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Stochastik

14.11.2021

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Grundbegribbe
Zufallsexperiment - Ergebnis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig oft
wiederholt werden und muss min. zwei mögliche Ergebniss

Grundbegribbe Zufallsexperiment - Ergebnis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig oft wiederholt werden und muss min. zwei mögliche Ergebnisse besitzen Ergebnis (e)-möglicher Ausgang eines zufallexperiments Ergebnisraum (2)- vereint alle möglichen Ergebnisse (Sejezi...) Ereignis (A)-Teilmenge der Ergebnismenge (Ereignis A-Gegenereignis Ā), -sicheres Ereignis A tritt immer ein schließt alle Ergebnisse der Ergebnismenge ein, die nicht zur Menge des Ereig- nis A gehören. Laplace-Experiment -alle Ergebnisse haben die selbe Wahrscheinlich- keit 121=n (Ergebnisraum: mit Elementen:n) - P(E)= IEI = k = Anzahl der günstigen " Ereignisse 1521 n Anzahl der möglichen "Ereignisse - unmögliches Ereignis dagegen nie - P(A) P(A): 1-P(A) = Gwsk. Baumdiagramme Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mehr stufiger/zusammengesetzter Zufallsexperimente P(A) P(A) PA (8) Baumdiagramm- mehrmals durchgeführtes Zufallsexperiment (mehrstufi- ges Zufallsexperiment); dargestellt in Baumdiagrammen mit Pfäden und verästelungen - Produktregel: Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade werden multipliziert - Summen regel Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse werden addiert Zufallsgrößen absolute Häufigkeit - wie oft das Ergebnis bei n Versuchen vorkommt: H₁ (E) Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufall experiments eine reelle Zahl zu. relative Häufigkeit - Quotient aus abs. Häufigkeit und der Anzahl n der Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X gibt an, mit welchen Wahr- Durchführungen H₂ (A) = H₂(A) n PA (B) PA (8) P (8) B=P (ANB) 1.Stufe: B=P(An B) 2. Stufe B=P(An B) B=P(ANB) umgekehrtes Baumdiagramm = A mit B vertauscht Vierfeldertafel Bestimmung von Wahrschein- lichkeiten der verknüpfungen zweier Ereignisse. Binomialverteilte Zufallsgröße (Bernoulli-Formel) Bedingte Wahrscheinlichkeit wenn bei einem Zufallsexperiment mit den möglichen Ereignissen A und B, Beintritt Zufallsgröße X, die die Anzahl...

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der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Größe unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetreten ist. (Länge) n mit Treffer wahrscheinlichkeit p und k Treffer Treffer Gegentreffer PA (B) = P(ANB) P (B) = Wahrscheinlichkeit von Bunter A P(AnB)-Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten P(A) A A B P(ANB) PLANB) P(B) B PAN8) PLANB) P(B) PCA) P(A) 1 P(X= k) = / = k) = (n ) sm ( :(0≤k ≤n) 25! Binomial koeffizient:(n Stochastische Unabhängigkeit 25 Schüler n-25 =4,457,400 n! 11 Spieler k=11 (11 111- (25-11)! Möglichkeiten k! (n-k) Reihenfolge Bernoulli - Experiment Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen egal Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das eintreten von A (Treffer und Niete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeich- keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B hat (gilt auch genau umgekehrt) net man mit p, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit q=1-p. Die n-fache unab- hängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments heißt Bernoulli-Kette der Lange n. Die Treffer wahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. PA (B)=P(B) Pg (A)=P(A) es gilt: P(AnB)=P(A) P(B) Wird diese Bedingung nicht erfüllt sind A und B stochastisch abhängig! P(ANB) P(A) P(B) 0.050,2-0,1 |A|A| 80.05 0.15 0.2 €0,05 0,75 0.8 0,1 0,34 Sats von Bayes Für zwei Ereignisse A und B gilt: PB (A) = P(ANB) P(B) 0,05 0,02-stochastisch abhängig! 825 P₁ 0,25 P₁ STOCHASTIK X₁ X₂ scheinlichkeiten P₁, P., Pn die Zufallsgröße mögliche Werte x₁,x2,... X annimmt. Hypothesentest X₁ X₁ X₂ PCX=X₁)| P₁ P₁- P(x=x;) Histogramm pn (2) I muss zusammen addiert ergeben (Normierungsbedingung) | 0 || Ⓡ ->gezinkter würfel (Augenzahl 6 wird mit einer P(x=x;) 0,49 0,42 0,09 wahrscheinlichkeit von 0,3 geworfen) x₁ (0x6); x₂ (1x6);x3(2x6) P(x=0) 0,7-0,7 -0,49 Anzahl der ber bei 2x würfeln P(x =1) (0,3-0,3)-2 0,42 M = 0 0,49 + 1-0,42+2-0,09 0,6 n P(x-2) 0,3-0,3 -0,09 X₁ Erwartungswert: M = E(X) = x₁ P₁+ X₂ ·P₂+...+Xn Pn varianz: Var (X)=(x-μ)².p₁ +...+ (Xn-μ)² - pn = Standardabweichung: (x₁ -μ)²) (x₁ Pi empirische Standard abweichung: √(₁-x)² h₂+ + (xn-x)²¹ hn I\ wert arithmetisches Mittel relative Häufigkeit wahrscheinlichkeit Erwartungswert:μ = E(x) = n.p Standardabweichung: oo (X) = √n-p-(1-p) · genau k Treffer : P(x=k) = (R)-p*- (^-p)"-k höchstens k Treffer: P(x≤k) weniger als k Treffer: P(x <k) = P(X²k-1) mindestens k Treffer: P(x= k) = 1-P(X²k-1) mehr als k Treffer: P(x+k) = P(x=k+1) = 1-P(XSK) ·mindestens k₁, aber höchstens k₂ Treffer: P(kas Xk₂) = P(x≤K₂) - P(X²k₁-1) Sigma-Begeln (1) P(M-05 X$μ +o)= 68,3%. Erwartungswert - Standardabweichung oder (2) PM-205x5+20) * 95,5% (3) PLM-30≤x≤M +30) ~ 99,7% Signifikanztest - bei einem Hypothesentest wird eine Vermutung (Nullhypothese Ho) aufgestellt über eine Wahrscheinlichkeit und diese wird anhand einer Stichprobe ge- testet das Ergebnis entscheidet darüber, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird (Gegenhypothese: H₁) -Fehler Fehler 1. Art Ho wird irrfumlich abgelehnt , obwohl die Nullhypothese stimmt 100 μ Je größer n ist und je näher p bei 0,5 liegt, desto besser wird die Näherung. wird durch das signifikanzniveau beschränkt (5%) B-Fehler Fehler 2. Art: Ho wird irrtümlich angenommen, obwohl was anderes gilt Annahmebereich behalten mit anderer Wahrscheinlichkeit p: Bcd (0, x,20,0,1) Bcd (0,x,20,0,4) kumulierte Wahrscheinlichkeiten Mathe lieben 40% n=4000 M4000-40-100 900 lieben Mathe von den 1000 -Fehler (5%)