Tangentengleichungen und rationale Funktionen

Dieser Teil des Lernzettels konzentriert sich auf die Bestimmung von Tangentengleichungen und die Eigenschaften rationaler Funktionen. Die Schritte zur Ermittlung einer Tangentengleichung werden detailliert erläutert:

1. Bestimmung der Ableitung f'$x$
2. Berechnung des y-Wertes, falls nicht gegeben
3. Berechnung der Steigung m
4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung y = mx + t
5. Angabe der endgültigen Tangentengleichung

Beispiel: Für die Funktion f$x$ = $x-1$² - 2 und den Punkt P$-1|2$ wird die Tangentengleichung Schritt für Schritt bestimmt.

Der Zusammenhang zwischen Tangenten- und Normalengleichung wird ebenfalls behandelt, wobei auf Sonderfälle hingewiesen wird.

Bei den rationalen Funktionen wird besonderes Augenmerk auf die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs und die Analyse von Polstellen gelegt.

Definition: Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen. Ihr Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, außer den Nullstellen des Nenners.

Die Umformung rationaler Funktionen in Bruch- und Summenform wird demonstriert, und die Bedeutung von Polstellen wird hervorgehoben.

Highlight: Polstellen sind entscheidend für das Verständnis des Verhaltens rationaler Funktionen und treten auf, wenn der Nenner Null wird.

Abschließend wird das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung vorgestellt, ein iteratives Verfahren zur Annäherung an die Nullstellen einer Funktion.

Umkehrfunktionen und Stammfunktionen

In diesem Abschnitt werden die Konzepte der Umkehrfunktionen und Stammfunktionen behandelt. Die Umkehrfunktion wird als eine Funktion definiert, die die Zuordnung der ursprünglichen Funktion rückgängig macht.

Definition: Eine Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Zuordnung der Funktion f rückgängig. Es gilt: f⁻¹$f(x$) = x für alle x im Definitionsbereich von f.

Es wird betont, dass nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist die Injektivität der ursprünglichen Funktion.

Highlight: Eine Funktion lässt sich nicht umkehren, wenn es zwei verschiedene x-Werte gibt, die demselben y-Wert zugeordnet werden.

Der Lernzettel geht auch auf Stammfunktionen ein, die als Gegenstück zur Ableitung verstanden werden können.

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn F'$x$ = f$x$ für alle x im Definitionsbereich gilt.

Es wird darauf hingewiesen, dass die Bestimmung von Stammfunktionen nicht eindeutig ist, da sich Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden können.

Beispiel: Für die Funktion f$x$ = x² ist F$x$ = $1/3$x³ + C eine Stammfunktion, wobei C eine beliebige reelle Konstante ist.

Abschließend werden einige Beispiele für Stammfunktionen gegeben, darunter die Stammfunktion für f$x$ = ax^n, die als F$x$ = $a/(n+1$)x^$n+1$ + C angegeben wird.

Trigonometrische Funktionen und graphisches Ableiten

Der letzte Teil des Lernzettels befasst sich mit den Eigenschaften und Ableitungen trigonometrischer Funktionen sowie dem Konzept des graphischen Ableitens. Die wichtigsten Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion werden vorgestellt:

Highlight:

• Definitionsbereich: R
• Wertebereich: $-1, 1$
• Periodizität: 2π
• Symmetrieeigenschaften: Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen werden angegeben:

Vocabulary:

• $sin x$' = cos x
• $cos x$' = -sin x
• $tan x$' = 1 / $cos x$²

Besondere Aufmerksamkeit wird der Ableitung der Tangensfunktion gewidmet, die mithilfe der Quotienten- und Kettenregel hergeleitet wird.

Das Konzept des graphischen Ableitens wird eingeführt und anhand von Beispielen erläutert. Dabei werden folgende Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Funktion f$x$ und ihrer Ableitung f'$x$ hervorgehoben:

1. Nullstellen von f'$x$ entsprechen Stellen, an denen f$x$ eine Steigung von 0 hat.
2. Positive Bereiche von f'$x$ entsprechen Bereichen mit positiver Steigung in f$x$.
3. Negative Bereiche von f'$x$ entsprechen Bereichen mit negativer Steigung in f$x$.

Example: An einem konkreten Funktionsgraphen wird gezeigt, wie man die Nullstellen der Ableitung, sowie positive und negative Bereiche der Ableitung ablesen kann.

Abschließend wird betont, dass das graphische Ableiten ein wichtiges Werkzeug zum Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung ist.

Inverse Functions and Integration

This page covers inverse functions and introduces the concept of antiderivatives.

Definition: An inverse function F⁻¹ reverses the original function's mapping.

Example: If f$x$ = x³, then f⁻¹$x$ = ∛x

Highlight: A function must be one-to-one to have an inverse.

Graphical Differentiation and Applications

This page demonstrates how to understand derivatives through graphical interpretation.

Definition: The derivative graph shows the slope of the original function at each point.

Example: Where f$x$ has zero slope, f'$x$ crosses the x-axis.

Highlight: Key relationships between a function and its derivative:

• Positive slopes indicate f'$x$ > 0
• Negative slopes indicate f'$x$ < 0
• Horizontal tangents correspond to f'$x$ = 0

Ableitungsregeln und Grundlagen der Analysis

Dieser Abschnitt des Lernzettels befasst sich mit den grundlegenden Ableitungsregeln und Konzepten der Analysis. Die Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und Produktregel werden vorgestellt und mit Beispielen erläutert.

Ein besonderer Fokus liegt auf dem Differenzenquotienten und der mittleren Änderungsrate. Der Differenzenquotient wird als wichtiges Konzept zur Berechnung der Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion eingeführt.

Definition: Der Differenzenquotient ist definiert als $f(x+h$ - f$x$) / h und gibt die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall $x, x+h$ an.

Die Berechnung der mittleren Änderungsrate wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert:

Beispiel: Für die Funktion f$x$ = x² - 3 im Intervall $2, 9$ wird die mittlere Änderungsrate berechnet.

Weiterhin wird die Kettenregel für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen vorgestellt und ihre Anwendung erklärt.

Highlight: Die Kettenregel ist ein mächtiges Werkzeug zur Ableitung komplexer Funktionen und besagt, dass für f$x$ = u$v(x$) gilt: f'$x$ = u'$v(x$) · v'$x$.

Abschließend wird die Quotientenregel für die Ableitung von Bruchfunktionen eingeführt, die eine wichtige Ergänzung zu den anderen Ableitungsregeln darstellt.