ −D = −m · w² E m 2π mit der Winkelgeschwindigkeit w = T ▪ Das Fadenpendel Eine Masse an einem Faden wird zur Seite angehoben und sich selbst überlassen. Bei maximaler Amplitude ergibt sich folgende Gleichung für die Rückstellkraft: Fµ = G · sin a = m . g sin a ▪ Wenn » s ist, lässt sich der Winkel a annähernd aus dem Dreieck Sh S berechnen: Sh I sin a sin α = ≈ 1 1 ▪ = Das lineare Kraftgesetz für kleine Elongationen s lautet dann als Betragsgleichung: Fµ = m. g = • S = D.s mit der Richtgröße D = mg S m.g 1 1 ΔΙ At Um die Periodendauer des Fadenpendels zu berechnen, kann die Richtgröße D in T = 2π = Uind = D -L·i. und der Periodendauer T = 2π eingesetzt werden: T = 2π Der elektromagnetische Schwingkreis In der Abbildung rechts ist die Schaltskizze des elektromagnetischen Schwingkreises dargestellt. Bei Schalterstellung 1 wird der Kondensator aufgeladen. Bei Schalterstellung 2 entlädt sich der Kondensator über die Spule. Dabei erfolgt eine periodische Energieumwandlung zwischen der Energie des elektrischen Feldes im Kondensator und der Energie des magnetischen Feldes der Spule. m.l m. g erzeugt eine Induktionsspannung in der Spule = 2π 9 U₁ diese liegt am Kondensator als Spannung U =an B m D I-h h a S Sh FH a Die magnetische Feldenergie erhöht sich, die elektrische nimmt ab. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, befindet sich die gesamte Energie in der Spule. Nach Lenz wird der Kondensator nun seiner Ursache entgegengesetzt aufgeladen. Q(t) C L entspricht m, Q(t) entspricht s(t) und entspricht D LQ(t) In - = UL = UC ⇒-L · ‚· İ(t) : = Daraus ergibt sich als Lösung dieser Differentialgleichung Q (t) = Ộ · sin(w · t) mit w = 區 LC = Die Periodendauer der Schwingung ist (Thomson'sche Gleichung): T = 2√LC; ƒ Wählen wir Qo = Ô gilt Q(t) = Q · cos(w t) Für die Spannung gilt dann U(t) = Û · cos(w · t) und für die Stromstärke I(t) Dabei ist die maximale Stromstärke: Î = Q · w = = Û.C. einem elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische und magnetische Energie periodisch ineinander um. Geschieht dies ohne Energieverlust, so ist die Schwingung ungedämpft. Strom- und Spannungsverlauf sind sinusförmig. Beginnt die Schwingung zum Zeitpunkt t 0 bei maximaler Kondensatorspannung, so gilt U(t) = Û · cos(w. t) und I(t) = −η sin(w · t). im Vergleich zu: m · ŝ(t) = −D.s(t) Q (t) C V-0 LC 1-0 = X Û √EF Wellen Aufbau einer Welle, Wellengleichung Bei einer mechanischen Welle führt ein Oszillator nach dem anderen die Bewegung aus, die ihm vom Erreger vorgeschrieben wird. Je weiter ein Oszillator vom Erreger entfernt ist, desto später wird es von dieser Bewegung erfasst. Mit der Welle wird Energie transportiert, nicht aber Materie. Die Oszillatoren bewegen sich nicht von der Stelle, sie schwingen lediglich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle nach oben und unten. Ihre Momentangeschwindigkeit, die sich bei der Hin- und Herbewegung dauernd ändert, wird Schnelle v genannt. Dieser Name soll den = i-o CGCGC CI SI C L V-0 V=0 V-Vmax T -Î.sin(w.t). 1-2 1 2π√LC V-Vmax C 10-0 000 Unterschied zur konstanten Ausbreitungsgeschwindigkeit c hervorheben. Die Auslenkung eines Oszillators heißt Elongation y, die maximale Auslenkung Amplitude. Es entsteht eine Welle mit wandernden Bergen und Tälern. Der Abstand benachbarter Orte gleicher Phase heißt Wellenlänge 1. Rechts ist die Zeigerdarstellung einer Welle zum Zeitpunkt t = 0 und zum Zeitpunkt t = dargestellt. 8 y(t) = ŷsin(w · t) = ŷ · sin(2Ã · t) ⇒ y(t) = ŷ · sin (2π ---) y(t; x) = 9 · sin ( (t-tx)) 2π T 오 Da drunter ist in der oberen Funktion die Elongation der Welle als Sinuskurve in Abhängigkeit von ihren Ort x dargestellt, in der unteren Funktion die Elongation eines Körpers an einem bestimmten Punkt x der Welle in Abhängigkeit von der Zeit t. Für das Erregerteilchen ermittelt man mit der Kreisprojektion: Ein Teilchen am Ort x zur Zeit t hat die gleiche Phase und Elongation y(t;x) wie das Teilchen am Ort x = 0 zu einem ? früheren Zeitpunkt: 0 At y (t; x) = y sin As Xx λ ▪ mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ====2 f ergibt sich: tx = tx T Es ergibt sich folgende Wellengleichung einer fortschreitenden Sinuswelle: 2π x T (²7T. (+ - * ; 7)) t ? Transversal- und Longitudinalwelle, Polarisation Grundsätzlich wird bei mechanischen Wellen zwischen zwei Arten unterschieden: a.) Longitudinalwelle (Längswelle): Schwingrichtung entspricht der Ausbreitungsrichtung b.) Transversalwelle (Querwelle): Ausbreitung ist senkrecht zur Schwingungsrichtung ⇒ y(t; x) = y sin 2π Transversale Wellen können polarisiert werden: Ein Polarisator ist eine Vorrichtung, die transversale Wellen nur in eine Richtung durchgehen lässt. Mit einem Analysator (zweiter Polarisator, um 90° gedreht) kann eine polarisierte Amplitude ▼ Amplitude ▼ Hand motion x.T λ Beschreibende Größen der Welle: Periodendauer T, Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge >, Frequenz f, Amplitude ŷ, Phase op und Elongation y Wave (²-₁)) T direction Hand motion 2 Compression pramo Polarisator t = 0 Wave direction CONCODER DIXON COOXXOM Rarefaction t = T/8 Wellenlänge A Abstand Periode # Transverse Waves BA Longitudinal Waves Analysator X X t Zeit Welle nachgewiesen werden. Sind zwei Polarisatoren parallel zueinander, so kann die Welle beide passieren. Reflexion von Wellen Eine Störung wird am Ende eines Wellenträgers reflektiert. a.) Am festen Ende erfahren Elongation und Schnelle dabei einen Phasensprung von i b.) Am freien/losen Ende werden beide ohne Phasensprung reflektiert Eigenschwingung und Resonanz eingespannter Ein an beiden Enden fest eindimensionaler Wellenträger der Länge | kann zu stehenden Wellen mit nur ganz bestimmten Frequenzen angeregt werden den Eigenfrequenzen. Sie betragen: k.f₁; Eigenfrequenz angeregt, so tritt Resonanz ein. Elektromagnetische Wellen fk = k с 21 . Zur = hochfrequenter elektromagnetischer Schwingungen braucht man nach der thomsonschen Gleichung Schwingkreise möglichst kleiner Kapazität und Induktivität. Man benutzt dazu die rechts dargestellte Dreipunktschaltung. Erzeugung fo = k = 1, 2, 3, ... Wird ein zu Eigenschwingung fähiger Wellenträger mit seiner 1 = 1 2л√LC magnetisches Feld a elektrisches Feld Abb. 5.57 Reflexion einer Transversalwelle am festen (a) und losen Ende (b) Ausbreitungs- richtung 100 ΚΩ Uv b C₁ C₂ G 0,1...1 ΚΩ Ima Durch ersetzten des Kondensators durch einen Schwingquarz schwingt dieser in Resonanz zum Oszillator. 1 3 U Ein gerader leitender Stab kann zu elektromagnetischen Schwingungen angeregt werden. Er strahlt als hertzscher Dipol elektromagnetische Wellen bevorzugt senkrecht zur Stabrichtung ab. In Stabrichtung wandern keine Wellen von ihm weg. Die Wellen sind linear polarisiert. Ihre E und B-Vektoren sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet und stehen senkrecht aufeinander. Ihre Geschwindigkeit beträgt im Medium (&r‚µr): C = und im Vakuum (damit 1 √εoεr Hour praktisch auch Luft): FET