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Analytische Geometrie Abiturvorbereitung

Analytische Geometrie Abiturvorbereitung

 Richtung zwischen
2
Analytische Geometrie
AB (B-A) → →
PUNKTEN
Beispiel
A (9/5/3)
›-(2)
B (x/y/z)
Gegenvektor BA → Vorzeichen umdrehen
Orts

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Richtung zwischen 2 Analytische Geometrie AB (B-A) → → PUNKTEN Beispiel A (9/5/3) ›-(2) B (x/y/z) Gegenvektor BA → Vorzeichen umdrehen Ortsuektoren U →Ort des vektors" Punkt ursprung, AB beschreibt den Uektor von AB= → OA ✓OB → KONTROLLE ↳ Vektorkette AB + BC + CA = (8) B RECHNEN T wenn O von dem ausgegangen wird JA nach OB R A 2-3-(3-4) K T OB-JA N 1 O N a-=Addition des Gegenvektors SKALARRODUKT → Multiplikation von Uektoren (9)· (9) e = a.d + b⋅e + c.f vektoren rauskommt → rechtwinklig WINKEL Beispiel *-(3) cos (x) = Beispiel a) *- (1) zwei vektoren. là Bl Tall cos(x) = 10-03) 100 ZWISCHEN = -2+6+15 VAY .V38 - (2) = = cos (x) = 0,82 | cos^ LÄNGE VON vektoren |AB| = √(x₁)² + (x₂)² + (x3)² LINEA DE Un-/Abhängigkeit LIIVL/ INL √532 α = 34,5° Richtungsvektoren sind vielfache von einander → linear abhängig Richtungsvektoren sind keine Vielfache von einander linear unabhängig 0,82 → linear abhängig → linear unabhängig 9: x = 3 + + ₁ 7 Stützuektor → Ortsuektor zu einem Punkt P, der auf der Gerade liegt Ursprungsgerade Richtungsuentor →Gerade, die durch Koordinatenursprung geht (1) 9₁ (8) + t. 7 (a) g₁-(1)-+- (₁) · * aus zwei Punkten OA als Stützuektor wählen 2 AB als Richtungsvektor wählen ED ADEN gleichung ULIV IDLIV Punktprobe → Punkt in einsetzen Beispiel 9₁ - (3) + + (4) A (-41115) = t t<o - 4 = at -2 = t 4= -2t 0<t<^ t>o t40 ++ Analytische Geometrie ← →t=-2 → t= -2 →t=-2 я остал Stützuektor subtrahieren •Aeg P liegt P liegt zwischen A und B P liegt am rechten Rand am linken Rand t>o GERADEN 4 Fälle 1) g=h → identisch a) glh g=h Ⓒ (2) 9"h Punkt probe Vergleich der Richtungsvektoren linear abhängig Punkt probe جا ↳ prüfe Stützuektor von g in h (oder umgekehrt) →gsh gleiches Ergebnis ap LAGE VON GERADEN parallel/ Vergleich der Richtungsvektoren linear abhängig Berechnung prüfe Stützuektor von in h ง keine Lösung Beispiel O in X einsetzen 0 = −4+ 2t ⇒ t...

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= 2 S (5/6/0) X₁X₂ Ebene → x3 0 (o) - (20) + (²2) + t Schnittpunkte mit der *AX2-/ X2 X3- und X₁ X3 - Ebene einsetzen 3) glih punase 9:* - (§) g schneidet h X *-*-(3) · 4) windschief X · · (8) (3) (oder umgekehrt) X₁X₂ Ebene → X₂ X3 Ebene → X₁X3- Ebene → g schneidet h parallel zur x3-Achse parallel zur X₁ X3 - Ebene X3=0 9 liegt windschief zu h @ XA = O Besondere Lagen von Geraden X2=0 Vergleich der Richtungsvektoren linear unabhängig gah setzen S+r auf eine Seite bringen wenn eine Lösung → Schnitt punkt ↳s oder r in g oder h einsetzen für S Vergleich der Richtungsvektoren → linear unabhängig g=h setzen ↳ s+r auf eine Seite bringen keine Lösung → windschief ·*-(3) (3) j. (3) (3) 'r beschreibt die XA-Achse → liegt in der X₁X3 - Ebene DENG aufstellen LULNL 3 Punkte E: X = A + s⋅ AB + +· AC Punkt und Gerade E: = A + s() + + (OAP) gix Zwei Geraden Parameterdarstellung Lage prüfen Schnittpunkt windschief identisch parallel Parallel Idee A Ebene obene Schnittpunkt Schnittpunkt S als OA wählen → EX= S() +r() + + () sbane ax₁ + bx2 = IR TO Analytische Geometrie Ebene → E: X = A + s() + + (AB²) IR >O: IR abc spurpunkte →→Schnittpunkte mit Koordinaten achsen ax₁ + bx₂ + cx3 = 0 RV linear unabhängig → alle S (0/010) RV linear abhängig →kein S mit x3-Achse SA (R/0/0); S₂ (0/B/0) IR=O1 alle s (01010) Anzahl der Spurpunkte abhängig von x-Koordinaten Schnittpunkt X₁ - Achse → × ₂ = 0 ; x3 = 0 Schnittpunkt X₂-Achse → XA=0 i x3 = 0 Schnittpunkt X3-Achse → X₁=0 i x₂=0 ehenen SCHREIBWEISE Parameter form E : X = A + s · () + + · () Normalen form Idee 7 = senkrechter Normalen vektor Vorgehen n Berechnung mit Skalarprodukt 1. Bedingung 2. Bedingung s(§). € (†) · ñ = 0 7 = 0 Koordinatenform E: Gleichungssystem a n₁ + b ₂ + c n3 = 0 d n₁ + en₂ fn3 = 0 gn₁+ hn3=O ↳n₁ wählen und n3 ausrechnen n-Werte in 1. oder 2. Gleichung einsetzen 7 = 0₂ Probe : 7. ()=0 ✓ E [A]. Beispiel E: [-]).. (@)-)) - E: 3 X₁1 X₂ + 2×3 (9+5+4) = O E: 3 XA-A X₂ + 2 × 3 = 48 XA → perfekt um Spurpunkte abzulesen S₁ (6/0/0) 5₂ (0/-18/0) S3 (01019) X₁ X3 Ebene J₁ X₂ X3 Ebene An rauswerfen X₁X₂ Ebene 17x₂ Beispiel ¤ : ✰ - (â) · ³ ( ³ ) + + (8) E: S Skalarprodukt 1. Bedingung (³) = 0 Gleichungssystem . 2. Bedingung +03 алл + па-зпл O 30A 2+1₂+9 = 0 · = 0 30₁ 03 = O nA = A / n3 = (-3)→ in 1. Gleichung 7 = (^^) Ebene E: => [* - (A)] - (₁¹) (*) · (~^) - (â) · (^^) E: E AXA+Mx₂ + 3x3 - (-A+M+3) = O E: AXA+Mx₂ + 3x3 = 13 0₂= -M Punkt-Ebene P (x/0/0) P (0/x/0) P (0/0/x) Punkte auf der x₂-Ebene → Punkte auf der X3-Ebene → Punkte auf der X₁X₂-Ebene → Punkte auf der X₂X3- Ebene P (0/x/x) Punkte auf der X₁X3-Ebene → P(x/0/x) P (x/x/0) → an X₁X₂ - Ebene → an X₂X3- Ebene Punkte auf der x₁- Ebene → Punkt an Ebene spiegeln X3-Wert verändert sich X₁-Wert verändert sich an X₁ X₂- Ebene → X₂-Wert verändert sich Vorgehen E: ax₁ + bx2 + cx3=d 9₁ - (8)· () t Q → 3 a. (x+ut) + b (y+vt) + c (z+wt) = d wenn E in Parameterform 3 Fälle →ausmultiplizieren 2. LGS 3. in E einsetzen gE setzen ↳Uariabeln auf eine Seite bringen glle gne ODER LGS 0=3 gcE → LGS: →LGS: LGS Analytische Geometrie • S A. E₁ E₂ setzen t = 3 (in O=O Ebenen in Parameter form ...પ. GERADE-EBENE zagedezichungen g S = At+2 wenn E Jariablen auf eine Seite bringen einsetzen für S) N nach einer Variable auflösen E N 4. in eine Ebene mit dieser Variable einsetzen wichtig Ebenen linear abhängig sind, gibt es keine Schnittgerade Parallele Gerade zu einer Ebene finden. Grundidee: Beispiel E XA 3X₂-1×3=4 7. Ⓒ (3 (3) Richtungsvektor suchen (=) (²) = OV Punkt bestimmen Probe ↳ zufällig, darf aber nicht auf € liegen → 9:* = (§) 1 (1+3s)-3 (5+^s)-1 (7+ Os) = 4 Skalarprodukt + S A-3.5-(-18) = 4 PLA/5/-18) in E einsetzen 4=4 Identische Gerade zu einer Ebene finden 9 →siene gle Punkt muss so gewählt werden, dass er auf & liegt Beispiel gce in E einsetzen schneidende Gerade zu einer Ebene finden EA X₁ X₂ = x3 =1 Richtungsvektorn darf nicht sein Ebenen in Koordinaten form Ег: ЧХА-Х2 - Х3 = 3 5 x₁-2 x3 = 3 -21 = 4 J+ x₂ = 1 + 1,5 t A Variable kicken" nach einer Variable auflösen x3 = -2 +2₁5 X^ t fehlt gle wähle x₁ = t → X₁ = 0+1+ x3 = -22,5 t t+ x₂ (-2+2,5+) = 1 Ziel → in EA/E₂ einsetzen 9 E: 9₁ * = (-2) --- (1²8) EBENE EBENE 2 X₁-3 X₂ + 1x3 = 12 identische Ebene → Ebene mit Linear faktor multiplizieren E; 4 X₁-6x2 + 1 x3 = 24 (-a) parallele Ebene → bleibt gleich, Wert wird verändert Ep: a x1-3×z + 1 X3 =1 schneidende Ebene → darf nicht linear abhängig sein Es: A X₁ + 5 x₂-3x3 = 2 Sonderfall 1 E₂: E₁: 3x₁2x₂ + x3 = 4 und ХА Sonderfall 2 E₂: E₂: E₁: 2x₂ Sonderfälle Sonderfall 3 E₁: 3x₁2x₂ + x3 = 4 · (*) - ( ) + + ( )| -2x3 = -1 3+2 Uariablen x₂ = -1,75 + 1,75 X₁/t wähle x₁=t in EA für X3 3x₁2x₂ + 6 = 4 x3 = 6 = 4 X36 x2 = 2+0+ 3+1 Variablen X₂= A + A₁5X₁/t ) ² X3 rauskicken X3 = 6 + ot →in EA einsetzen wähle x₁=t 1+1 Variablen x₁ = t → X₁ = 0 + At PUNKT EBENE Idee 0 Analytische Geometrie ARSTANDSBERECHNUNG (2) gegeben P (2/-1/2); E: 2x₁ +^x2+2x3 = 6 Lotgerade aufstellen (3 Pals Stützuektor wählen In als Richtungsvektor wählen 9₁ × = (-²2) • * (²1) t Lotfuppunkt Schnittpunkt gl-E Seitenansicht g in E einsetzen 2. (2+at) +^ · (~^+t) + 2 (2+2t) = 6 7+9+=6 9t = -1 t in gu einsetzen * = (-²^) - â · (1) → Abstand PL L - (16/- 10/16) PL = (-/-â/-) TELL-√(-)-(4)-(-a) ZWEI ZVV LI te Längenberechnung A. Jektor AB bilden PUNKT GERADE Idee E: Vorgehen 9: · * ▪ (1) ++ (³) ; P (21-315) [*-(3)] · () -- ausmultiplizieren t=-2 in g Abstand PL PL= E: 2X₁ + 1x₂-1 X3 = -4 g in E einsetzen 2. (4+at) 1· (3++)-1-(3-t) = -4 Vorgehen 4 (2 Abstand |AB| = √√(x^)²(x₂)²+ (x3)² (33) |PL|= √(-2)² +4² +0² = √₂0 2 senkrechte Ebene einsetzen Richtungsvektor von g = der Hilfsebene L(0/1/5)

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(3) (3) 'r beschreibt die XA-Achse → liegt in der X₁X3 - Ebene DENG aufstellen LULNL 3 Punkte E: X = A + s⋅ AB + +· AC Punkt und Gerade E: = A + s() + + (OAP) gix Zwei Geraden Parameterdarstellung Lage prüfen Schnittpunkt windschief identisch parallel Parallel Idee A Ebene obene Schnittpunkt Schnittpunkt S als OA wählen → EX= S() +r() + + () sbane ax₁ + bx2 = IR TO Analytische Geometrie Ebene → E: X = A + s() + + (AB²) IR >O: IR abc spurpunkte →→Schnittpunkte mit Koordinaten achsen ax₁ + bx₂ + cx3 = 0 RV linear unabhängig → alle S (0/010) RV linear abhängig →kein S mit x3-Achse SA (R/0/0); S₂ (0/B/0) IR=O1 alle s (01010) Anzahl der Spurpunkte abhängig von x-Koordinaten Schnittpunkt X₁ - Achse → × ₂ = 0 ; x3 = 0 Schnittpunkt X₂-Achse → XA=0 i x3 = 0 Schnittpunkt X3-Achse → X₁=0 i x₂=0 ehenen SCHREIBWEISE Parameter form E : X = A + s · () + + · () Normalen form Idee 7 = senkrechter Normalen vektor Vorgehen n Berechnung mit Skalarprodukt 1. Bedingung 2. Bedingung s(§). € (†) · ñ = 0 7 = 0 Koordinatenform E: Gleichungssystem a n₁ + b ₂ + c n3 = 0 d n₁ + en₂ fn3 = 0 gn₁+ hn3=O ↳n₁ wählen und n3 ausrechnen n-Werte in 1. oder 2. Gleichung einsetzen 7 = 0₂ Probe : 7. ()=0 ✓ E [A]. Beispiel E: [-]).. (@)-)) - E: 3 X₁1 X₂ + 2×3 (9+5+4) = O E: 3 XA-A X₂ + 2 × 3 = 48 XA → perfekt um Spurpunkte abzulesen S₁ (6/0/0) 5₂ (0/-18/0) S3 (01019) X₁ X3 Ebene J₁ X₂ X3 Ebene An rauswerfen X₁X₂ Ebene 17x₂ Beispiel ¤ : ✰ - (â) · ³ ( ³ ) + + (8) E: S Skalarprodukt 1. Bedingung (³) = 0 Gleichungssystem . 2. Bedingung +03 алл + па-зпл O 30A 2+1₂+9 = 0 · = 0 30₁ 03 = O nA = A / n3 = (-3)→ in 1. Gleichung 7 = (^^) Ebene E: => [* - (A)] - (₁¹) (*) · (~^) - (â) · (^^) E: E AXA+Mx₂ + 3x3 - (-A+M+3) = O E: AXA+Mx₂ + 3x3 = 13 0₂= -M Punkt-Ebene P (x/0/0) P (0/x/0) P (0/0/x) Punkte auf der x₂-Ebene → Punkte auf der X3-Ebene → Punkte auf der X₁X₂-Ebene → Punkte auf der X₂X3- Ebene P (0/x/x) Punkte auf der X₁X3-Ebene → P(x/0/x) P (x/x/0) → an X₁X₂ - Ebene → an X₂X3- Ebene Punkte auf der x₁- Ebene → Punkt an Ebene spiegeln X3-Wert verändert sich X₁-Wert verändert sich an X₁ X₂- Ebene → X₂-Wert verändert sich Vorgehen E: ax₁ + bx2 + cx3=d 9₁ - (8)· () t Q → 3 a. (x+ut) + b (y+vt) + c (z+wt) = d wenn E in Parameterform 3 Fälle →ausmultiplizieren 2. LGS 3. in E einsetzen gE setzen ↳Uariabeln auf eine Seite bringen glle gne ODER LGS 0=3 gcE → LGS: →LGS: LGS Analytische Geometrie • S A. E₁ E₂ setzen t = 3 (in O=O Ebenen in Parameter form ...પ. GERADE-EBENE zagedezichungen g S = At+2 wenn E Jariablen auf eine Seite bringen einsetzen für S) N nach einer Variable auflösen E N 4. in eine Ebene mit dieser Variable einsetzen wichtig Ebenen linear abhängig sind, gibt es keine Schnittgerade Parallele Gerade zu einer Ebene finden. Grundidee: Beispiel E XA 3X₂-1×3=4 7. Ⓒ (3 (3) Richtungsvektor suchen (=) (²) = OV Punkt bestimmen Probe ↳ zufällig, darf aber nicht auf € liegen → 9:* = (§) 1 (1+3s)-3 (5+^s)-1 (7+ Os) = 4 Skalarprodukt + S A-3.5-(-18) = 4 PLA/5/-18) in E einsetzen 4=4 Identische Gerade zu einer Ebene finden 9 →siene gle Punkt muss so gewählt werden, dass er auf & liegt Beispiel gce in E einsetzen schneidende Gerade zu einer Ebene finden EA X₁ X₂ = x3 =1 Richtungsvektorn darf nicht sein Ebenen in Koordinaten form Ег: ЧХА-Х2 - Х3 = 3 5 x₁-2 x3 = 3 -21 = 4 J+ x₂ = 1 + 1,5 t A Variable kicken" nach einer Variable auflösen x3 = -2 +2₁5 X^ t fehlt gle wähle x₁ = t → X₁ = 0+1+ x3 = -22,5 t t+ x₂ (-2+2,5+) = 1 Ziel → in EA/E₂ einsetzen 9 E: 9₁ * = (-2) --- (1²8) EBENE EBENE 2 X₁-3 X₂ + 1x3 = 12 identische Ebene → Ebene mit Linear faktor multiplizieren E; 4 X₁-6x2 + 1 x3 = 24 (-a) parallele Ebene → bleibt gleich, Wert wird verändert Ep: a x1-3×z + 1 X3 =1 schneidende Ebene → darf nicht linear abhängig sein Es: A X₁ + 5 x₂-3x3 = 2 Sonderfall 1 E₂: E₁: 3x₁2x₂ + x3 = 4 und ХА Sonderfall 2 E₂: E₂: E₁: 2x₂ Sonderfälle Sonderfall 3 E₁: 3x₁2x₂ + x3 = 4 · (*) - ( ) + + ( )| -2x3 = -1 3+2 Uariablen x₂ = -1,75 + 1,75 X₁/t wähle x₁=t in EA für X3 3x₁2x₂ + 6 = 4 x3 = 6 = 4 X36 x2 = 2+0+ 3+1 Variablen X₂= A + A₁5X₁/t ) ² X3 rauskicken X3 = 6 + ot →in EA einsetzen wähle x₁=t 1+1 Variablen x₁ = t → X₁ = 0 + At PUNKT EBENE Idee 0 Analytische Geometrie ARSTANDSBERECHNUNG (2) gegeben P (2/-1/2); E: 2x₁ +^x2+2x3 = 6 Lotgerade aufstellen (3 Pals Stützuektor wählen In als Richtungsvektor wählen 9₁ × = (-²2) • * (²1) t Lotfuppunkt Schnittpunkt gl-E Seitenansicht g in E einsetzen 2. (2+at) +^ · (~^+t) + 2 (2+2t) = 6 7+9+=6 9t = -1 t in gu einsetzen * = (-²^) - â · (1) → Abstand PL L - (16/- 10/16) PL = (-/-â/-) TELL-√(-)-(4)-(-a) ZWEI ZVV LI te Längenberechnung A. Jektor AB bilden PUNKT GERADE Idee E: Vorgehen 9: · * ▪ (1) ++ (³) ; P (21-315) [*-(3)] · () -- ausmultiplizieren t=-2 in g Abstand PL PL= E: 2X₁ + 1x₂-1 X3 = -4 g in E einsetzen 2. (4+at) 1· (3++)-1-(3-t) = -4 Vorgehen 4 (2 Abstand |AB| = √√(x^)²(x₂)²+ (x3)² (33) |PL|= √(-2)² +4² +0² = √₂0 2 senkrechte Ebene einsetzen Richtungsvektor von g = der Hilfsebene L(0/1/5)