Schwingungen und Wellen

Alternativer Bildtext:

sogenannte Differentialgleichung. Sie hat eine Funktion als Lösungsmenge, bei der die Funktion s(t) proportional zur 2. Ableitung ist. Die Funktion s(t) = sin(po + wt) erfüllt diese GI. (2): s(t) = wŝ· cos(po + w.t) s(t) = w².ŝsin(po+w.t) = −w²s(t) Setzen wir jetzt ä(t) in Gleichung (2) ein, erhalten wir: -m w²s(t) = -D · s(t) ⇒ −D = -m-w² 2π mit der Winkelgeschwindigkeit w= T Das Fadenpendel Eine Masse an einem Faden wird zur Seite angehoben und sich selbst überlassen. Bei maximaler Amplitude ergibt sich folgende Gleichung für die Rückstellkraft: FH = G sin a = m.g.sina ; und der Periodendauer T = 2π m Wenn » s ist, lässt sich der Winkel a annähernd aus dem Dreieck Sh~ S berechnen: S₁ = 1. sin a ⇒ sin a = $ Das lineare Kraftgesetz für kleine Elongationen s lautet dann als Betragsgleichung: F = m • g⋅ ² =mg. S = D.s mit der Richtgröße D = mg Um die Periodendauer des Fadenpendels zu berechnen, kann die Richtgröße D in T = 2π eingesetzt werden: T = 2₁ ΔΙ At m.l = 2π m. g 9 Der elektromagnetische Schwingkreis In der Abbildung rechts ist die Schaltskizze des elektromagnetischen Schwingkreises dargestellt. Bei Schalterstellung 1 wird der Kondensator aufgeladen. Bei Schalterstellung 2 entlädt sich der Kondensator über die Spule. Dabei erfolgt eine periodische Energieumwandlung zwischen der Energie des elektrischen Feldes im Kondensator und der Energie des magnetischen Feldes der Spule. erzeugt eine Induktionsspannung in der Spule U₁ Uind = −L · İ → diese liegt am Kondensator als Spannung U = 2 an 1-h h (1) 1 FH Die magnetische Feldenergie erhöht sich, die elektrische nimmt ab. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, befindet sich die gesamte Energie in der Spule. Nach Lenz wird der Kondensator nun seiner Ursache entgegengesetzt aufgeladen. Q (t) C L entspricht m, Q (t) entspricht s(t) und entspricht D Q(t) UL UCL İ(t) = C L.Q(t) = Daraus ergibt sich als Lösung dieser Differentialgleichung Q(t) = Ô · sin(w • t) mit w = 區 1 Die Periodendauer der Schwingung ist (Thomson'sche Gleichung): T = 2√LC; ƒ = ²/ 2π√LC im Vergleich zu: m s(t) = Ds(t) Wählen wir Qo Q gilt Q(t) = cos(w.t) = Für die Spannung gilt dann U(t) = Û · cos (w t) und für die Stromstärke I(t) = − Î · sin(w • t). ·√= = 0·√5/ Û. In Dabei ist die maximale Stromstärke: Î = Q · w = Û · C ·¸ = einem elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische und magnetische Energie periodisch ineinander um. Geschieht dies ohne Energieverlust, so ist die Schwingung ungedämpft. Strom- und Spannungsverlauf sind sinusförmig. Beginnt die Schwingung zum Zeitpunkt t bei maximaler 0 Kondensatorspannung, so gilt U(t) = U.cos(w.t) und I(t) = -1.sin(w.t). i-o V=0 1-0 CG CI SI L V-0 Y-0 V-Vmax Wellen Aufbau einer Welle, Wellengleichung Bei einer mechanischen Welle führt ein Oszillator nach dem anderen die Bewegung aus, die ihm vom Erreger vorgeschrieben wird. Je weiter ein Oszillator vom Erreger entfernt ist, desto später wird es von dieser Bewegung erfasst. Mit der Welle wird Energie transportiert, nicht Materie. Die szillato bewegen sich i-o nicht von der Stelle, sie schwingen lediglich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle nach oben und unten. Ihre Momentangeschwindigkeit, die sich bei der Hin- und Herbewegung dauernd ändert, wird Schnelle v genannt. Dieser Name soll den 1-2 imo V-Vmax 25 ........0 Doo Unterschied zur konstanten Ausbreitungsgeschwindigkeit c hervorheben. Die Auslenkung eines Oszillators heißt Elongation y, die maximale Auslenkung Amplitude. Es entsteht eine Welle mit wandernden Bergen und Tälern. Der Abstand benachbarter Orte gleicher Phase heißt Wellenlänge 1. Rechts ist die Zeigerdarstellung einer Welle zum Zeitpunkt t = 0 und zum Zeitpunkt t = dargestellt. 8 Ein Teilchen am Ort x zur Zeit t hat die gleiche Phase und Elongation y(t;x) wie das Teilchen am Ort x = 0 zu einem ? früheren Zeitpunkt: 2πT (²7/7. (t-tx)) y(t; x) = sin( Da drunter ist in der oberen Funktion die Elongation der Welle als Sinuskurve in Abhängigkeit von ihren Ort x dargestellt, in der unteren Funktion die Elongation eines Körpers an einem bestimmten Punkt x der Welle in Abhängigkeit von der Zeit t. Für das Erregerteilchen ermittelt man mit der Kreisprojektion: y(t) = ŷ · sin(w · t) = ŷ · sin(2Ã · t) ⇒ y(t) = ŷ · sin (2n · 7) y(t; x) = ŷ sin 12 Es ergibt sich folgende Wellengleichung einer fortschreitenden Sinuswelle: 2π x Tv - sin (²7/ - (t-*+7)) - x-T mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = = = = f ergibt sich: tx = ? Transversal- und Longitudinalwelle, Polarisation Grundsätzlich wird bei mechanischen Wellen zwischen zwei Arten unterschieden: a.) Longitudinalwelle (Längswelle): Schwingrichtung entspricht der Ausbreitungsrichtung b.) Transversalwelle (Querwelle): Ausbreitung ist senkrecht zur Schwingungsrichtung Transversale Wellen können polarisiert werden: Ein Polarisator ist eine Vorrichtung, die transversale Wellen nur in eine Richtung durchgehen lässt. Mit einem Analysator (zweiter Polarisator, um 90° gedreht) kann eine polarisierte ▲ Amplitude ⇒ y(t; x) = y sin 27. Amplitude - sin ( 27 - (-)) Hand motion Wove direction 2 Beschreibende Größen der Welle: Periodendauer T, Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge 1, Frequenz f, Amplitude ŷ, Phase op und Elongation y Hand motion Compression I Polarisator t=0 Wave direction ACODE DIOXICZ ODKAXCOM Rarefaction t = T/8 Wellenlänge λ Periode T Transverse Waves Longitudinal Waves Analysator AMAA.. X Abstand X Zeit Welle nachgewiesen werden. Sind zwei Polarisatoren parallel zueinander, so kann die Welle beide passieren. Reflexion von Wellen Eine Störung wird am Ende eines Wellenträgers reflektiert. a.) Am festen Ende erfahren Elongation und Schnelle dabei einen Phasensprung von it b.) Am freien/losen Ende werden beide ohne Phasensprung reflektiert Eigenschwingung und Resonanz Ein an beiden Enden fest eingespannter eindimensionaler Wellenträger der Länge | kann zu stehenden Wellen mit nur ganz bestimmten Frequenzen angeregt werden den Eigenfrequenzen. Sie betragen: hochfrequenter elektromagnetischer Schwingungen braucht man nach der thomsonschen Gleichung Schwingkreise möglichst kleiner Kapazität und Induktivität. Man benutzt dazu die rechts dargestellte Dreipunktschaltung. fk = k = k· f₁; k = 1,2,3,... Wird ein zu Eigenschwingung fähiger Wellenträger mit seiner Eigenfrequenz angeregt, so tritt Resonanz ein. Elektromagnetische Wellen Zur Erzeugung 1 1 fo = = =2&VT.C T magnetisches Feld +6 U₁ elektrisches Feld Abb. 5.57 Reflexion einer Transversalwelle am festen. (a) und losen Ende (b) 100 ΚΩ Ausbreitungs- richtung Uv b C₁ G 0,1...1 ΚΩ Durch ersetzten des Kondensators durch einen Schwingquarz schwingt dieser in Resonanz zum Oszillator. L Ein gerader leitender Stab kann zu elektromagnetischen Schwingungen angeregt werden. Er strahlt als hertzscher Dipol elektromagnetische Wellen bevorzugt senkrecht zur Stabrichtung ab. In Stabrichtung wandern keine Wellen von ihm weg. Die Wellen sind linear polarisiert. Ihre E und B-Vektoren sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet und stehen senkrecht aufeinander. Ihre Geschwindigkeit beträgt im Medium (Er, Hr): c = und im Vakuum (damit νεοεγμομη praktisch auch Luft): 1 3 U 4 D FET S Co = 1 Γερμο m = 2,998 108. (Lichtgeschwindigkeit) S Elektromagnetische Wellen werden zur Datenübertragung moduliert. Bei Amplitudenmodulation (AM) wird die Amplitude, bei Frequenzmodulation (FM) die Frequenz der hochfrequenten Trägerschwingung im Rhythmus der niederfrequenten Tonschwingung verändert. Anwendung: LC-Display LCD (Liquid Crystal Display) werden zunehmend in modernen Farbbildschirmen genutzt. Sie bestehen aus kleinsten Kristallen, die untereinander frei verschiebbar sind, es handelt sich um Flüssigkristalle deren Aggregatzustand zwischen fest und flüssig liegt. LCD senden kein Licht aus sondern wirken als selektive Spiegel. Die hier dargestellte Schadt- Helfrich-Zelle besteht aus zwei Glasplättchen die sich im Abstand von 10 m gegenüber liegen. Ihre Innenseiten sind so präpariert, dass sich die Flüssigkristalle an der Glasoberfläche in eine bestimmte Richtung ausgerichtet haben. Die Glasplatten stehen sich genau senkrecht gegenüber, was dazu führt, dass die Flüssigkristalle eine 90°-Schraube vollführen. Die Glasplättchen befinden sich zwischen zwei gekreuzten Polarisationsfolien. Die erste Folie polarisiert das einfallende Licht. Die Polarisationsebene dieses Lichtes folgt nun der Schraubenstruktur. Das Licht wird mitgedreht und kann den zweiten Polarisationsfilter ungehindert passieren. Dann wird es an einem Spiegel reflektiert und auf dem Rückweg erneut um 90° gedreht. Es gelangt durch die obere Polarisationsfolie, die Anzeige erscheint hell. Die Glasplättchen sind mit einer durchsichtigen Elektrodenschicht überzogen. Wenn keine Spannung anliegt, bleibt die Schraubenstruktur erhalten. Legt man jedoch ein Feld an, so richten sich die Moleküle mit ihrer Längsachse entlang des Feldes aus. Die Polarisationsrichtung wird nicht mehr gedreht, die Anzeige erscheint dunkel. Ein Display besteht aus einer Vielzahl solcher Zellen, die einzeln angesteuert werden. Durch die einzelnen Pixel entsteht ein Bild. Durch Farbfilter können auch Farben erzeugt und verändert werden. 1. Polarisator U=OV 2. Polarisator einfallendes, unpolarisiertes Licht Keine Spannung, Licht kann durchtreten Moleküle bilden Helix Spiegel 1. Polarisator U=5V 2. Polarisator einfallendes, unpolarisiertes Licht Spannung, Licht kann nicht durchtreten Moleküle richten. sich parallel zum E-Feld aus Spiegel