Das Additionsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Das Additionsverfahren ist eine effektive Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Diese Seite erklärt den Prozess anhand von Beispielen und bietet eine schrittweise Anleitung zur Anwendung des Verfahrens.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen.

Das Verfahren beginnt mit der Umstellung einer der Gleichungen, sodass eine Variable in beiden Gleichungen mit entgegengesetzten Vorzeichen auftritt. Dies ermöglicht die Elimination dieser Variable durch Addition der Gleichungen.

Example: Gegeben sei das Gleichungssystem: I: 3x - 8y = 14 II: 7x + 4y = 78

Um die Variable y zu eliminieren, wird Gleichung II mit 2 multipliziert:

14x + 8y = 156

Nun können die Gleichungen addiert werden, wodurch sich y aufhebt:

3x - 8y = 14 14x + 8y = 156 17x = 170

Highlight: Nach der Addition bleibt eine Gleichung mit nur einer Variable übrig, die sich einfach auflösen lässt.

Durch Division durch 17 erhalten wir x = 10. Dieser Wert kann nun in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt werden, um y zu berechnen.

Example: Einsetzen in Gleichung I: 3(10) - 8y = 14 30 - 8y = 14 -8y = -16 y = 2

Das Additionsverfahren kann auch auf komplexere Systeme angewendet werden, wie das Beispiel mit den Gleichungen -3x + 5y = 2 und 4x - 5y = 6 zeigt. Hier wird durch Addition direkt x eliminiert, was zur Lösung y = 4 und x = 6 führt.

Vocabulary: Lineare Gleichungssysteme lösen bedeutet, die Werte für die Variablen zu finden, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Abschließend wird ein weiteres Beispiel mit den Gleichungen -2x + 11y = 1 und 4x + 22y = 2 präsentiert, das die Vielseitigkeit des Additionsverfahrens demonstriert.

Highlight: Das Additionsverfahren ist besonders nützlich, wenn eine Variable leicht eliminiert werden kann, und bietet eine systematische Herangehensweise zur Lösung linearer Gleichungssysteme.