Abizusammenfassung Physik LK 2020/22 Baden-Württemberg

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Zusammenfassung an einigen Stellen eher ausfürlich gehalten. Im Inhaltsverzeichnis sind die Überschriften klickbar, sodass man an der entsprechenden Stelle im Dokument landet. Das Gleiche gilt zum Beispiel für Querverweise auf andere Abschnitte oder Gleichungsnummern über Gleichzeichen. Damit man diese besser erkennt, habe ich sie eingefärbt. Weil die vielen Themen schnell unübersichtlich werden können, habe ich versucht, die Formeln und Konzepte in zwei Kateogrien aufzuteilen: • Definitionen: dort werden neue Begriffe und Sachverhalte eingeführt, • Resultate: dort werden wichtige Gleichungen und Zwischenergebnisse aber auch Sätze und andere physikalische Spielregeln festgehalten. Zwischendurch findet man auch einige Bemerkungen, die hoffentlich beim Verständnis helfen. Diese Zusammenfassung ist hier zu finden. Sollte es in Zukunft eine überarbeitete Version ge- ben, werde ich sie dort hochladen. Bei Fragen oder Vorschlägen schreibt mir gerne: [email protected]. Ich wünsche allen, die auf diese Zusammenfassung gestoßen sind, gute Vorbereitung auf das Abitur (und/oder Klausuren) und hoffe natürlich auch, dass sie euch weiterhilft! Malte Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik 1.1 Charakteristische Größen. 1.2 Allgemeines 1.3 Wichtige Bewegungen. 2 Dynamik 2.1 Charakteristische Größen 2.2 Impuls 2.3 Kräfte 2.4 Energie. 3 Elektrisches Feld 3.1 Kirchhoff'sche Gesetze 3.2 Grundlagen 3.3 Das Elektrische Feld 3.4 Geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld 3.5 Elektronen im elektrischen Querfeld 3.6 Braun'sche Röhre 4 Magnetfeld 4.1 Magnete allgemein 4.2 Linke-Hand-Regel. 4.3 Die magnetische Flussdichte B 4.4 Lorentz-Kraft 4.5 HALL-Effekt. 4.6 Magnetfeld von langen Spulen 4.7 Elektronen auf einer Kreisbahn: e/m-Bestimmung 4.8 WIEN-Filter (Geschwindigkeitsfilter) 4.9 Massenspektrometer 5 Induktion 5.1 Grundlagen 5.2 Induktion durch... 5.3 Elektrische Wirbelfelder 5.4 Der magnetische Fluss 5.5 Induktionsgesetz und LENZ'sche Regel 5.6 THOMSON'scher Ringversuch. 5.7 Selbstinduktion 5.8 Energie des Magnetfeldes. 5.9 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannungen ii ii 1 1 1 1 3 3334o co 5567451 19 19 19 20 21 22 23 23 24 25 27 27 28 29 30 30 30 32 36 37 INHALTSVERZEICHNIS 5.10 Transformator 5.11 Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld. 6 Maxwell'sche Gleichungen 7 Schwingungen 7.1 Mechanische Schwingungen 7.2 Elektromagnetische Schwingungen 7.3 Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen 8 Wellen 8.1 Mechanische Wellen. 8.2 Interferenz von Wellen 8.3 HUYGENS-Prinzip. 8.4 Elektromagnetische Wellen 9 Licht als elektromagnetische Welle 9.1 Interferenz am Doppelspalt. 9.2 Interferenz am Mehrfachspalt 9.3 Interferenz am optischen Gitter 9.4 Gitterspektren. 9.5 Interferenz am Einzelspalt 9.6 Auswirkungen der endlichen Spaltbreite auf das Interferenzbild 9.7 Polarisation von Licht 9.8 Das Michelson-Interferometer 10 Quantenphysik 10.1 Fotoeffekt 10.2 Plank'sches Wirkungsquantum und Einstein-Gerade 10.3 Welle-Teilchen-Dualismus 10.4 Masse und Impuls von Photonen 10.5 Entstehung von Röntgenstrahlung 10.6 BRAGG-Reflexion 10.7 Elektronenbeugung und DE-BROGLIE-Wellenlänge 10.8 MACH-ZEHNDER-Interferometer 10.9 Quantenobjekte iii 38 39 41 43 43 49 52 55 55 61 62 64 69 69 72 74 75 76 79 80 81 83 83 84 87 87 88 89 90 91 92 Kapitel 1 Kinematik 1.1 Größe Einheit Formel (gleichförmige Bewegung) Formel (beschleunigte Bewegung) s(t) = at² + vot + so v(t) = at S V Charakteristische Größen a m ms-1 ms S = vt V=S= Resultat 1.1 ds dt a = v= dv dt Tabelle 1.1: Charakteristische Größen der Kinematik. 1.2 Allgemeines (i) Die Steigung im t-s-Diagramm stellt die Geschwindigkeit v dar. (ii) Die Fläche unter dem t-v-Diagramm stellt die zurückgelegte Strecke s dar. (iii) Die Steigung im t-v-Diagramm stellt die Beschleunigung a dar. 1.3 Wichtige Bewegungen 1.3.1 Der freie Fall Der Körper startet bei einer höhe ho ohne Anfangsgeschwindigkeit. Die Beschleunigung g ist immer senkrecht nach unten gerichtet. Damit ergibt sich das Bewegungsgesetz h(t) = ho 1 1 2gt². (1.1) KAPITEL 1. KINEMATIK 1.3.2 Der waagerechte Wurf Definition 1.1 Beim waagerechten Wurf überlagern sich zwei Bewegungen eine gleichför- mige in x-Richtung und eine gleichförmig beschleunigte in y-Richtung. نما Der Körper startet in der Höhe ho. Die Beschleunigung g ist senkrecht nach unten gerichtet. Der Körper startet mit einer Geschwindigkeit vor, die senkrecht zur Beschleunigungsrichtung steht. ✓x (t) vy(t) Abbildung 1.1: Geschwindigkeitskomponenten beim waagerechten Wurf. Die horizontale Bewegung ist gleichförmig: vo, =const., daher Sz(t) =Ur0 t. Die vertikale Bewegung (der freie Fall) ist beschleunigt: Außerdem folgt mit Abbildung 1.1: h(t) =ho - gt². tan 0 = v² = v² + v²³ ² ✓ct) Vy Vx ←V= 2 - /v²/ + v². (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) Kapitel 2 Dynamik 2.1 Charakteristische Größen Einheit Formel kgms p = mv N = kgms 2 F = p = mi= ma J = kgm²s 2 W = F. As Tabelle 2.1: Charakteristische Größen der Dynamik. 2.2 Impuls Größe P F W Name Impuls. Kraft Arbeit Resultat 2.1 Impulserhaltungssatz. Die Summe aller Impulse in einem abgeschlossenen System bleibt konstant. Es gilt der Impul- serhaltungssatz: P₁+ P₂ + ... + Pn = P = const. 2.3 Kräfte Es gelten die NEWTON'schen Axiome: (i) Wenn die Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte 0 ist, bleibt die Geschwindigkeit konstant. (ii) Kraft und Impuls hängen durch F = p = mi = ma zusammen. (iii) Zu jeder wirkenden Kraft wirkt eine ihr vom Betrag her gleich große Kraft entgegen: F₁-F₂ ("actio=reactio"). == 3 2.4 Energie Resultat 2.2 Energieerhaltungssatz. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. E₁ + E2+...+ En = E= const. In der Mechanik existieren folgende Energieformen: Größe Ep Ekin Espann Formel Ep = mgh Ekin = mv² KAPITEL 2. DYNAMIK ESpann Dr² Beschreibung Lageenergie, bzw. potentielle Energie für einen Körper im Gravitationsfeld. Bewegungsenergie, bzw. kinetische Energie für einen bewegten Körper. Spannenergie, bzw. elastische Energie für Federn. In gewisser Weise auch potentielle Energie. Tabelle 2.2: Energieformen in der Mechanik 4 Kapitel 3 Elektrisches Feld 3.1 3.1.1 Knotenregel Kirchhoff'sche Gesetze BE4 Abbildung 3.1: Knotenregel: In jedem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. Resultat 3.1 Damit gilt Ihin = Iab ⇒ I₁ = I2 + I3 + I4. Bemerkung 3.1 Multipliziert man Gleichung 3.1 mit einem Zeitintervall At, folgt Q₁ Q2 + Q3 + Q4. Die Knotenregel beschreibt also die Erhaltung von elektrischer Ladung. 5 (3.1) (3.2) 3.1.2 Maschenregel KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Resultat 3.2 Damit gilt In Abbildung 3.2: P2 PA R3 Abbildung 3.2: Maschenregel: Verfolgt man einen Stromzweig von einem Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der anliegenden Quelle. 3.2 Grundlagen 3.2.1 Ladung xx Иль Uo=U₁+U₂ + ... + Un U=U₁+U₂ und U=U₁+U3 + U4. 6 Bemerkung 3.2 Multipliziert man Gleichung 3.3 mit der Ladung Q, folgt Eo=E₁ + E₂ + ... + En. Die Maschenregel beschreibt also die Erhaltung der Energie über den Stromkreis. (3.3) (3.4) (3.5) Definition 3.1 Ladungen können positiv oder negativ sein. Elektronen tragen negative Ladun- gen, Protonen positive Ladungen. Ladungen sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e≈ 1,6-10-¹⁹ C. 3.2.2 Influenz Definition 3.2 Unter elektrischer Influenz versteht man die räumliche Ladungstrennung unter Einfluss eines elektrischen Feldes. Dies ist deshalb möglich, weil die Elektronen in einem leitenden Körper (z. B. einem Metall) nahezu frei beweglich sind, während die Atomrümpfe fest verankert sind. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Abbildung 3.3: Influenz bei einem ungeladenen Metallkügelchen. Links. Es befindet sich ein neutral geladenes Metallkügelchen zwischen zwei Ladungsträgern. Mitte. Die Ladungen innerhalb des Metallkügelchens werden getrennt (Influenz). Das Metall- kügelchen wird vom Pluspol angezogen. Rechts. Der Pluspol lädt das Metallkügelchen elektrisch auf (Ladungsübertragung). Weil sich gleichnamige Ladungen abstoßen, wird die Kugel in Richtung Minuspol bewegt. 3.2.3 Polarisation G E Abbildung 3.4: Pola- risation eines Isolators. Auch auf nicht leitende Körper (Isolatoren) wird durch ein elektri- sches Feld eine Wirkung ausgeübt. Die relativ unbeweglichen Ladungen richten sich an ihrer Stelle in Richtung des Außenfeldes aus und bilden Dipole. Dadurch kann sich ihre Oberfläche elektrisch aufladen. 3.3 Das Elektrische Feld 3.3.1 Elektrische Feldlinien • Feldlinien stehen in jedem Punkt senkrecht auf den Leiteroberflächen. • Feldlinien beginnen auf positiven Ladungsträgern und enden auf negativen. . Feldlinien durchkreuzen sich nicht gegenseitig. • Die Richtung der Feldlinien gibt in jedem Punkt die Richtung der Kraft Fel an, die auf eine positive Probeladung wirken würde. • Die Dichte der Feldlinien steht symbolisch für die Stärke E des elektrischen Feldes. 7 3.3.2 Faraday'scher Käfig Definition 3.3 Ein Faraday'scher Käfig ist ein allseitig geschlossener Leiter, dessen Inneres als Folge von Influenz feldfrei ist. 101 Abbildung 3.5: Fara- day-Käfig. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD 3.3.3 Die elektrische Feldstärke E In der Umgebung elektrisch geladener Körper existieren elektrische Felder. Diese Felder üben eine Kraft Fel auf Ladungen aus, die sich darin befinden. Diese Kraft kann gemessen werden. Definition 3.4 Die elektrische Feldstärke ist definiert als Fel 9 € Im Inneren des Metallrings werden durch Influenz Ladungen getrennt. Es bildet sich daher ein gleich starkes elektrisches Feld aus, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Beide Felder heben sich im Inneren des Metallrings auf: Ēa + Ēi = 0. L Der elektrische Feldvektor E zeigt für q> 0 in dieselbe Richtung wie Fe, für q < 0 in die entgegengesetzte Richtung. L 3.3.4 Messmethode zur Bestimmung der elektrischen Feldstärke E Abbildung 3.6: E- Bestimmung. E = (3.6) Ein entladenes Metallkügelchen wird in das homogene Feld ei- nes Plattenkondensators (hier Richtung nach rechts) gehängt. Da es elektrisch neutral ist, erfährt es erst einmal keine Auslen- kung. Dem Metallkügelchen wird (z. B. durch Berührung mit der linken Kon- densatorplatte) Ladung zugeführt. Die Auslenkung s wird mit Licht an die Wand projiziert. 8 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Die resultierende Zugkraft Fs des Seils kann in zwei Komponenten zerlegt werden: • eine horizontale Komponente: Die elektrische Feldkraft Fel • eine vertikale Komponente: Die Gewichtskraft FG. Im großen Dreieck gilt Im Kräfte-Dreieck sin = sin = tan 0 ⇒ tan 0 = Für ausreichend kleine Winkel (0 ≤ 5°) ist: Fel 1 FG E = 3.3.5 Das elektrische Potential Resultat 3.3 Und damit für die elektrische Feldstärke: Fel q S Fel FG ⇒ Fel=FG 9 mgs ql S mgs 1 1 S (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) Definition 3.5 Das elektrische Potential & eines Punktes P ist die Spannung von P gegen ein Bezugsniveau B. Resultat 3.4 Die Spannung zwischen zwei Punkten P₁ und P₂ ist die Potentialdifferenz: U = A4 = 4P₂ - P₁. (3.11) Beim elektrischen Feld legt man die negative Platte als Bezugspunkt mit dem Potential 40 = OV fest. Damit besteht zwischen einem beliebigen Punkte und der negativen Platte die Spannung U = A4 = 4p - Yo=P-OV = OP. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD مو , s, ис соб Abbildung 3.7: Äquipotentiallinien eines Plattenkondensators. ہو Definition 3.6 Zu den Feldlinien senkrechte Linien werden Äquipotentiallinien genannt. Bewegt man eine Ladung senkrecht zu den Feldlinien, also längs der Äquipotentiallinien, so ändert sich ihre potentielle Energie im elektrischen Feld nicht, damit auch nicht ihr Potential. Zwischen Punkten, die auf derselben Äquipotentiallinie liegen, besteht keine Spannung, da U = Ap=0V. 3.3.6 Spannung und Potential beim Plattenkondensator Definition 3.7 Der Plattenkondensator ist ein Bauteil zum Speichern von elektrischen Ladun- gen und damit auch elektrischer Energie. Ist er geladen, so ist eine Platte positiv, die andere negativ geladen. Deshalb entsteht ein ho- mogenes elektrisches Feld dazwischen. ++++ Spannung tritt dann auf, wenn entgegengesetzte Ladungen unter Energieaufwand getrennt wer- den. Die dafür aufgewandte Energie steckt dann im elektrischen Feld. Zur besseren Vergleich- barkeit hier eine Betrachtung von Gravitations- und elektrischem Feld. 10 -m (a) elektrisches Feld. (b) Gravitationsfeld. Abbildung 3.8: Vergleich: Elektrisches Feld & Gravitationsfeld. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Die elektrische Spannung ist der Quotient aus der potentiellen Energie Ep und der elektrischen Ladung q. Im elektrischen Feld ist (analog zum Gravitationsfeld mit Ep = mgh und m = q): Daher gilt für die Spannung Ep = =qEs. Ер qEs 9 9 U = = E = Resultat 3.5 Für die elektrische Feldstärke eines Plattenkondensators mit Plattenabstand d gilt mit angelegter Spannung U daher U d 3.3.7 Kapazität eines Plattenkondensators = Es. Q U mit der Einheit 1 = 1F Farad. Damit ist die Kondensatorkapazität die Steigung in einem U-Q-Diagramm. Definition 3.8 Die Kapazität C eines Kondensators ist der Quotient aus der Ladung Q auf den Platten und der angelegten elektrischen Spannung U: C = E0€r * Eel = Resultat 3.6 Die Kapazität eines Kondensators mit der Plattenfläche A und dem Plattenab- stand d ist: (3.12) A 11 (3.13) d' CU². (3.14) Resultat 3.7 Die Energie im Feld eines mit der Spannung U geladenen Plattenkondensators der Kapazität C ist: (3.15) (3.16) 3.3.8 Lade- und Entladevorgang des Plattenkondensators Der Aufladevorgang erfolgt duch Anlegen einer äußeren Stromquelle, der Entladevorgang über einen elektrischen Widerstand R. Loden KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Ladevorgang. Entladen Dann ist I = 0. t Loden (a) Verlauf der Kondensatorspannung. (b) Verlauf der Stromstärke. Abbildung 3.9: Zeitlicher Verlauf von Kondensatorspannung und Stromstärke beim Ein- und Ausschalten des Kondensators. Entladen t Beim Ladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell zu und steigt dann immer langsamer. Das liegt daran, dass das im Kondensator entstehende elektrische Feld dem Ladevorgang ent- gegenwirkt. Dadurch hemmt es auch die Stromstärke, die sich dann asymptotisch 0 annähert. Das geschieht solange, bis Uc = Uo mit Uc Kondensatorspannung; Uo= angelegte Spannung. 12 Entladevorgang. Nach dem Ladevorgang ist die gesamte Energie als Feldenergie gespeichert. Beim Entladen wird diese wieder frei. Beim Entladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell ab und sinkt dann immer langsamer. Das liegt daran, dass die Kondensatorspannung, die den Strom antreibt, abnimmt, je mehr Ladung abgeflossen ist. Wenn die Spannung sinkt, sinkt auch der Betrag der Stromstärke (vgl. Abb. 3.9 (b)). 3.3.9 Vergleich: Gravitationsfeld und elektrisches Feld Zur Veranschaulichung noch einmal die Abbildung aus Abschnitt 3.3.6: KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD pers Kriterium Feldkraft charakteristische Eigenschaft des Probekö- QTV (a) elektrisches Feld. (b) Gravitationsfeld. Abbildung 3.10: Vergleich: Elektrisches Feld & Gravitationsfeld. Abhängigkeit der Feldkraft von der charak- teristischen Eigenschaft Wirkung der Kräfte Betrag der Feldstärke Potentielle Energie Ab-/Zunahme der potentiellen Energie Potential sich entsprechende Größen ¹bedeutet proportional zu... Gravitationsfeld FG = mg Masse m FG x m¹ THLO 13 nur Anziehung 9=1Nkg-1 Ep = mgh zu: entgegen FG ab: in Richtung FG = gh YG = FG m Ер m mgh m Elektrisches Feld Fel=qE Ladung q Fel xq Anziehung & Absto- Bung E = 1NC-1 Ep =qEs zu: entgegen Fel ab: in Richtung Fel Ep qEs Es Pel = 9 9 Fel 9 h Tabelle 3.1: Vergleich: Gravitationsfeld & elektrisches Feld. 9 E S 3.4 Geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld Ein geladenes Teilchen erfährt im elektrischen Feld die elektrische Feldkraft Fel, die das Teilchen beschleunigt. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Für Fel gilt Abbildung 3.11: Geladene Teilchen, die sich parallel zu den elektrischen Feldlinien bewegen. Die Summe aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte ist gleich der beschleunigenden Kraft: Fel = ma (3.17) Einsetzen in Gleichung 3.17 liefert: qUc d Für die kinetische Energie gilt Resultat 3.8 Fel Einsetzen in Gleichung 3.20 liefert: Fer qUc (3.19) Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die elektrische Energie Eet des Feldes in kinetische Energie Ekin des Teilchens umgewandelt wird: Eel = Ekin. Für die elektrische Energie bei angelegter Spannung U und Ladung q des Teilchens gilt Eel = qUc; = Fel=qE= qUc d qUc =ma a= md Ekin = = 1/2mv². ⇒V= 14 (3.18) 2qUc m (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD 3.5 Elektronen im elektrischen Querfeld -> + Abbildung 3.12: Elektronen, die sich senkrecht zu einem elektrischen Feld bewegen. Tritt ein Elektron mit der Ausgangsgeschwindigkeit vo senkrecht zu den Feldlinien in ein ho- mogenes elektrisches Feld ein, so wirkt die elektrische Feldkraft Fet auf das Teilchen. Diese bewirkt eines Ablenkung des Elektrons gegenüber der ursprünglichen Flugrichtung. Das Elektron bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn. Resultat 3.9 Für die horizontale Bewegung gilt: Sx (t) t VO,x ⇒ t = Resultat 3.10 Für die vertikale Bewegung: (3.14) 1 eUc 2 md 1 sy(t) = -at² 2 res 15 +2 ST(t) VO,x (3.19) eUc Sa(t)² 2md vox (3.24) (3.25) 3.6 Braun'sche Röhre Eine Braun'sche Röhre besteht aus einem System zum Erzeugen eines Elektronenstrahls, einem Ablenksystem und einem Leuchtschirm. KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Heizwendel Ин Wehnelt-Zylinder Loch-Anode O O O Hallerkondensator Ulo evakuierter Glaskelber Abbildung 3.13: Aufbau einer Braun'sche Röhre. Aufgrund des glühelektrischen Effekts treten Elektronen aus der Heizwendel aus, an der die Spannung UH anliegt. VO,x e-Strahl Diese werden dann durch die Anodenspannung UA von der Kathode zur Anode beschleunigt. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt: = Sx (t) Eel = Ekin 1 eUA = mev² 2 V= Resultat 3.11 Für die horizontale Bewegung gilt: Die Elektronen gelangen also mit der Geschwindigkeit vo = 2eUA me zur Anode und werden da- nach in x-Richtung nicht mehr beschleunigt. Stattdessen wirkt auf sie die elektrische Feldkraft Fel, die die Elektronen in y-Richtung beschleunigt. Nachdem die Elektronen aus dem Kondensator (Ablenksystem) austreten, handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung, die sich aus der vektoriellen Addition von vor und Uy,max zusam- mensetzt. Leuchtschirm 2eUA me ⇒ t = 16 Sz(t) (3.19) Sz(t) VO,x 2eUA me (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Widmen wir uns der vertikalen Bewegung: Die Elektronen werden von der elektrischen Feldkraft F in y-Richtung beschleunigt, daher folgt analog zu Gleichung 3.19 mit q = e und m = me: Resultat 3.12 Damit folgt für sy(t): Sy(t) 1 (3.25) eUc at² 2med a = eUc med .+2 (3.24) eUc 2med 17 Sx (t) 2eUA me 2 Ucsz(t)² 4U Ad (3.30) (3.31) Kapitel 4 Magnetfeld 4.1 Magnete allgemein Definition 4.1 Magnete sind Körper, die andere Körper in ihrer Umgebung magnetisch beein- flussen können (= Kraft ausüben). Es gibt zwei Arten von Magneten: • Dauermagnete: bestehen aus ferromagnetischen Stoffen; haben winzige "Elementarma- gnete". Elektromagnete: stromdurchflossene Leiter besitzen ein Magnetfeld. Jeder Magnet besitzt einen Nord- und einen Südpol. Er wird von einem Feld umgeben, das symbolisch durch Magnetfeldlinien dargestellt werden kann. Diese verlaufen vom Nordpol zum Südpol. Definition 4.2 Gleichnamige Polungen stoßen sich ab, ungleichnamige Polungen ziehen sich an. 4.2 Linke-Hand-Regel Bei einem stromdurchflossenen Leiter lässt sich die Richtung des Magnetfeldes mithlife der Linken-Hand-Regel bestimmen. Richtung das Der Daumen der linken Hand zeigt in die Richtung des Elektronenflus- Magret faldes ses (von nach +). Dann geben die gekrümmten Finger die Richtung der magnetischen Feldlinien an. Das so ermittelte Feld besitzt allerdings keinen Nord- oder Südpol, sondern ist in sich geschlossen. Man spricht auch von magnetischen Wirbelfeldern. Abbildung Linke-Hand-Regel 4.1: 19 KAPITEL 4. MAGNETFELD 4.3 Die magnetische Flussdichte B Definition 4.3 Die magnetische Flussdichte B ist ein Maß für die Stärke eines Magnetfeldes. Sie kann wie folgt ermittelt werden: 1200 区 TH 20 TH -> Abbildung 4.2: Bestimmung der magnetischen Flussdichte eines Leiterrahmens der Breite s. Auf den Leiter wirkt auf jeder Seite im Magnetfeld die Lorentzkraft FL. Die Kräfte, die nach links und rechts zeigen, heben sich gegenseitig auf, sodass nur die nach unten zeigende Kraft übrig bleibt. Diese wird mit einem Kraftmesser gemessen. Dabei wird... ¹Dieses Zeichen bedeutet proportional zu einmal I verändert, während s konstant bleibt, und... ... s verändert, während I konstant bleibt. Es ist FL x ¹I und FL x s, daher FL x I. s. ↑ TH Bemerkung 4.1 Sind zwei Größen proportional zueinander, ist ihr Quotient konstant. Der Quotient aus F₁ und Is wird als magnetische Flussdichte B bezeichnet. FL Is =const. B. 20 (4.1) KAPITEL 4. MAGNETFELD Die magnetische Flussdichte besitzt die Einheit 1NA-¹m¹ = 1T (Tesla). Umstellen von Glei- chung 4.1 nach FL liefert einen Ausruck für die Lorentzkraft auf einen Leiter mit n Windungen der Breite s, der von einem Strom der Stärke I durchflossen wird: Resultat 4.1 4.4 Lorentz-Kraft FL= nBIs Definition 4.4 Auf Ladungsträger, die sich senkrecht im Magnetfeld bewegen, wirkt die Lorentz-Kraft. Sie ist senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld gerichtet. 4.4.1 Drei-Finger-Regel Mithilfe der Drei-Finger-Regel kann man ihre Richtung für bewegte Ladungsträger ermitteln. V= ē Abbildung 4.3: Drei-Fingerregel: Der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung des Ladungs- trägers, der Zeigefinger zeigt in die Richtung des Magnetfeldes, der Mittelfinger zeigt in Rich- tung der Lorentz-Kraft. Umgekehrt lässt sich die Richtung der Lorentzkraft auf positive Ladungsträger mit der rechten Hand bestimmen. As At 4.4.2 Lorentzkraft auf ein Elektron Man betrachte ein Leiterstück der Länge s, in dem sich N freie Elektronen mit Ladung e befinden. Im Leiterstück fließt also die bewegliche Ladung Q = Ne Die Elektronen bewegen sich mit der Driftgeschwindigkeit v mit (4.2) →At= 21 Ouv As V (4.3) (4.4) Damit gilt für die Stromstärke KAPITEL 4. MAGNETFELD Einsetzen in Gleichung 4.2 liefert: I = AQ (4.3) Ne (4.4) Nev At At S Nev FL= BIS= B. ..s=NBev. S Resultat 4.2 Diese Formel gilt analog für Teilchen beliebiger Ladung q: FL= NBqv. Abbildung 4.4: Halleffekt und Hallspannung. 4.5 Hall-Effekt Wird ein stromdurchflossener Leiter senkrecht von einem Magnetfeld durchsetzt, so wirkt auf die bewegten Elektronen die Lorentzkraft FL. Ин (4.5) (4.6) (4.7) Diese ist in diesem Beispiel nach unten gerichtet und sorgt dafür, dass sich die Elektronen nach unten bewegen. 22 In der Folge entsteht an der Unterseite ein Elektronenüberschuss (Punkt B) und an der Ober- seite ein Elektronenmangel (Punkt A). Zwischen Ober- und Unterseite entsteht eine Potential- differenz, die als Hallspannung UH messbar ist. UH hv Durch den Elektronenüberschuss bzw. Elektronenmangel entsteht ein elektrisches Feld, wodurch auf die Elektronen zunehmend die elektrische Feldkraft Fe wirkt. Das Feld wird gerade so groß, dass ein Kräftegleichgewicht zwischen FL und Fe entsteht. Es gilt: FL= Fel Bev=eE UH Bu = ⇒ B= h Durch Messung von h, v und U kann damit die magnetische Flussdichte B bestimmt werden. (4.8) (4.9) 4.6 Magnetfeld von langen Spulen Stromdurchflossene Leiter erzeugen Magnetfelder - dazu gehören auch Spulen. Im Inneren einer langgestreckten Spule (auch schlanke Spule) ist das Magnetfeld homogen, in einer dicken Spule nicht. Resultat 4.3 Im Falle von langen Spulen ist die magnetische Flussdichte B = Hofr (4.10) mit n Windungen, 1 Länge der Spule, I die Stärke des Stroms, der die Spule durchfließt und Ho, Hr Konstanten. 4.7 Elektronen auf einer Kreisbahn: e/m-Bestimmung Aus der Glühkathode treten Elektronen aus, die dann zur Anode hin auf die Geschwindigkeit v beschleunigt werden. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt 6+ to Anode kathode KAPITEL 4. MAGNETFELD [00000 Schutzblech e Z Eel Anschließend gelangen sie in ein homogenes, von zwei HELMHOLTZ-Spulen erzeugtes, Magnet- feld. Auf die Elektronen wirkt die Lorentzkraft FL, welche nach der Drei-Finger-Regel immer zum Kreismittelpunkt gerichtet ist. eU = = n ·7·1, Abbildung 4.5: Kreisbahn der Elek- tronen. Ekin 1 mev² ⇒V= 2 2eU me Da die Lorentzkraft immer senkrecht zur Elektronenbe- wegung steht, erhalten die Elektronen keine zusätzliche kinetische Energie; Nur die Richtung der Geschwindig- keit ändert sich nicht der Betrag. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft Fz und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn. Daher gilt: Umstellen nach e me Br FL= Fz 23 Bev= mev² r liefert: ⇒r= 2eU V (4.13) me quadrieren e Br (4.11) (4.12) mev Be 2U me B²r2 (4.13) (4.14) (4.15) Da die Ladung e des Elektrons bekannt ist, lässt sich die Masse me problemlos ausrechnen. Man erhält me≈ 9, 11-10-31 kg. KAPITEL 4. MAGNETFELD 4.8 Wien-Filter (Geschwindigkeitsfilter) Definition 4.5 Der Geschwindigkeitsfilter besteht aus zwei Feldern: . Einem elektrischen Feld der Stärke E • Einem Magnetfeld der Flussdichte B. + + TAA + + + + + + THE TH Abbildung 4.6: Wien-Filter Schema. Damit ein Teilchen (hier ein Elektron) den Geschwindigkeitsfilter passieren kann, muss sich ein Kräftegleichgewicht zwischen FL und Fel einstellen. FL= Fel BeveEv= 24 E B (4.16) (4.17) Es gelangen also nur Teilchen mit einer spezifischen Geschwindigkeit v durch den Filter. Alle anderen Teilchen werden nach oben oder unten abgelenkt. Masse oder Ladung spielen dabei keine Rolle. 4.9 KAPITEL 4. MAGNETFELD Massenspektrometer Definition 4.6 Das Massenspektrometer besteht aus einem Geschwindigkeitsfilter mit einem elektrischen Feld der Stärke E und einem magnetischen Feld der Flussdichte B₁, sowie einem Massentrenner. Der Massentrenner besteht aus einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B₂ und einer Fotoplatte. Lochblende Wien-Filter Abbildung 4.7: Massenspektrometer. Treten geladene Teilchen in das Magnetfeld B2 ein, werden sie auf einer Kreisbahn abgelenkt. Analog zu Elektronen auf einer Kreisbahn wirkt auch hier die Lorentzkraft FL als Zentripetal- kraft Fz: FL= Fz B₂qv = B29= = mv² T mu ←m= 25 B₂gr V (4.18) (4.19) (4.20) Kapitel 5 Induktion 5.1 Grundlagen Definition 5.1 Induktion. Elektrische Spannung wird in einer Leiterschleife induziert, wenn sich die Anzahl der magneti- schen Feldlinien, die ihre Querschnittsfläche senkrecht durchsetzen, zeitlich ändert (FARADAY). Im Magnetfeld wird ein Leiter mit freien Elektronen senkrecht zu einem Magnetfeld mit ei- ner Geschwindigkeit v bewegt. Dadurch wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft FL. Somit entsteht an einer Seite ein Elektronenüberschuss, an der anderen ein Elektronenmangel. Diese Potentialdifferenz ist als Induktionsspannung Uind messbar. Gleichzeitig entsteht auch ein elektrisches Feld, ähnlich wie bei der HALL-Sonde, wodurch auf die Elektronen im Leiter die elektrische Feldkraft FL ausgeübt wird, die der Lorentzkraft FL entgegengerichtet ist, sodass ein Kräftegleichgewicht entsteht: Fel = FL eEnBev Uind d = nBv (5.1) (5.2) (5.3) Resultat 5.1 Damit gilt für die Induktionsspannung für eine Leiterschlaufe mit n Windungen: Uind = nBdv. (5.4) 27 5.2 Induktion durch... 5.2.1 Änderung der wirksamen Fläche A ... KAPITEL 5. INDUKTION a Wind=0 wobei für die Geschwindigkeit v gilt: (a). (b) . Abbildung 5.1: Induktion durch Flächenänderung. V= Eine Leiterschleife der Breite a und Höhe b wird in ein homogenes Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien eingeschoben. Dabei verändert sich die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche A zeitlich, wodurch eine Spannung induziert wird. Für die Induktionsspannung gilt nach Gleichung 5.4: Uind = nBav, db dt اطل • Wind #0 da Resultat 5.2 Einsetzen von Gleichung 5.6 ind 5.5 liefert: db Uind = nBa. = nB. = nBÀ.¹ dA dt dt ¹Hier bezeichnet À die zeitliche Änderung der Fläche. 28 (5.5) (5.6) Eine andere Möglichkeit, die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche zu ändern, wäre eine Rotation der Leiterschleife. Dazu aber mehr in Abschnitt 5.9. (5.7) KAPITEL 5. INDUKTION 5.2.2 Änderung der magnetischen Flussdichte B Eine Induktionsspule liege in einer felderzeugenden Spule. Ändert man das Feld der Erzeuger- spule durch Ändern der Erregerstromstärke I, wird eine Induktionsspannung in der Indukti- onsspule erzeugt. Resultat 5.3 Für die Induktionsspannung gilt dann: dB Uind = nA. =nAB. dt 5.3 Elektrische Wirbelfelder Man kann das Auftreten einer Induktionsspannung bei einer zeitlichen Änderung des Magnet- feldes nicht durch die Lorentzkraft erklären, wohl aber durch elektrische Wirbelfelder. Definition 5.2 Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld (B) erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Die Feldlinien dieses Wirbelfeldes sind kreisförmig und in sich geschlossen. Richtung d. 870 B-Feldes B40 induziertes el. Wirbel feld Abbildung 5.2: Elektrische Wirbelfelder. (5.8) Die Richtung des Feldstärkevektors E kann mithilfe der Hand bestimmt werden: Links. Es gilt B > 0. Der linke Daumen zeigt in die Richtung von B, die gekrümmten Finger geben die Richtung von E an. 29 Rechts. Es gilt B < 0. Der rechte Daumen zeigt in die Richtung von B, die gekrümmten Finger geben die Richtung von E an. 5.4 Der magnetische Fluss Definition 5.3 Der magnetische Fluss durch eine Fläche A ist das Produkt von magnetischer Flussdichte B und der vom Magnetfeld senkrecht durchsetzten Fläche A: KAPITEL 5. INDUKTION Φ = AB mit der Einheit [] = Tm² = Vs = Wb (Weber). 5.5 Induktionsgesetz und Lenz'sche Regel Resultat 5.4 Lenz'sche Regel. Die Polung einer Induktionsspannung ist immer so gerichtet, dass das durch sie hervorgerufene Magnetfeld seiner Ursache entgegenwirken kann. Resultat 5.5 Eine Spannung wird induziert, wenn sich der magnetische Fluss eines Leiters zeitlich ändert: Uind = -no = -n. · (AB + AB) (5.10) (a) Einschaltvorgang. 5.6 Thomson'scher Ringversuch Die LENZ'sche Regel wird durch den THOMSON'schen Ringversuch bestätigt. in einen bifilar2 aufgehängten Aluminiumring ragt ein Eisenkern, der in einer Spule steckt. 2an zwei Fäden (5.9) (b) Ausschaltvorgang. Abbildung 5.3: Thomson'scher Ringversuch. 30 B<0 KAPITEL 5. INDUKTION Resultat 5.6 Einschaltvorgang. Schließt man den Spulenstromkreis, so wird der Ring abgestoßen. Nachdem der Spulenstromkreis geschlossen wird, nimmt die Stromstärke zu und es baut sich ein Magnetfeld auf (B > 0). Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, was durch die elektrische Feldkraft F die Elektronen im Ring bewegt. Es entsteht also ein Induktionsstrom. Dieser ist nach LENZ so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirken kann. Die Ursache ist hier das Magnetfeld der Spule. Durch die bewegte Ladung entsteht ein Magnetfeld, welches dem Spulenmagnetfeld entgegengerichtet ist. Somit stoßen sich beide Magnetfelder voneinander ab und der Ring bewegt sich nach rechts. Die Polung der Magnetfelder ist durch N und S angedeutet. Resultat 5.7 Ausschaltvorgang. Öffnet man den Spulenstromkreis, so wird der Ring angezogen. Nachdem der Spulenstromkreis geöffnet wird, nimmt die Stromstärke ab und so auch das Ma- gnetfeld (B<0). Im Ring wird wieder ein Induktionsstrom erzeugt, der durch seine Richtung seiner Ursache entgegenwirkt - in diesem Fall der Abnahme des Magnetfeldes. Dadurch entsteht ein Magnetfeld, das so gepolt ist, dass es vom Spulenmagnetfeld angezogen wird. 31 KAPITEL 5. INDUKTION 5.7 Selbstinduktion 5.7.1 Versuchsaufbau und Phänomen Abbildung 5.4: Schaltskizze: Selbstinduktion. Resultat 5.8 Einschalten. Das Lämpchen 2 leuchtet erst mit Verzögerung gegenüber Lämp- chen 1 Im Spulenstromkreis steigt die Stromstärke verzögert an. Schließt man den Schalter, steigt die Stromstärke an und bewirkt den Anstieg des Magnetfeldes der Spule (B > 0), was eine Spannung induziert. Diese wirkt nach LENZ ihrer Ursache entgegen (Anstieg der Stromstärke) und hemmt diesen. Resultat 5.9 Ausschalten. Das Lämpchen 2 leuchtet nach dem Ausschalten kurz weiter, während das Lämpchen 1 sofort erlischt Im Spulenstromkreis fällt die Stromstärke verzögert ab. Öffnet man den Schalter, fällt die Stromstärke ab. Das bewirkt den Abfall des Magnetfeldes der Spule (B < 0), was eine Spannung induziert. Diese wirkt nach LENZ ihrer Ursache entgegen (Abfall der Stromstärke) und lässt diese somit weiterfließen. 32 5.7.2 Formel und Herleitung Die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche der Spule bleibt konstant À = 0. Damit gilt für die Induktionsspannung in der Spule: Resultat 5.10 N Vind = n. n A B mit B = μlo fly. KAPITEL 5. INDUKTION n Uind=n·A· Hor · ·İ = − L · İ. Die Einheit ist [L] = H Henry. I (t) Definition 5.4 Es handelt sich bei der Induktivität L um eine spulenspezifische Größe, die nur von der Geometrie der Spule abhängt: = L 5.7.3 Differentialgleichung des Einschaltvorgangs Im Stromkreis treten zwei Spannungen (in Reihe geschaltet) auf: U(t)=U₁+Uind(t). Für die Gesamtstromstärke I(t) des Stromkreises gilt i = L = μ · μ · Α· • die von außen angelegte Spannung Uo, • die Induktionsspannung der Spule Uind = −L · İ. Diese addieren sich zu jedem Zeitpunkt t zur Gesamtspannung U(t) des Stromkreises: const. n² 1 Uo R α U (t) Uo+Uind(t) Uo - L. İ(t) R R R Resultat 5.11 Dies liefert eine Differentialgleichung 1. Ordnung: R I⇒ İ=a-BI. L 33 .I. (5.11) (5.12) (5.13) (5.14) (5.15) dI j = =a-BI ⇒ dt Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt durch durch Trennung der Variablen: 1 S₁ - 87³¹= Sat dI dt a - BI 1 →- In (a - BI)=t+c KAPITEL 5. INDUKTION 1 a-BI dI = dt ⇒ Zum Zeitpunkt t = 0 fließt kein Strom Resultat 5.13 Resultat 5.12 Damit folgt als allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 1 1(t) = // (α = ye ²). (a - Ye-ßt). Einsetzen von y = a in Gleichung 5.16, liefert: Resultat 5.14 I(0) = 0. I(0) = ay = 0⇒a=y und mit den Werten für a und 3 von oben: ⇒a-BI=e-Bt-Bc ⇒-BI=ye-Bt - a In (a-BI) = -B (t + c) -Bt I(t) = (a - ae-³t) = (1 - e-ßt) I(t): Uo 1-1/0 (1-e e-£.·t). R = e -Вс 34 Uind (t) = U(t)- Uo, wobei U(t) zu jedem Zeitpunkt mit dem OHM'schen Gesetz berechnet werden kann: Uind(t) = RI(t). Ye-Bt Uo Uind(t) = U(t) – U₁ = RI (t) – U₁ = R. (1 – e-£·¹) — Uo = −Uo · e¯¤·t - R (5.16) Um eine Gleichung für die Induktionsspannung Uind(t) zu ermitteln, wird Gleichung 5.14 um- gestellt: (5.17) (5.18) (5.19) (5.20) (5.21) (5.22) KAPITEL 5. INDUKTION 5.7.4 Differentialgleichung des Ausschaltvorgangs Beim Ausschaltvorgang kann die Spule L durch die Induktionsspannung und einen eigenen Widerstand Rsp ersetzt werden: PA PA dI dt Abbildung 5.5: Ausschaltvorgang Spule. Betrachtet man die in Reihe geschalteten Widerstände R₁ und Rsp als Gesamtwiderstand R, gilt: (5.23) RSP lim Wind- Resultat 5.15 Dies liefert eine Differentialgleichung 1. Ordnung: 0047 RI(t) = Uind = R L I R Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: = -Lİ. L . I. 35 R ⇒ln(I) = - Uo 1 (1 - e - 2·¹)) RSP L ·Sar-S-Rat = L -t + c = -dt Resultat 5.16 Damit folgt als allgemeine Lösung der Differentialgleichung: I=e=B²t+c =ye-B²-t Uo Rsp R L Zum Zeitpunkt t = 0 ist I(0) = 7. Dieser Wert muss dem Wert entsprechen, den die Stromstärke nach dem Einschaltvorgang hatte. Dazu betrachtet man Gleichung 5.19 für t→∞: - Wind dt = 7. (5.24) Damit gilt für die Stromstärke beim Ausschaltvorgang: Resultat 5.17 mit I bzw. I wie oben. KAPITEL 5. INDUKTION Resultat 5.18 I(t) Für die Induktionsspannung gilt nach wie vor: = Uind(t) = −Lİ (t) = L. Für die elektrische Leistung gilt Uo Rsp Io Uind(t) = −Lİ(t) Uo R · e-£.t = U₁ · Rsp L P = dWm dt kann die abgegebene magnetische Energie Wm berechnet werden: Wm= ∞ 5.8 Energie des Magnetfeldes Herleitung für die Energie des Magnetfeldes unter Betrachtung des Ausschaltvorgangs. Nachdem der Stromkreis geöffnet wird, geht die im Magnetfeld gespeicherte Energie nicht einfach verloren, sondern wird am Widerstand abgegeben. Aus der Leistung - 0 Pdt. P = UI RI². Somit muss über den elektrischen Strom I integriert werden: (U=RI) = R Rsp Wm= dt R1²-2R² 36 e-.t. Wm= R 12dt, nfra 0 wobei die Lösung der Differentialgleichung des Ausschaltvorgangs ist: 00 L L R] 13e-¹ at = R13 - 2/2 = -26 · (0 - 1) = | LB. e 0 0 (5.25) (5.26) (5.27) (5.28) (5.29) (5.30) (5.31) (5.32) Resultat 5.19 Die Energie des Magnetfeldes ist also 1 Wm= 2LI2. 5.9 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannungen Definition 5.5 Durch Drehung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld kommt es zu einer Änderung der vom Magnetfeld senkrecht durchsetzten Fläche As. Dadurch wird eine sinusför- mige Induktionsspannung erzeugt (Generatorprinzip). KAPITEL 5. INDUKTION Resultat 5.20 Für die senkrechte Projektion der Fläche A gilt: Vind = −n.Ġ = −n. Abbildung 5.6: Rotierende Leiterschlaufe. Das Magnetfeld bleibt konstant ⇒ B=0. Damit gilt für die Induktionsspannung: A A d(A,B) dt A, A sin 0 = A sin(wt + 6) dAs dt = -n-B.. = -n.B. 37 d (A sin(wt + p)) dt (5.33) nAwB cos(wt+p). Ü (5.34) илф û ENTZENIZE +ûf -û 0 -ût KAPITEL 5. INDUKTION 플/표 0 J Abbildung 5.8: Wechselspannung. 5.10 Transformator Abbildung 5.7: Verlauf sinusförmige Induktionsspannung und Leiterschlaufenposition. Bemerkung 5.1 In obenstehender Abbildung ist A,(0) = A, weshalb y = . Daher ist der Verlauf der Wechselspannung sinusförmig. EIN Fa U₁ n1 12 U₂ N2 I₁ →→O/T maximal ist. Die Spannung ist jeweils dann maximal, wenn die Än- derungsrate des magnetischen Flusses Die Leiterschlaufe steht dann parallel zu den magneti- schen Feldlinien und der magnetische Fluss ist null! Es kommt nicht auf ihn an, sondern auf seine Ände- rungsrate. Definition 5.6 Transformatoren bestehen aus zwei gegeneinander isolierten Spulen, die sich auf einem geschlossenen Eisenkern befinden. Mit ihrer Hilfe kann man die Höhe von Wechsel- spannungen verändern. Transformatoren verändern die Spannung von Wechselstrom mit- hlife von Selbstinduktion. Die Primärspule erzeugt durchgehend durch Wechselspannung ein sich änderndes Magnetfeld (B). Daher ändert sich der magnetische Fluss ($). Dadurch wird in der Sekundärspule eine Spannung induziert, die von U₁ und dem s Verhältnis von n₁ und n2 abhängt. Es gilt: 38 (5.35) Abbildung 5.9: Transfor- mator. 5.11 Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld Kriterium Ursache Feldlinienbedeutung Feldlinienverlauf hohe Feldliniendichte paralleler Feldlinien- verlauf Vorkommen des ho- mogenen Feldes Feldkraft KAPITEL 5. INDUKTION Wirkung der Feldkraft Stärke des Feldes Magnetfeld Dauermagnete oder stromdurch- flossener Leiter Bahn, auf der sich ein magneti-| scher Nordpol bewegen würde Aus dem Nordpol heraus In den Südpol hinein Starkes Magnetfeld homogenes Magnetfeld Hufeisenmagnet Elektrisches Feld Elektrische Ladung 39 Bahn, auf der sich eine unend- lich kleine positive Probeladung bewegen würde Aus dem Pluspol heraus In den Minuspol hinein Starkes elektrisches Feld Homogenes elektrisches Feld Plattenkondensator Lorentzkraft FL auf bewegte La- dung Anziehung und Abstoßung E = Fel q Tabelle 5.1: Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld. Elektrische Feldkraft Fel Anziehung und Abstoßung B = FL Kapitel 6 Maxwell'sche Gleichungen Die Gleichungen beschreiben das Gebiet von Elektrodynamik und Magnetfeldern vollständig. Zwar sind sie vom Bildungsplan nicht zwingend vorgeschrieben, für Interessierte aber sicher spannend. (6.1) Elektrische Feldlinien divergieren voneinander unter Anwesenheit elektrischer Ladungen. Ins- besondere ist die elektrische Ladung die Quelle des elektrischen Feldes. VE = P €0 V. B=0 (6.2) Magnetische Feldlinien divergieren nicht, sie sind insbesondere quellenfrei. Es gibt keine ma- gnetischen Monopole. XE: (6.3) Änderungen in der magnetischen Flussdichte haben ein elektrisches Wirbelfeld zurfolge. Das Minuszeichen entstammt der Lenz'schen Regel. JË Ət Elektrische Ströme haben ein magnetisches Wirbelfeld zurfolge. → x B = μο] + μοτο X ƏB Ət v² f Durch diese Gleichungen konnte die Existenz von elektromagnetischen Wellen lange vor der experimentellen Verifizierung bereits vorhergesagt werden. Für eine Funktion f, die die Gleichung = 1 v² 41 (6.4) 2² f Ət² (6.5) erfüllt, gilt: f beschreibt eine Welle. Dabei ist V2f die zweite Ableitung nach dem Ort, die zweite Ableitung nach der Zeit und v die Geschwindigkeit der Welle. KAPITEL 6. MAXWELL'SCHE GLEICHUNGEN Im freien Raum gilt p = 0 (Ladungsdichte) und J = 0 (Stromdichte). Damit wird aus obenste- henden Gleichungen 7² E = EoHo (6.6) 0² B V²B = = Eolo (6.7) Ət² Das bedeutet: Sowohl das elektrische Feld als auch das magnetische Feld ist eine Welle! Aus- serdem gilt für beide Felder: (6.8) Das ist die Lichtgeschwindigkeit! 1 v² = Eolo Co 8²Ē Ət² 42 1 Γερμα V Kapitel 7 Schwingungen 7.1 Mechanische Schwingungen 7.1.1 Lineares Kraftgesetz beim Federpendel Definition 7.1 Beim Federpendel wirkt eine Kraft auf den Schwingkörper, die stets zur Ru- helage (auch Gleichgewichtslage) gerichtet ist - die Rückstellkraft Frück- Jimmy THU ŝ ↑ THL TH↓ -Ŝ Frück 43 THU Abbildung 7.1: Kräftebetrachtung am Federpendel. Resultat 7.1 Für die Rückstellkraft gilt das lineare Kraftgesetz Frück = - Ds, wobei s die Auslenkung aus der Ruhelage ist. D ist die Federkonstante. (7.1) Eine mechanische Schwingung, die das lineare Kraftgesetz erfüllt, heißt harmonische Schwin- gung. Die aufgezeichneten Schwingungen sind dann sinusförmig. 7.1.2 Mathematische Beschreibung von harmonischen Schwingun- gen 7.1.2.1 Charakteristische Größen Größe Auslenkung Elongation Amplitude KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Schwingungsdauer Periodendauer Frequenz Formelzeichen Einheit S m ŝ=r T = } f = m S 7 T = H₂ Tabelle 7.1: Größen zur Beschreibung von harmonischen Schwingungen. 7.1.2.2 Zeit-Elongation-Gesetz Wir suchen eine Funktion, die die Auslenkung s in Abhängigkeit von t angibt. Bedeutung Abstand des schwingenden Körpers von der Gleichgewichtslage NO maximale Auslenkung Zeit für eine vollständige Schwingung des Körpers Anzahl der Schwingungen pro Sekunde TA Für die Projektion des Zeigers auf die y-Achse gilt Abbildung 7.2: Zeit-Elongation-Betrachtung. 피들 뛰루뚜 44 s(t) = r sin 0 = ŝ. sin 0. CIT 0/T (7.2) Resultat 7.2 Beim Zeigerdiagramm rotiert der Zeiger mit fester Winkelgeschwindigkeit w und es gilt s(t) = 3.sin (wt + p). (7.3) Ableiten nach der Zeit liefert das Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Gesetz. Resultat 7.3 Resultat 7.4 v(t) a(t) KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN = ds = św.cos(wt + y) = û · cos(wt + y). dt dv = -ŝw².sin(wt + y) = -â sin(wt + p). dt Frück = ma 7.1.3 Differentialgleichung der Schwingung - Periodendauer T Wir suchen eine Gleichung für die Periodendauer T der Schwingung. Die Rückstellkraft Frück - Ds ist für die Beschleunigung des Körpers in Richtung der Gleich- gewichtslage verantwortlich, daher: d²s -Ds = m. dt² -Ds sin (wt + p) = −mŝw².sin(wt + p) D = mw² D = m. Resultat 7.5 Damit erhält man für die Periodendauer T T = 2T. 2π) 2 T 45 m VD Für einen zwischen zwei Feder eingespannten Schwingkörper gilt D = D₁ + D2. (7.4) (7.5) (7.6) (7.7) (7.8) (7.9) (7.10) (7.11) 7.1.4 Flüssigkeitspendel Definition 7.2 Bei einem Flüssigkeitspendel schwingt eine Wassersäule der Länge L und einer Gesamtmasse M periodisch hin und her. A S Im 18=1/1/2 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN -M Das Wasser muss in zwei Teilen betrachtet werden. . Das überstehende Wasser der Höhe h und Masse m Das gesamte Wasser der Länge L und Masse M Wenn die Säule schwingt, wirkt die Gewichtskraft des überstehenden Was- sers als Beschleunigungskraft des gesamten Wassers, allerdings ist sie ihr entgegengerichtet. ● erfüllt. Abbildung 7.3: Flüssigkeitspendel. Die jeweiligen Massen können mithilfe der Dichte p des Wassers und dem Volumen ausgedrückt werden: m p= ⇒m=pV V Damit ergibt sich für obenstehende Gleichung: -pgVüber = pav -gVüber = avges (7.14) (7.15) Das jeweilige Volumen kann mithilfe der Querschnittsfläche S des Rohres ausgedrückt werden: = Sh = 2S8 Vüber Vges = SL wobei die Amplitude der Schwingung darstellt. - FG = Ma -mg = Ma. Resultat 7.6 Dies liefert eine Differentialgleichung 2. Ordnung: d²8 dt² -2g. 8 = L. Diese Gleichung wird von der Funktion s(t) = 8. sin wt 46 = h ges 2 (7.12) (7.13) · sin wt (7.16) Einsetzen der Lösungsfunktion liefert: KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN 7.1.5 Fadenpendel 2g = L.w² 2g = L. Resultat 7.7 Damit erhält man einen Ausdruck für die Periodendauer der Schwingung. Frück T = 2π Abbildung 7.4: Fa- denpendel. 2π 2 Frück = FG = mg = pgVüber = 2pSg. 8 = kd und ist proportional zur Auslenkung 8. Die Schwingung ist also harmonisch. Bemerkung 7.1 Die Rückstellkraft Frück ist durch die Gewichtskraft FG der überstehenden Wassersäule gegeben: L √2g Definition 7.3 Bei einem Fadenpendel wird ein Pendelkörper der Masse m an einem Faden aufgehängt, zur Seite angehoben und sich selbst überlassen. Für den Winkel gilt im Bogenmaß: 47 Die Rückstellkraft Frück erhält man durch Zerlegung der Gewichts- kraft FG in zwei Komponenten: eine zur Pendelbahn tangential gerichtete Komponente Frück, eine zur Pendelbahn normal gerichtete Komponente F. 0 = Für die Rückstellkraft Frück gilt: (7.17) (7.18) S Frück FG sin 0 = mg sin 0 (7.19) (7.21) (7.20) mg sin (7.21) (7.22) KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Falls s< 1 (0 ≤ 5°), ist s näherungsweise gleich der horizontalen Projektion sh und es gilt Sh S sin = ≈ 1 1 Damit ist die Rückstellkraft für kleine Winkel F = mg. To Eo=max Dann ist Frück proportional zu s und es gilt das lineare Kraftgesetz Frück = - Ds. Also ist die Schwingung für ≤ 5° harmonisch. T = 27. Resultat 7.8 Damit lässt sich die Periodendauer T folgendermaßen bestimmen: m (7.23) VD 7.1.6 Energie der Schwingung S 1 Ekin-max mg 2TT. .S. m mq 48 = 2TT. g Definition 7.4 Der Pendelkörper wird zunächst aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Dabei wird dem Körper die Elongationsenergie Ep = Ds² zugeführt. Eo=max Ekin =O Abbildung 7.5: Energie der Schwingung. (7.23) max (7.24) Eb=max Exit Im oberen und unteren Umkehrpunkt besitzt der Körper jeweils die Geschwindigkeit v = 0. Seine kinetische Energie ist also 0, während die Elongationsenergie maximal ist. In der Gleichgewichtslage ist die Elongationsenergie 0, während die kinetische Energie maximal ist. KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Die beiden Energieformen wandeln sich periodisch ineinander um. Dabei bleibt nach dem Ener- gieerhaltungssatz die Summe aus Elongations- und Bewegungsenergie - also die Gesamtenergie der Schwingung - erhalten. Sie ist gleich der zu Beginn zugeführten Elongationsenergie Ep,max. Resultat 7.9 Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Summe aus Elonga- tionsenergie Ep und der kinetischen Energie Ekin konstant. Damit gilt für die Gesamtenergie der Schwingung: Eges = Ep + Ekin =const. 7.2 Elektromagnetische Schwingungen 7.2.1 Der elektromagnetische Schwingkreis Uc Definition 7.5 Schwingkreis. Ein Schwingkreis ist eine Parallelschaltung einer Spule und eines Kondensators. Hier wandeln sich elektrische und magnetische Energie gegenseitig ineinander um. 7.2.1.1 Aufbau Es handelt sich um zwei Stromkreise. • In Schalterstellung 1 (blau) wird der Kondensator C aufgeladen, • In Schalterstellung 2 (grün) wird der Kondensator C über die Spule L entladen. Uc (a) Schaltskizze. (b) Aufladen. Abbildung 7.6: Schaltskizze und Schalterstel des elekt 49 스 2 U ☺ (7.25) (c) Entladen. magnetischen Schwingkreises. Beim Aufladevorgang wird der Kondensator aufgeladen, bis die Spannung Uc am Kondensator der äußeren Spannung Uo entspricht. Schematisch sieht der Prozess so aus: I=0 (a) KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN U= T I=max (b) (a) Die gesamte elektrische Energie steckt im Feld des Kondensators. Dort liegt die maximale Spannung Uc,max Û = U₁ an: Eges mit I = d = Q⇒İ = Q. = = N Eel = Cv². (b) Der Kondensator ist vollständig entladen und alle Ladung befindet sich im Stromkreis Die Stromstärke nimmt also ihren Maximalwert Imax = Î an. Damit wird auch das magnetische Feld in der Spule maximal. Dort steckt nun die gesamte Energie des Systems: Eges = Emag = 1 Lβ. (7.27) (c) Alle Ladung befindet sich wieder auf dem Kondensator, der nun umgekehrt aufgeladen ist. Die gesamte magnetische Energie ist in elektrische Energie im Feld übergegangen. 7.2.1.2 Differentialgleichung des elektromagnetischen Schwingkreises 1 Uind(t) = Uc(t) ⇒ −Lİ(t) = — · Q(t) Definition 7.6 Ansatz. Schwingkreis ist eine Parallelschaltung An Spule und Konden- sator liegt zu jedem Zeitpunkt dieselbe Spannung an. I=0 (c) Resultat 7.10 Dies liefert eine Differentialgleichung 2. Ordnung: 1 - LQ = — -Q. 50 (7.26) (7.28) Resultat 7.11 Da es sich um eine Schwingung handelt, ist die allgemeine Lösungsfunktion Q(t) = Q.sin(wt + p) Da zum Zeitpunkt t = 0 die Ladung Q = Q sein soll, muss y = 0 + k· 2π mit k = 0, 1, 2, ... Einsetzen liefert: (7.30) KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Resultat 7.13 I=0 Resultat 7.12 Die Periodendauer ist damit Lw² Uc(t) = = Mit der Lösungsfunktion erhalten wir ebenfalls Funktionen für I(t) und Uc(t): u=0 I 1 ←w= T = 2T √LC. THOMSON'sche Schwingungsgleichung. Q(t) C ·cos (wt) = Û · cos (wt). I(t) = Q(t) = -Qw - sin (wt) = − η sin (wt). Diese Funktionen werden durch Messungen bestätigt! Uc und I sind um 4 = ben. I=max LC I=O 51 U=0 I = max (7.29) H=O (7.31) (7.32) (7.33) phasenverscho- Abbildung 7.7: Schwingkreis: Zeitlicher Verlauf. Es handelt sich hier um eine gedämpfte Schwingung, weshalb die Amplitude mit der Zeit abnimmt. 7.3 Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwin- gungen 7.3.1 Vergleich der Größen Kriterium Schwingungsgröße zeitliche Änderung der Schwingungsgröße Systemgrößen Schwingungs- differentialgleichung Lösung Periodendauer Energien Ep, moxx Ekin=0 Ebin, max 7.3.2 Vergleich der Vorgänge Ep, mook KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Ekin=0 www b) Federpendel Elongation s Geschwindigkeit v = s Induktivität L Kehrwehrt Kapazität Ansatz Uind(t) = Uc(t) Q(t) = −LQ(t) Q(t) = Q · cos(wt + p) T = 2T √LC elektrische Energie Eel=CU2 Elongationsenergie: Ep = Ds² Magnetische Energie kinetische Energie: Ekin = mv² Emag = LI² Tabelle 7.2: Vergleich: Größen von Schwingungen. Masse m Federkonstante D Ansatz: Frück = ma -Ds(t) = mä(t) s(t) = sin(wt + 6) T= 2√√ m mmmmm mmmmmm Ebin, max d) L-L₂ mommy my wwwwww 52 Schwingkreis Ladung Q Stromstärke I = Q I→ wwwwww I Abbildung 7.8: Vergleich der Schwingungen. Ealax PRE Emag=0 Emog, max 6-0 Eel, max Emag=0 Emog, max Ed=0 (a) KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN (c) Federschwinger Der Körper ist ausgelenkt. Die Elongationsenergie ist im Federsystem gespeichert. Nach dem Loslassen wird der Körper zur Gleichgewichtslage hin beschleunigt. Er bleibt wegen seiner Trägheit jedoch nicht dort stehen. Die Geschwindigkeitsänderung v erfordert nach dem NEWTON'schen Grundgesetz die Kraft F = mi = ma. Diese wird in jedem Mo-| ment von der Rückstellkraft Frück = - Ds geliefert. Von (a) nach (b) nimmt die Bewegungs- energie zu, die Elongationsenergie ent- sprechend ab. (b) Schließlich ist die Auslenkung null. Da keine Energie verloren geht, ist in diesem Augenblick die Elongationsenergie vollständig in Bewegungsenergie überge- gangen. Der Geschwindigkeitsbetrag des Körpers hat nun ein Maximum erreicht. Die Federn werden jetzt entgegengesetzt zu (a) gespannt. Die zunehmende Rückstellkraft kann die Bewegungsrichtung des Körpers nicht so- fort umkehren. der Körper ist träge und bewegt sich des- halb, wenn auch mit abnehmender Ge- schwindigkeit, in die gleiche Richtung wei- Schwingkreis Der Kondensator ist aufgeladen. Die Energie steckt im elektrischen Feld. Nach dem Verbinden des Kondensators mit der Spule setzt der Strom ein. Er entlädt den Kondensator wegen der In- duktivität der Spule jedoch nicht schlag- artig. Die Stromstärkenänderung I erzeugt an den Enden der Spule eine Induktionsspan- nung Uind = -Lİ. Sie liegt in jedem Moment am Kondensator als Spannung Uc 53 an. Von (a) nach (b) nimmt die magnetische Energie zu, die elektrische Energie ent- sprechend ab. Schließlich ist der Kondensator entladen. Da keine Energie verloren geht, muss in diesem Augenblick die im elektrischen Feld gespeicherte Energie ganz im Ma- gnetfeld stecken. Der Betrag der Stromstärke hat nun ein Maximum erreicht. Der Kondensator wird jetzt entgegenge- setzt zu (a) geladen. Die entstehende Kondensatorspannung kann den Ladungsstrom nicht sofort um- kehren. Die Änderung der Stromstärke induziert in der Spule eine Spannung, die die La- dungen in gleicher Richtung vorantreibt. ter. Es gilt wieder: mv = Ds Die Bewegungsenergie ist wieder ganz in Elongationsenergie übergegangen. Tabelle 7.3: Vergleich der Vorgänge beim Federschwinger und Schwingkreis. Es gilt wieder: -Lİ = 2. Die magnetische Energie ist wieder ganz in elektrische übergegangen. Der Vorgang (a)-(c) wiederholt sich nun in umgekehrter Richtung. Kapitel 8 Wellen 8.1 Mechanische Wellen Definition 8.1 Bei einer mechanischen Welle schwingen Oszillatoren, die nacheinander die Bewegung ausführen, die ihnen vom Erreger vorgeschrieben wird. Die Oszillatoren geben ihre Energie jeweils an den nächsten weiter. Jeder Oszillator hinkt dem vorherigen in der Phase hinterher. Dadurch breitet sich die Welle nicht schlagartig überall aus, sondern mit der Zeit. Je weiter ein Oszillator vom Erreger entfernt ist, desto später wird er von der Bewegung erfasst. Mit der Welle wird Energie transportiert, aber keine Materie. Definition 8.2 Die Auslenkung eines Oszillators heißt Elongation, die maximale Auslenkung heißt Amplitude 8.1.1 Begrifflichkeiten с b Abbildung 8.1: Welle allgemein. Die Welle breitet sich mit der vom Betrag her kon- stanten Ausbreitungsgeschwindigkeit è aus. Die Mo- mentangeschwindigkeit der Oszillatoren wird Schnel- le genannt (2). Diese ändert sich stän- dig. Bei der maximalen Elongation ist die Schnelle null. 55 8.1.2 Arten von Wellen Definition 8.3 Je nachdem, wie Ausbreitungsgeschwindigkeit è und Schnelle v (= Schwin- gungsrichtung) zueinander stehen, unterscheidet man zwischen Longitudinalwellen (Längswellen): v || Č Transversalwellen (Querwellen): v 17 ● Schwingungsrichtung ● ● ● ● ● KAPITEL 8. WELLEN ● ● Ausbreitungsrichtung (a) Longitudinalwelle. Abbildung 8.2: Wellenarten. Schwingungsrichtung 8.1.3 Beschreibung mechanischer Wellen C = Ausbreitungsrichtung (b) Transversalwelle. Resultat 8.1 Während der Periodendauer T ist die Phase der Welle um die Wellenlänge X weitergewandert. Dies geschieht mit der konstanten Geschwindigkeit ds 1 dt T =Xf. 8.1.3.1 Mathematische Beschreibung Für das Erregerteilchen ermittelt man mit der Kreisprojektion: 56 s(t) = sin wt = ŝ. sin 2π T .t). (8.1) (8.2) Ein Teilchen am Ort x (= Abstand zum Erreger) hat zur Zeit t dieselbe Phase und Elongation wie das Erregerteilchen am Ort x = 0 zu einem früheren Zeitpunkt. Es muss also eine Phasenverschiebung hinzukommen: 2π (77 · (t-t₂)). Mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c findet man einen Ausdruck für te: KAPITEL 8. WELLEN s(x, t) = ŝ. sin C = s(x, t) = ŝ. sin X=const. ds X X = ⇒ t = dt tx T Resultat 8.2 Einsetzen in Gleichung 8.3 liefert die Wellengleichung für harmonische Wellen: 2π (²7 · (+ - ++)) = (t = sin (27 - (-)). (8.5) xT X 't 8.1.3.2 Graphische Beschreibung Die Darstellung mechanischer Wellen kann auch mithilfe von Diagrammen erfolgen. Es gibt zwei Möglichkeiten, solche Diagramme zu realisieren. (8.3) à t=const. (a) t-s-Diagramm. (b) x-s-Diagramm. Abbildung 8.3: Graphische Darstellung von harmonischen Wellen. (8.4) 57 (a) Zeitlicher Durchblick. Für einen festen Ort x (x = const.) wird dargestellt, wie sich der betreffende Oszillator in Abhängigkeit von der Zeit t bewegt. (b) Räumlicher Durchblick. Für einen festen Zeitpunkt t (t =const.) wird dargestellt, welche Lage die Gesamtheit der Oszillaoren (= Wellenträger, z.B. Seil) hat. KAPITEL 8. WELLEN 8.1.4 Reflexion von Wellen Definition 8.4 Wenn Wellen an feste oder lose Enden stoßen, kommt es zu unterschiedlichen Reflexionen. Ist das Ende lose, kann der letzte Oszillator mitschwingen und die Welle wird ohne Pha- sensprung (p = 0) reflektiert: Berg bleibt Berg, Tal bleibt Tal. • Ist das Ende fest, kann der letzte Oszillator nicht mitschwingen und die Welle wird mit Phasensprung reflektiert (p = π): Berg wird Tal, Tal wird Berg. лалу го A (b) Reflexion am festen Ende. (a) Reflexion am losen Ende. Abbildung 8.4: Reflexion am losen und festen Ende. Zeichnerisch erfolgt die Darstellung so, dass die bis über die Reflexionswand hinaus gezeichnet wird. Bei einem losen Ende wird die Welle durch Achsenspiegelung an der y-Achse konstruiert; Bei einem festen Ende wird die Welle durch Punktspiegelung am festen Ende konstruiert. 8.1.5 Stehende Wellen Definition 8.5 Überlagern sich zwei gegenläufige Wellen der gleichen Amplitude und Frequenz, so treten auf dem Wellenträger ortsfeste Stellen auf, die nicht schwingen - also ständig in Ruhe sind. Diese Punkte werden als Schwingungsknoten bezeichnet. Die Punkte, an denen die Amplitude maximal ist, heißen Schwingungsbäuche. Dieses Phänomen nennt man stehende Welle. Der Abstand benachbarter Knoten oder Bäuche beträgt d = . Zwischen den Knoten schwingen alle Teilchen in Phase, das heißt: Sie erreichen gleichzeitig ihre maximale Auslenkung oder ihren Nulldurchgang. 58 8.1.5.1 Stehende Wellen auf einem unbegrenzten Wellenträger Betrachten wir zwei gegenläufige Wellen (blau und orange). Die blaue Welle breitet sich nach links aus, die orangene Welle nach rechts. Ihre Überlagerung ergibt die resultierende Welle in rot. t=0 +-- resultierende Welle |v=O V=O ・Schwingungs- bauch Schwingungs- kroten KAPITEL 8. WELLEN ∞ Abbildung 8.5: Stehende Welle auf einem unbegrenzten Wellenträger Beide Wellen sind phasengleich, ihr Gangunterschied ist d = 0. Die resultieren- de Welle (rot) hat nun ihre maximale Auslen- kung. Die Schnellen der Wellen heben sich gegensei- tig auf, die Schnelle der resultierenden Welle ist 0. t=0 Ekin = 0; Ep = max. t = T/4 Die Wellen besitzen den Gangunter- schied = . Die Auslenkung der resultierenden Welle ist 0. Die Schnellen der Wellen verstärken sich gegensei- tig, die Schnelle der resultierenden Welle ist maxi- mal. Ekin max.; Ep = 0. t = T/2 Die Wellen überlagern sich gleich wie zum Zeitpunkt t = 0. Der Abstand be- nachbarter Knoten und Bäuche beträgt d = t = T| Die Wellen überlagern sich gleich wie zum Zeitpunkt t = . Die resultierende Welle hat die Auslenkung 0. 59 8.1.5.2 Stehende Wellen auf einem beidseitig begrenzten Wellenträger Definition 8.6 Bei einem an beiden Enden fest eingespannten eindimensionalen Wellenträger der Länge 1 kann nur unter ganz bestimmten Frequenzen eine stehende Welle entstehen. Solche Frequenzen bezeichnet man als Eigenfrequenzen. KAPITEL 8. WELLEN na Abbildung 8.6: Stehende Welle auf einem Wellenträger mit zwei festen Enden. (= 22=2 Für die Frequenz gilt c=\ƒ ⇒ f = Da die Länge des Wellenträgers ein Vielfaches der halben Wellenlänge sein muss, ist mit k = 1, 2, 3, ... Bäuchen. X l=k. ⇒1= 2 Resultat 8.3 Einsetzen in Gleichung 8.6 liefert: fk = = k. с 21 k -=22 C 21' 60 (8.6) (8.7) (8.8) Ist auf dem Wellenträger nur ein einzelner Schwingungsbauch zu sehen, ist f₁ = . Diese Schwingung bezeichnet man als Grundschwingung. Bei 2 Schwingungsbäuchen wird die Schwingung als 1. Oberschwingung bezeichnet, bei 3 Bäu- chen als 2. Oberschwingung, usw. Wird ein zur Eigenschwingung fähiger Wellenträger mit seiner Eigenfrequenz angeregt, so tritt Resonanz ein: Die Amplitude der stehenden Welle ist größer als die Amplitude der Erregerwelle. 8.2 Interferenz von Wellen KAPITEL 8. WELLEN Definition 8.7 Unter Interferenz versteht man die Überlagerung von Wellen. Dabei werden die Elongationen der Oszillatoren addiert. 2 Maximum 1. Ordnung d Ę₁ Minimum ordnung P 8.2.1 Konstruktive Interferenz .Ę₂ Maximum 1. Ordnung Maximum 0. Ordnung Abbildung 8.7: Interferenz von Wasserwellen. Minimum 1. ordnung 61 Resultat 8.4 Erfolgt die Überlagerung von Wellen konstruktiv, so beträgt der Gangunterschied der Wellen Sk = kλ mit k = 0, 1, 2, ... (8.9) Dort liegen die Maxima der Bewegung. Ein solches Maximum wäre beispielsweise P in Abbil- dung 8.7 mit 8 = |d₁ - d₂| = A. Die Amplitude der resultierenden Welle ist dort maximal. KAPITEL 8. WELLEN 8.2.2 Destruktive Interferenz Resultat 8.5 Erfolgt die Überlagerung von Wellen hingegen destruktiv, so beträgt der Gang- unterschied der Wellen (8.10) 1 $k = (2k-1). m mit k = 0, 1, 2, ... 2 Dort liegen die Minima der Bewegung. Die Amplitude der resultierenden Welle it dort null. 8.3 Huygens-Prinzip Definition 8.8 Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle aufgefasst werden. Die Elementarwelle besitzt dieselbe Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwin- digkeit wie die ursprüngliche Welle. Dieses Prinzip gilt für alle Wellenarten. Damit ist eine einfache Erklärung von Beugung, Bre- chung und Reflexion möglich. luft Wasser стается A 62 α x St (a) Beugung nach Huygens. xxx (c) Reflexion nach Huygens. Abbildung 8.8: Wellenphänomene nach HUYGENS. (b) Brechung nach Huygens. KAPITEL 8. WELLEN Definition 8.9 Beugung. Beugung bezeichnet die Ablenkung einer Welle an einem Hindernis - kurz: eine Änderung der Ausbreitungsrichtung. So kann sich eine Welle auch in Räume ausbreiten, die auf direktem Wege vom Erreger der Welle nicht zu erreichen wären. Definition 8.10 Brechung. Wenn an der Grenze zweier Medien eine Welle nicht senkrecht auftrifft, ändert sich ihre Aus- breitungsgeschwindigkeit, wodurch die Wellenfront unter einem Winkel ß zum Lot abgelenkt wird. Durch das schräge Auftreffen werden die Oszillatoren des zweiten Mediums zeitlich versetzt zu Schwingungen angeregt. Jeder dieser Oszillatoren ist dann Ausgangspunkt einer neuen Elemen- tarwelle. Die neuen Elementarwellen überlagern sich zur neuen Wellenfront. Es gilt außerdem: sin a C1 n (Brechungszahl). sin B C2 (8.11) Je nachdem, welches Medium optisch dichter ist, wird die Wellenfront unterschiedlich gebro- chen: • von optisch dünn nach optisch dicht: - C₁ C₂ ⇒a > B. - Die Welle wird zum Lot hin gebrochen. von optisch dicht nach optisch dünn: - C1 C₂ ⇒a<B. - Die Welle wird vom Lot weg gebrochen Definition 8.11 Reflexion. Trifft eine Welle auf ein Hindernis, wird sie dort zurückgeworfen (reflektiert). Dabei werden die Oszillatoren des Hindernisses als Ausgangspunkte neuer Elementarwellen be- trachtet. Der Radius der neuen Elementarwellen vergrößert sich proportional zur Zeit. Durch die Überlagerung der einzelnen Elementarwellen bildet sich eine neue Wellenfront. Ein- fallswinkel und Ausfallswinkel sind gleich. Bei einer Reflesion an einem optisch dichteren Me- dium erhält die Welle einen Phasensprung von 7. 63 8.4 Elektromagnetische Wellen 8.4.1 Merkmale Abbildung 8.9: Feldvektoren einer elektromagnetischen Welle 8.4.2 Der Hertz'sche Dipol KAPITEL 8. WELLEN t=0 -û -â â Definition 8.12 Zur Erzeugung hochfrequenter elektromagnetischer Schwingungen braucht man nach der THOMSON'schen Schwingungsgleichung eine sehr kleine Eigeninduktivität L und Kapazität C. Der HERTZ'sche Dipol kann solche Schwingungen erzeugen. 1. 8.4.2.1 Ladungs- und Spannungsverteilung beim Hertz'schen Dipol Stab +== Eine elektromagnetische Welle besteht aus zwei Fel- dern: einem Magnetfeld mit Feldvektor B • einem elektrischen Feld mit Feldvektor E. Abbildung 8.10: Ladungs- und Spannungsverteilung beim Dipol. Beide schwingen sinusförmig und stehen senkrecht so- wohl zueinander (BE) als auch zur Ausbreitungs- richtung der Welle (B, ELC). In der Mitte des Dipols fließen die Elektronen am schnellsten Es gilt: I = Î und U = 0. An den Stab-Enden stauen sich die Ladungen Es gilt: Q = Q bzw. U = Û und I = 0. 64 KAPITEL 8. WELLEN 8.4.2.2 Der Hertz'sche Dipol als Sender elektromagnetischer Wellen Definition 8.13 Wie lässt sich die Wellennatur der gesendeten Strahlung bestätigen? Sender E-Feld-Bauch D TH Metallwand E-Feld-Kroten Abbildung 8.11: Hertz'scher Dipol und stehende Welle. Der Sendedipol wird auf eine Entfernung von 1-2 m vor eine Metallwand gestellt. Bewegt man nun einen Empfangsdipol mit Lampe von der Wand weg, leuchtet das Lämpchen in festen Abständen auf, an bestimmten Stellen leuchtet es nicht. Hin- und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer stehenden Welle. 8.4.2.3 Eigenfrequenz des Dipols Definition 8.14 Das Lämpchen des Empfangsdipols leuchtet nur bei ganz bestimmten Längen 1 des Dipols. Analog zu mechanischen Wellen bilden sich auch auf dem Dipol nur bei ganz bestimmten Frequenzen (= Eigenfrequenzen) stehende elektromagnetische Wellen aus. Resultat 8.6 Analog zu stehenden Wellen auf einem beidseitig begrenzten Wellenträger gilt с fk = k.. mit k = 1, 2, 3, ... 21 (8.12) 65 8.4.3 Elektromagnetische Wellen in Materie Im Vakuum breiten sich elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit KAPITEL 8. WELLEN aus (cf. Kapitel 6). In Materie verringert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit die Frequenz f gleich bleibt, nimmt die Wellenlänge › ab. Co= Die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in Materie ist 1 ερε,μομη Cmat S 1 Eoμlo V 8.4.4 Polarisation von Mikrowellen è Resultat 8.7 Polarisation kann nur bei Transversalwellen erfolgen, nicht mit Longitudinal- wellen. Die Metallstäbe werden zu erzwugenen Schwingungen angeregt. Ein Gitterstab stellt nämlich einen Dipol dar, dessen Eigenfrequenz wegen seiner verhältnismäßig großen Länge wesentlich kleiner ist als die Frequenz des Wechselfeldes. E kein Empfang Co Verfly Dann gilt: Das E-Feld des Stabes schwingt im Gegentakt zum E-Feld der auftreffenden Welle (y = T). Dabei wirken die Stäbe als Sendedipole und strahlen nach allen Seiten eine elektro- magnetische Welle ab. (8.13) allerdings. Da S 66 (8.14) AAAAAE emplang E € emplang kein Empfang (a) kein Empfang hinter dem Gitter. (b) Empfang hinter dem Gitter. Abbildung 8.12: Polarisation von elektromagnetischen Wellen. Hinter dem Gitter läuft die von den Stäben abgestrahlte Welle in dieselbe Richtung weiter wie die Originalwelle, die das Gitter nahezu ungehindert durchläuft. Da die Felder der beiden Wellen mit der Phasenverschiebung = 7 schwingen, löschen sie sich hinter dem Gitter aus. Vor dem Gitter hingegen wird die Welle vom Empfänger registriert - so, als sei die ursprüngliche Welle vom Gitter reflektiert worden (Abbildung 8.12 (a)). KAPITEL 8. WELLEN Dreht man die Gitterstäbe um 90°, so können sie nicht zu Schwingungen angeregt werden (EL Gitterstab). Es entstehen keine zusätzlichen Wellen und die Originalwelle geht einfach hindurch. A Gitterstab P Abbildung 8.13: Vektorzerlegung des Feldstärkevektors am Metallgitter. TH. 142 Der Feldstärkevektor Ē, der in einem Punkt P auf dem Gitter auftrifft, wird in zwei Kompo- nenten zerlegt: • Eine zum Stab parallele Komponente Ep • Eine zum Stab normale Komponente En Das zeigt: An einem Metallgitter wird nur der Teil des elektrischen Feldes durchgelassen, der senkrecht zu den Gitterstäben schwingt. Das Gitter polarisiert die elektromagnetischen Wellen (= ändert ihre Schwingungsrichtung). 67 Kapitel 9 Licht als elektromagnetische Welle 9.1 Interferenz am Doppelspalt Definition 9.1 Licht wird beim Durchgang durch sehr schmale Spalte eines Doppelspaltes ge- beugt. Bei kleinem Spaltmittenabstand g entsteht das Muster einer Zwei-Sender-Interferenz. Dieses Muster wird auf einem Schirm sichtbar gemacht. Resultat 9.1 Das zeigt: Licht verhält sich wie eine Welle. Abbildung 9.1: Interferenz am Doppelspalt. Beide Spalte können nach dem Huygensprinzip als Ausgangspunkte von Elementarwellen be- trachtet werden, die dann interferieren¹. ¹sie überlagern sich 69 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Definition 9.2 Voraussetzung für die Interferenz sind koheränte Wellen - Sie haben dieselbe Wellenlänge X und Phasenbeziehung p. Auf dem Schirm zeigt sich ein typisches Interferenzmuster aus hellen Stellen (Maxima) und • dunklen Stellen (Minima). Diese sind auf den Gangunterschied 6 in den jeweiligen Punkten auf dem Schirm zurückzu- führen. Die Maxima entstehen infolge konstruktiver Interferenz, die Minima entstehen infolge destruktiver Interferenz. 9.1.1 Winkelbetrachtung Definition 9.3 Auf einen Doppelspalt mit Spaltmittenabstand g wird Licht senkrecht auf einen Doppelspalt gestrahlt. Im Abstand a ist dahinter ein Schirm aufgestellt, auf dem das Interfe- renzmuster zu beobachten ist. 6 ∞ Abbildung 9.2: Winkelbetrachtung am Doppelspalt. In der Mitte befindet sich das Maximum 0. Ordnung (Hauptmaximum). Symmetrisch dazu liegen die Maxima 1,2,... Ordnung. Beim Hauptmaximum interferieren die Wellenstrahlen mit einem Gangunterschied von 6 = 0, weshalb dieses Maximum am hellsten ist. Wenn ag, sind die Strahlen, die vom Doppelspalt ausgehen, annähernd parallel, laufen aber wegen der großen Entfernung dennoch auf dem Schirm zusammen. Es darf annähernd von einem rechtwinkligen Dreieck ausgegenangen werden. 70 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE #1 (a) Kleines Dreieck. Abbildung 9.3: Bedingungen für Maxima und Minima am Doppelspalt. Werfen wir zunächst den Blick auf das kleine Dreieck. Es gilt: dk. 9 Resultat 9.2 Für Maxima ist dk = kλ, daher kλ 9 sin ak = (b) Großes Dreieck. sin ak = sin ak Resultat 9.3 Für Minima ist dk = (2k − 1) , daher (2k-1). A 2g mit k = 0, 1, 2, 3, ... sin ak mit k = 0, 1, 2, 3, ... kλ = ≤1⇒k< 9 Wir erhalten also keine Maxima, deren Ordnung überschreitet. Bemerkung 9.1 Der Sinus eines Winkels kann maximal 1 groß werden. Daher ist die Anzahl der auf dem Schirm sichtbaren Maxima in ihrer Ordnung begrenzt: 71 (9.1) g X (9.2) (9.3) (9.4) KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Resultat 9.4 Im großen Dreieck gilt tan ak Bemerkung 9.2 Für kleine Winkel ak ≤ 5° ist Hier bezeichnet a den Schirmabstand und d den Abstand des Maximums (bzw. Minimums) k-ter Ordnung vom Maximum 0. Ordnung. kλ g Damit kann die Wellenlänge bestimmt werden dk a sin ak tan ak. ⇒1= dk a gdk ak d = dk+1 - dk = mit k = 1, 2, 3, ... (k + 1)λα κλα 9 9 Resultat 9.5 Für den Abstand d zweier beliebigen benachbarten Maxima folgt aus derselben Näherung (9.5) λα 72 9 (9.6) (9.7) (9.8) Der Abstand benachbarter Maxima (bzw. Minima) ist für kleine Winkel unabhängig von ihrer Ordnung. Die Maxima und Minima sind äquidistant. 9.2 Interferenz am Mehrfachspalt Definition 9.4 Interferieren Wellen aus drei oder mehr Spalten miteinander, so ergeben sich neue Effekte: Es treten sogenannte Nebenmaxima auf. Definition 9.5 Nebenmaxima. Maxima, die nicht so intensiv wie die Hauptmaxima sind, aber sich dennoch deutlich von den Hauptmaxima abgrenzen⇒ Es gibt Minima zwischen ihnen. KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Whih Abbildung 9.4: In- tensitätsverteilung Vierfachspalt. Für die Anzahl Z der Nebenmaxima bei einem Beugungsobjekt mit N Spalten gilt: Z=N-2 (N≥ 3) (9.9) Mit zunehmender Spaltanzahl nimmt die Intensität der Ne- benmaxima immer weiter ab. Die Hauptmaxima werden mit zunehmender Spaltanzahl immer enger begrenzt und schär- fer. Erklärung. Beträgt der Gangunterschied & zweier benachbarter Spalte 8 = (2k-1), so löschen sich diese beiden Wellen aus. Beim Mehrfachspalt brin- gen allerdings noch die Wellen der anderen Spalte Intensität. Helligkeit ist O (b) Minimum 1. Ordnung. Abbildung 9.5: Zeigerdiagramm und Nebenmaxima am Fünffachspalt. Helligkeit ist maximal (a) Maximum 0. Ordnung. Die schwarzen Pfeile stellen die rotierenden Zeiger dar - einen für jeden Spalt. Auf dem Schirm werden sie aneinandergehängt und der grüne Pfeil ergibt die resultierende Helligkeit durch seine Länge an. Bemerkung 9.3 Das erste Minimum, das auf das Maximum k-ter Ordnung folgt, hat den Gangunterschied wobei N die Spaltanzahl ist. Resthelligkeit (c) Nebenmaximum. Sk = kλ + 73 X N KAPITEL 9.LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE 9.3 Interferenz am optischen Gitter Definition 9.6 Ein optisches Gitter besteht aus vielen nebeneinander liegenden Spalten, die den gleichen Spaltmittenabstand g besitzen. SK Abbildung 9.6: Optisches Gitter. Die Maxima sind bei einem optischen Gitter viel heller und schärfer als bei einem Doppelspalt. Man berechnet die Winkel ak, unter denen sie auftreten, mit den gleichen Formeln wie beim Doppelspalt. Mit steigender Gitterkonstante nimmt der Abstand der Maxima zu und sie erscheinen schärfer. Der Spaltmittenabstand g ist der Kehrwert der Spaltanzahl pro Längeneinheit. Beispiel. Bei 100 Spalten pro mm ist 1 mm 100 g= = 1.10-5m 10μm Durch die höhere Anzahl an Spalten interferieren beim optischen Gitter mehr Strahlen. Dadurch wird die Gesamtintensität eines jeden Maximums größer. 74 9.4 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Gitterspektren Definition 9.7 Eine Lampe sendet weißes Licht aus, das auf dem Schirm ein Interferenzbild erzeugt. Dabei entsteht für das Maximum jeder Ordnung jeweils ein kontinuierliches Farbspek- trum, bei dem das Licht in seine einzelnen Wellenlängen aufgefächert wird. Nach Bemerkung 9.4 Diese Spektren können sich, inbesondere für Maxima höherer Ordnung, über- lappen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist dies auf Abbildung 9.7 nicht dargestellt. Spalt Kondensator Lampe Linse Gitter sin ak = Abbildung 9.7: Spektralzerlegung am optischen Gitter. /dk kX 9 TO 75 2 1 ㅅ (9.10) ist der Sinus des Ablenkwinkels proportional zur Wellenlänge. Licht mit einer größeren Wellenlänge wird stärker gebeugt als Licht mit einer kleineren Wel- lenlänge. Resultat 9.6 Deshalb wird rotes Licht am stärksten abgelenkt, während blaues/violettes Licht am wenigsten abgelenkt wird. Im Hauptmaximum erhält man weißes Licht, weil dort der Gangunterschied 8 = 0 beträgt. KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE 9.5 Interferenz am Einzelspalt 9.5.1 Intensitätsverteilung und Erklärung Entgegen allen Erwartungen beobachtet man beim Einzelspalt ebenfalls ein Interferenzbild (an- stelle eines breiten Lichtstreifens auf dem Schirm). Hier sind die Maxima sehr breit, während die Minima scharf begrenzt sind. Dies lässt sich mit Abbildung 9.8 erklären. Abgebildet ist ein Einzelspalt der Breite b, im Abstand von a ist parallel ein Schirm aufgestellt. Bemerkung 9.5 Am Einzelspalt widmen sich die Berechnungen den Intensitätsminima, da diese hier schärfer begrenzt sind. I 2 1 B₁ I SL 1.00 A P 1. Minimum Abbildung 9.8: Wellenstrahlen am Einzelspalt. Resultat 9.7 Der Einzelspalt ist Ausgangspunkt von unendlich vielen Elementarwellen. Zur Vereinfachung wurde in Abbildung 9.8 allerdings nur von 100 Elementarwellen ausgegangen. Werfen wir einen Blick auf die Gegebenheiten beim Minimum 1. Ordnung. Der auf den Einzelspalt fallende Lichtstrahl wird in zwei Strahlenbündel (I und II) aufgeteilt. Die Strahlen im Strahlenbündel I besitzen zu ihren entsprechenden Strahlen in II den Gang- unterschied d = Also hat Strahl 1 gegenüber Strahl 51 den Gangunterschied 8 = auch Strahl 2 mit 52, Strahl 3 mit 53,...). (und Somit löschen sich alle Wellenstrahlen in P aus und bilden das Minimum 1. Ordnung. Definition 9.8 Minimum 1. Ordnung. Die Randstrahlen besitzen den Gangunterschied 8₁ = X. 76 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Für das Minimum 2. Ordnung wird der einfallende Lichtstrahl in 4 Strahlenbündel unterteilt. Auch deren entsprechende Strahlen besitzen jeweils den Gangunterschied 6 =, sodass sich Strahl 1 und 26 auslöschen (und auch Strahl 2 mit 27, 3 mit 28,...). Definition 9.9 Minimum 2. Ordnung. Die Randstrahlen besitzen den Gangunterschied 82 = 2A. Resultat 9.8 Für den Winkel zum n-ten Minimum gilt also: ηλ b sin n = mit n = 1, 2, 3, ... Resultat 9.9 Daraus folgt ebenfalls Auch hier ist die Ordnung der Minima nach oben hin analog zum Doppelspalt nach oben hin beschränkt durch (9.12) n≤ b nλ ≤ b. Der Gangunterschied kann nicht größer als die Spaltbreite b sein. 77 (9.11) (9.13) 9.5.2 b b b b 12/2 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Zeigerdiagramm am Einzelspalt I I I I II Abbildung 9.9: Zeigerdiagramm am Ein- zelspalt. Hauptmaximum. Alle Zeiger der Wellen sind parallel. Dieser Fall kann bei keinem anderen Stahlenbündel mehr eintreten. Der durch Addition resultierende Pfeil ist maxi- mal, so auch die Helligkeit. Abnehmende Helligkeit. Es ergeben sich zu- nehmend Gangunterschiede, daher ergibt die Zei- geraddition eine gekrümmte Linie. Der resultierende Pfeil wird immer kleiner, bis das 1. Minimum erreicht ist. 1. Minimum. Jeweils zwei der Zeiger haben den Gangunterschied 6 = Damit löschen sich die Wellenbündel I und II vollständig aus. Die Rand- strahlen besitzen den Gangunterschied &₁ = A. Der resultierende Pfeil hat die Länge 0. 1. Maximum. Die Wellenstrahlen der Teilbündel I und II löschen sich aus. Es bleibt ein Teilbündel III übrig, das noch Helligkeit liefert. Die Rand- strahlen haben den Gangunterschied d = A. 2. Minimum. Es verhält sich so wie beim 1. Mini- mum. Nun ist der einfallende Strahl allerdings in Teilbündel I bis IV aufgeteilt. Teilbündel I und II löschen sich gegenseitig aus, so auch Teilbündel III und IV. Der Gangunterschied der Randstrah- len beträgt d₂ = 2A. 78 9.6 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Auswirkungen der endlichen Spaltbreite auf das In- terferenzbild Definition 9.10 Betrachtet man die Intensitätsverteilung eines Doppelspaltes genauer, so fällt auf, dass Maxima fehlen. Intensitätsverteilung sind₂ 22 g Einzelspalt -Doppelspalt Abbildung 9.10: Fehlende Maxima. Dies geschieht immer dann, wenn ein Maximum des Doppelspaltes mit einem Minimum des Einzelspaltes zusammenfällt. Schließlich kann kein Maximum dort sein, wo die einzelnen Spalte kein Licht liefern. sin ak = sinn → Sin Resultat 9.10 Fällt ein Maximum des Doppelspaltes mit einem Minimum des Einzelspaltes zusammen, gilt: kλ nλ 9 b 79 ⇒k= ng b (9.14) 9.7 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE Polarisation von Licht Definition 9.11 Unter Polarisation versteht man die Ebene, in der eine Größe (hier Licht) schwingt. Beim Licht ist dies der E-Feld-Vektor. Natürliches Licht ist nicht polarisiert, der E-Feld-Vektor schwingt in alle Richtungen. Schwingt er allerdings nur in eine Richtung, heißt das Licht linear polarisiert. Um Licht zu polarisieren, bietet sich eine Apparatur aus Polarisator und Analysator an. • Polarisatoren erzeugen aus natürlichem Licht linear polarisiertes Licht. Analysatoren können den Polarisationszustand des Lichts untersuchen. Abbildung 9.11: Polarisation von Licht. Resultat 9.11 Die Tatsache, dass sich Licht polarisieren lässt, beweist, dass es sich um eine Querwelle handeln muss. Längswellen lassen sich nämlich nicht polarisieren. 80 KAPITEL 9. LICHT ALS ELEKTROMAGNETISCHE WELLE 9.8 Das Michelson-Interferometer Definition 9.12 Mit einem Interferometer lassen sich kleinste Längen sehr genau messen. Laser AS Schirm Strahlteiler Spiegel 2 Spiegel 1 Abbildung 9.12: Michelson-Interferometer. Ein Laser sendet koheräntes Licht aus, das an einem Strahlteiler in zwei Lichtbündel aufgeteilt wird. Diese laufen nach Reflexion an zwei Spiegeln wieder zusammen. Dabei kommt es zu Interferenz auf dem Schirm. Je nach Gangunterschied & kommt es dort zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz. 81 Wird der Spiegel längs der Strahlrichtung um As = verschoben, so ändert sich die Gesamt- länge des Lichtweges um 2As = A. Hatte man auf dem Schirm ursprünlich konstruktive Interferenz, gehen dann die Maxima über in Minima und schließlich wieder in Maxima. Schließlich verändert man den Gangunterschied um 2As. Geht dieser Wechsel k mal vor sich, so hat sich Spiegel 1 um s = 2kAs = kλ verschoben. Kapitel 10 Quantenphysik 10.1 Fotoeffekt Definition 10.1 Fotoeffekt. Licht besitzt die Fähigkeit, Elektronen aus Metall herauszulösen. Die Metallplatte (Zink) wird negativ aufgeladen, das Elek- troskop schlägt aus. Nun wird sie mit UV-Licht bestrahlt und das Elektroskop kehrt in seine Ausgangsstellung zu- rück. Wiederholt man den Versuch mit zuvor positiv aufgeladener Plat- te, bleibt der Ausschlag unverändert. Das UV-Licht hat Elektronen aus dem Metall herausge- löst. Zum Herauslösen der Elektronen benötigt man Energie. Die- se bringt das UV-Licht auf, nicht aber das sichtbare Licht von Glühlampen selbst wenn sie aus kurzem Abstand mit großer Intensität einwirken. Resultat 10.1 Beim Fotoeffekt kommt es nicht auf die Intensi- tät des Licht an, sondern auf dessen Frequenz. Glasplatte 83 Quecksilber Dampflampe Elektroskopy Abbildung 10.1: Fotoef- fekt. Dies stellt einen Widerspruch zur klassischen Physik dar. Dort kann die Energie des Licht mit höherer Intensität erklärt werden, nicht aber mit höheren Frequenzen. KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK 10.2 Plank'sches Wirkungsquantum und Einstein-Gerade 10.2.1 Fotoeffekt in der Fotozelle In einer evakuierten Röhre befinden sich 2 Elektroden. Auf die Kathode (rechts) ist eine me- tallische Schicht (z.B. Caesium) aufgedampft. Ringanode kathode Mess- verstarker (a) Fotoeffekt in der Fotozelle. eigen- Strom Gegen- Spannung,Saugpannung " (b) Fotostrom. Abbildung 10.2: Fotoeffekt in der Fotozelle. и Wird diese mit Licht geeigneter Frequenz bestrahlt, so werden aus ihr Elektronen herausgelöst, die durch eine angelegte Spannung (,,Saugspannung") zur Ringanode (links) gezogen werden. Mithilfe von Messverstärkern lässt sich ein Fotostrom messen. Misst man den Fotostrom in Abhängigkeit von der ,,Saugspannung" U, ergibt sich der in Ab- bildung 10.2 dargestellte Verlauf. . U OV: Fotoelektronen verlassen die Kathode auch bei U = OV mit einer bestimmten Geschwindigkeit und gelangen zur Anode. Daher misst man dort auch einen Fotostrom. 84 • U < 0V: Um den Fotostrom auf 0 abzusenken, benötigt man eine Gegenspannung Ug, wobei der Minuspol an der Anode anliegt. Dadurch entsteht ein elektrisches Feld, gegen das die Elektronen anlaufen müssen. Dies ist bei einer bestimmten Gegenspannung so groß, dass es nicht einmal die schnellsten Elektronen schaffen, sodass der Fotostrom auf 0 absinkt. • U > 0: Vom elektrischen Feld der ,,Saugspannung"U werden mehr und mehr Elektronen pro Zeiteinheit angezogen, sodass der Fotostrom zunächst ansteigt. Die Sättigung ist dann erreicht, wenn die U so groß ist, dass alle pro Zeiteinheit heraus- gelösten Elektronen abgesaugt werden. 10.2.2 Bestimmung des Wirkungsquantums mit der Gegenfeldme- thode KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK Definition 10.2 Bei der Gegenfeldmethode wird ein Zusammenhang zwischen der Frequenz des Lichts und der maximalen kinetischen Energie Ekin,max der herausgelösten Elektronen gesucht. E ug. Der Gegenfeldmethode liegt folgende Überlegung zugrun- de: Werden vom Licht Elektronen herausgelöst, erhalten die- se einen Teil der Energie des Lichts als kinetische Ener- gie. Die Elektronen können durch ein elektrisches Feld abgebremst werden, bis nicht einmal die schnellsten Elektronen mit Ekin,max dagegen anlaufen können (dann ist der gemessene Fotostrom 0). Dann muss die maximale kinetische Energie der Elektronen Abbildung 10.3: Gegen- gleich der Energie des elektrischen Feldes sein. feldmethode. Dort gilt: Ekin,max= Eet = = e Ug (10.1) Variiert man nun die Wellenlänge des verwendeten Lichts, muss man auch die Gegenspannung verändern. Bei kleinen Wellenlängen ist sie höher, bei größeren Wellenlängen geringer. Trägt man nun Ekin,max gegen die Frequenz f des verwendeten Lichts in einem Diagramm auf, ergibt sich folgende lineare Abhängigkeit: Ekin, max Af AF P EA CS Na 85 Zn Abbildung 10.4: Bestimmung von h. Die Energie der Fotoelektronen steigt proportional mit der Frequenz des Lichts - und zwar mit derselben Steigung für jedes Metall der Fotokathode. KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK Resultat 10.2 Als Steigung ermittelt man AEkin,max Af ≈6, 626-10-34 Js. Das Plank'sche Wirkungsquantum h ist eine fundamentale Konstante der Quantenphysik. h = 10.2.3 Einstein-Gerade Die grünen Linien in Abbildung 10.4 lassen sich als Geraden der Vorschrift Ekin, maz mx hf interpretieren. . Der Term hf ist die Energieportion eines Photons, die Licht der Frequenz f an ein Elektron abgibt. • EA ist der Teil der Energie, der als Ablöseenergie bzw. Austrittsarbeit aufgebracht werden muss, um ein Elektron aus dem Metall zu lösen. Eд hängt nur vom Metall ab. Resultat 10.3 Die Energie eines Photons ist als maximale kinetische Energie. EA • Es existiert eine Grenzfrequenz fgr, unterhalb welcher keine Elektronen herausgelöst wer- den können. Dann ist hf < EA. Diese Beobachtungen zeigen: Eph = hf. (10.2) Resultat 10.4 Die schnellsten Elektronen erhalten die Energieportion Ekin,max = hf - EA 86 (10.3) (10.4) KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK 10.3 Welle-Teilchen-Dualismus Definition 10.3 Eine Reihe von Erscheinungen des Lichts lassen sich nur mit dem Wellen- modell, andere nur mit dem Teilchenmodell (Photonen) deuten. Die Tatsache, dass zur vollständigen Beschreibung des Lichts beide Modelle erforderlich sind, bezeichnet man als Welle-Teilchen-Dualismus Definition 10.4 Wellenmodell. Wellen sind räumlich ausgedehnt. Sie sind durch die periodische räumliche und zeitliche Än- derung einer physikalischen Größe gekennzeichent. Bei der Überlagerung von Wellen treten Interferenzerscheinungen auf. Definition 10.5 Teilchenmodell. Teilchen befinden sich zu jedem Zeitpunkt an einem bestimmten Ort mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Jedes Teilchen bewegt sich auf einer bestimmten Bahn. 10.4 Masse und Impuls von Photonen 10.4.1 Masse und Ruhemasse von Photonen Definition 10.6 Grundgedanke: Handelt es sich bei Photonen um Teilchen, müssen sie auch Teilcheneigenschaften - wie eine Masse und einen Impuls - haben. Exkurs in die Relativitätstheorie: Resultat 10.5 Die Masse ist der Energie äquivalent: = mc². Und in Bezug auf Photonen: E Eph = mphc² mph = Eph hf c² c² 87 = hc h c²X cλ = (10.5) (10.6) Photonen haben also eine Masse. Doch haben sie auch eine Ruhemasse? Nach EINSTEIN ergibt sich für die Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit: Resultat 10.6 Umstellen nach der Ruhemasse mo liefert: mo.ph mph Also besitzen Photonen keine Ruhemasse. Für Photonen gilt also KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK 10.4.2 Impuls von Photonen Der Impuls ist definiert als Resultat 10.7 m(v): Atode strahlung Abbildung 10.5: Röntgenstrahlung. p = mv. mo (10.6) h cλ Pph mphc= 10.5 Entstehung von Röntgenstrahlung C= 0 h X 88 (10.7) (10.8) sich bei Röntgenstrahlung um Wellenstrahlung (mit λ < 1nm) handeln. (10.9) Durch den glühelektrischen Effekt treten aus der Kathode Elek- tronen aus. Diese werden im E-Feld zwischen Kathode und An- ode beschleunigt. Treffen sie auf die Anode, werden sie von den Atomkernen stark abgebremst und setzen dadurch Röntgenstrahlung frei. Die entstandene Röntgenstrahlung besitzt eine sehr kleine Wellenlänge. Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Welle handelt, reichen -Glühkathode optische Gitter nicht mehr aus. Stattdessen verwendet man Kristallgitter, um Interferenzerscheinungen beobachten zu können. (10.10) Bei Röntgenstrahlung tritt bei Streuung an einem Kristallgitter ebenso Interferenz auf wie bei Licht an einem optischen Gitter. Daher muss es 10.6 Bragg-Reflexion Definition 10.7 Die Bedingung für Interferenzerscheinungen an einem Kristallgitter heißt BRAGG-Reflexion. S KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK Abbildung 10.6: Bragg- Reflexion. Und mit Gleichung 10.11: Nur, wenn der einfallende Strahl einer elektromagnetischen Welle unter bestimmten Winkeln auf das Gitter trifft, wird dieser auch reflektiert. In Abbildung 10.6 bezeichnet d den Abstand der Kristallatome. Der obere Strahl besitzt nach Austritt aus dem Kristallgitter den Gangunterschied 6 = 2s gegenüber dem unteren Strahl. Damit tritt konstruktive Interferenz dann ein, wenn Aufgrund des rechtwinkligen Dreiecks gilt: kλ 2 Resultat 10.8 Für alle Winkel O mit s = d sin 0k. = d sin 0k sin k = 8 kλ = 2s ⇒ s = sin 0k = kX 2d kλ 2d erhält man Interferenzmaxima, für alle anderen Winkel Interferenzminima. 89 kλ 2 Auf dem Schirm entstehen dann charakteristische DEBYE-SCHERRER-Ringe. (10.11) (10.12) (10.13) (10.14) KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK 10.7 Elektronenbeugung und De-Broglie-Wellenlänge Definition 10.8 Beugung und Interferenz treten auch bei Elektronen auf. {} TUA oooor Abbildung 10.7: Elektronenbeugung am Kristallgitter und DE-BROGLIE-Wellenlänge. Die Elektronen werden durch ein elektrisches Feld beschleunigt und am Graphitkristall gebeugt. Man erhält ein typisches Interferenzmuster mit Minima und Maxima (in Form von Ringen) auf dem Schirm. Der Elektronenstrahl muss in der Folge auch Wellencharakter besitzen. Resultat 10.9 Elektronen (und andere Teilchen) müssen Wellenlängen besitzen. 10.7.1 De-Broglie-Wellenlänge Aus Gleichung 10.10 folgert man, dass auch Materieteilchen wie Elektronen eine Wellenlänge besitzen könnten. Resultat 10.10 Diese heißt DE-BROGLIE-Wellenlänge mit Graphit- kristall XB = XB.e shhim = h 90 Р Für die Elektronen aus Abbildung 10.7 gilt konkret: h h Р mev' mit v = vo als Geschwindigkeit nach Verlassen des elektrischen Feldes. (10.15) (10.16) Die Elektronen werden vom elektrischen Feld beschleunigt. Es gilt mit dem Energieerhaltungs- satz: KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK XB,e Resultat 10.11 Für XB,e also h h Р me vo Ekin Eel 1 ₂m₂v² = €UA⇒vo=₁ maz Quelle (10.17) Spiegel St me TC-> Mit dieser Formel berechnete Wellenlängen konnten experimentell bestätigt werden! 10.8 Mach-Zehnder-Interferometer San h Strahlteiler ST2 2eUA me Definition 10.9 Durch einen Strahlteiler wird Licht in A in zwei Teilstrahlen (rot und grün) aufgeteilt. Diese laufen am Punkt B wieder zusammen. 91 2eUA me 6=TC TC h √2eme UA BE Detektor D2 - Detektor Di 8=0 Strahlteiler ST1 Spiegel sz Abbildung 10.8: MACH-ZEHNDER-Interferometer (10.17) (10.18) (10.19) Bei jeder Reflexion an einer Grenzfläche zu einem optisch dichteren Medium erhält die Welle einen Phasensprung von 7. . Damit erfährt der rote Strahl bis B zwei Phasensprünge (y = 2π) • Der grüne Strahl nur einen (= = π). KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK Wird der grüne Strahl am Strahlteiler ST2 reflektiert, kommt ein weiterer Phasensprung hinzu. Dann sind beide Strahlen im Detektor D1 phasengleich und interferieren konstruktiv. Im Detektor D2 kommt allerdings kein weiterer Phasensprung für den grünen Strahl hinzu, sodass beide Strahlen um Ay = π phasenverschoben sind; es kommt also zu destruktiver Interferenz. 10.9 Quantenobjekte 10.9.1 Stochastisches Verhalten Resultat 10.12 In der Quantenphysik hat ein Experiment mehrere mögliche Ausgänge, die vom Zufall bestimmt sind. Einzelergebnisse können also nicht allgemein vorhergesagt werden. Bei vielen Wiederholungen ergibt sich allerdings eine statistische Verteilung, die - bis auf wenige stochastische Schwankun- gen reproduzierbar ist. 10.9.2 Interferenz mit sich selbst Man erhält auch dann ein Interferenzmuster, wenn sich immer nur ein einzelnes Quantenobjekt in der Anordnung befindet. Resultat 10.13 Das Quantenobjekt interferiert mit sich selbst. Die Interferenz entsteht dann als Überlagerung aller denkbaren gleichberechtigten Möglichkeiten (für das Eintreten desselben Versuchsergebnisses). Die Interferenz kann hier analog zum Zeigerdiagramm beim Einzelspalt mit rotierenden Zeigern der Wellenfunktion (x) erklärt werden. Die Zeiger heißen V-Zeiger (Psi). Ihr Betragsquadrat 2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein Quantenobjekt auf einer bestimmten Stelle auf dem Schirm befindet. Bei Maxima ist |² maximal Bei Minima ist V² genau0 Definition 10.10 Am Doppelspalt interferiert jedes Photon mit sich selbst, dort stehen ihm zwei mögliche gleichberechtigte Pfade zum Ziel offen - durch jeden Spalt ein Pfad. Für jeden Spalt rotiert ein V-Zeiger. Er dreht sich auf der Strecke X genau einmal. Wie bei Wellen werden beide Zeiger im Zielpunkt auf dem Schirm vektoriell addiert. 92 1₁: Y/₂² to (a) 0. Maximum. KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK max. -XM, A 6=πC X2/3 6=120 (b) 1. Minimum. Abbildung 10.9: Wellenfunktion am Doppelspalt. -Xms x213 -Xo 127 1₂2= = 2 2/3 4/₂2 (c) Dazwischen. 93 An der Stelle xo befindet sich das Maximum 0. Ordnung. Dort besitzen beide -Zeiger die Phase 1 = 0, weshalb der resultierende -Zeiger seine maximale Länge hat. Dort landen die Quantenobjekte mit der größten Wahrscheinlichkeit. Beim, ist die Phase der V-Zeiger 2 = 7, weshalb der resultierende -Zeiger die Länge 0 hat. Dort landen keine Quantenobjekte, da die Auftreffwahrscheinlichkeit 0 ist. Bei ei x² = 3⁄ïm,1 ist die Phase 43 = (92 − 91) = 7, weshalb die V-Zeiger im Winkel von 120° zueinander phasenverschoben sind. Die Länge des resultierenden y-Zeigers ist nicht maximal, aber auch nicht 0 Quantenobjekte treffen dort mit geringerer Wahrscheinlichkeit auf als beim 0. Maximum, die Intensität ist dort geringer aber dennoch nicht 0. 10.9.3 Verhalten beim Messprozess In der klassischen Physik wird eine zuvor festliegende Eigenschaft eines Systems durch Messung festgestellt. Resultat 10.14 In der Quantenphysik wird das System durch Messung dazu gezwungen, sich für einen der möglichen Messwerte zu entscheiden. Ihm wird also die Messgröße als Eigenschaft zugeschrieben, die es zuvor nicht besaß. Messergebnisse sind stets eindeutig, auch wenn sich das Quantenobjekt vor der Messung in einem Zustand befindet, der unbestimmt bezüglich der gemessenen Größe ist. KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK Definition 10.11 Zur Erinnerung: Die Wellenfunktion (x) beschreibt die Wahrscheinlich- keit aller Möglichkeiten der Auftrefforte eines Quantenobjekts. Wird dem Quantenobjekt durch Messung allerdings die Eigenschaft Ort zugeschrieben, kollabiert die Wellenfunktion. 10.9.4 Komplementarität Führt man z.B. an den Spalten eines Doppelspaltes eine Ortsmessung durch, so bleibt das Interferenzmuster auf dem Schirm aus; stattdessen erhält man eine Verteilung als Summe aus beiden Einzelspaltverteilungen. Resultat 10.15 Ortseigenschaft und Interferenzmuster sind nicht gleichzeitig realisierbar. Trotz mehrerer denkbarer Möglichkeiten tragen Quantenobjekte nicht zur Interferenz bei, wenn durch Messung eine Information vorhanden ist, die man eindeutig einer der klassisch denkbaren Möglichkeiten zuordnen kann. Im Beispiel des Doppelspaltes sind die klassisch denkbaren Möglichkeiten das Durchqueren des linken oder rechten Spaltes. Durch Messung erhält man die eindeutige Information, durch welchen Spalt das Quantenobjekt gewandert ist. Damit kann man diese Information exakt einer der beiden denkbaren Möglichkeiten zuordnen und das Quantenobjekt verliert seine Interferenzfähigkeit. Bemerkung 10.1 Interferenzmuster und Unterscheidbarkeit der klassisch denkbaren Möglich- keiten schließen sich gegenseitig aus. Beobachtet man also Interferenz, ist die Welcher-Weg-Frage grundsätzlich nicht beantwortbar. Ist sie beantwortbar, so gibt es keine Interferenz. 10.9.5 Verschränktheit von Quantenobjekten Definition 10.12 Die Quantenverschränkung ist das Phänomen, dass zwei räumlich vonein- ander getrennte Teilchen Informationen über ihre Eigenschaften ohne Zeitverzögerung austau- schen können (z. B. die Polarisation eines Photons). 94 KAPITEL 10. QUANTENPHYSIK 10.9.6 Heisenberg'sche Unschärferelation APX Abbildung 10.10: Heisenberg'sche Unschärferelation. Für ₁ gilt ebenfalls: Definition 10.13 Paare von Eigenschaften, so z. B. Ort und Impuls, können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Je genauer man die eine Größe misst, desto ungenauer wird die Messung der anderen. Im rech ligen Dreieck mit dem Winkel Apx Py Resultat 10.17 Resultat 10.16 Unschärferelation. Es ist prinzipiell nicht möglich, Bahnen von Quantenobjekten vorherzusagen. sin 3 = Gleichsetzen von 10.20 und 10.21 liefert: sin 3₁ = zum 1. Minimum gilt: Apx APTA h 1 b 1. Minimum = 95 1. Minimum X Ax X Apxλ Ax → Δ· Δρ. = h. h Heisenberg'sche Unschärferelation. (10.20) (10.21) (10.22)