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Ableitungen und Extrempunkte
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Ableitungen f(x) = x² f(x) = x² f(x) = 5x4 f(x) = 4x³ f(x) = x³ = f'(x) = 3x² f(x)= x² = f'(x) = 2x = f(x) f(x) = 4x f(x) = 5x f(x) = 6 x = 3x = f(x) = 3 f'(x) = 4 f(x) = 5 f'(x) = 6 = = = Funktion 1. Ableitung = f '(x) = - Aufgabe: Bestimme die x3 +3x2 +45x + 8 = -3 x2 + bx + 45 2. Ableitung = f'(x) = -6 × + 6 - - 3x² + 6x + 45 = 0 (-3) x² + 2x 15 = 0 pq- - Formel Die Zahl vom Exponenten geschoben wird vor das x und der Exponent verkleinert sich um 1 MATHE Beispiel: => x₁ Die Basis bleibt die gleiche, nur das x verschwindet ²/72 ± √ ( ² ) ² + 15 = -3 Basis 5x4 Y₁ -Exponent x2=5 f(x) = 4x³ = f'(x) = 12ײ f(x) = 6x² = f'(x) = 30x4 f(x) = 6x f'(x) = 20x³ f(x) = 3 x 2 f(x) = Extrempunkte anhand der folgenden Funktion: 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 Damit die Extrempunkte gefunden werden können, muss die erste Ableitung (f'(x)) gleich null sein. Das bedeutet man setzt die Funktion der ersten Ableitung gleich null = = 5x4 = bzw. einzelne Zahlen verschwinden in der Ableitung einfach. f(x)=x"-6 = f(x) = 4x3 → Die oben beschriebenen Methoden, werden an dieser Funktion angewandt → Auch hier werden die Methoden angewandt, nur bei der ersten Ableitung Wenn bei diesem Schritt eine Zahl vor dem x...
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Alternativer Bildtext:
steht, muss man IMMER zuerst durch diese teilen. → die ganze Funktion wird durch -3 geteilt Die Zahl vom Eponenten wird mit der Zahl von der Bosis multiplieziert. Dieses Ergebnis wird vor dos x geschrieben und der Exponent wird um 1 kleiner 1± √√ 111²+ mögliche Extrempunkte +15 allgemeine pq- Formel: **£ ± √(P)² -q² 2 Jetzt müssen die Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden dafür gilt: wa für Tiefpunkte f"(x) > 0 WW für Hochpunkte f(x) < 0 UMUM ww AM Als nächstes die zwei möglichen f"(-3)= -6 (-3) + 6 = 24 f"(5) = −6·5 + 6 = -24 : f(s) = -53 +3.5² + 45.5+ 8 = 183 MMMMM : Extrempunkte (3,5) in die zweite Ableitung (f"(x)) einsetzen => Tiefpunkt => Hochpunkt ww MM Hierbei spielt die 24 als Zahl absolut keine Rolle und war nur dafür zuständig zu entscheiden ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Da die x-Werte (-3; 5) nun bestimmt sind, muss man die y-Werte herausfinden Dafür werden die x-Werte in die erste Funktion (f(x) eingesetzt f(-3) = -(-3)³ + 3 (-3)² + 45 · (−3) + 8 = -73 Tiefpunkt x-Wert " Hochpunkt > HP (5/183) →y-Wert x-Wert TP(-3| - 73) y-Wert