Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

Koordinatengeometrie

726

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Aktualisiert Mar 20, 2026

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5 Seiten

Analytische Geometrie: Grundlagen und Konzepte

Kaja

@kaja_13

Die analytische Geometrie ist dein Werkzeug, um den dreidimensionalen Raum... Mehr anzeigen

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# Analytische Geometrie

# Koordinatensystem

Be

1-1-Kooidralensystem

"2-1-Koordinateraystem"

# Punkte un Koordinatensystem

Der Punkt P

Koordinatensystem und Vektoren Grundlagen

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Punkt im Raum befindet. Genau dafür brauchst du das dreidimensionale Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse.

Jeden Punkt P beschreibst du mit drei Zahlen: P $x/y/z$ . Um ihn zu finden, gehst du vom Ursprung aus: erst x Schritte nach rechts, dann y nach vorne und z nach oben. So einfach ist das!

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: $d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$ . Das ist wie der Satz des Pythagoras, nur in 3D.

Vektoren sind Pfeile, die eine Bewegung von A nach B beschreiben. Sie haben eine Richtung und eine Länge. Wichtig: Pfeile mit gleicher Länge und Richtung sind derselbe Vektor, egal wo sie stehen.

Merke dir: Ein Ortsvektor verbindet immer den Ursprung mit einem Punkt!

Rechnen mit Vektoren

Vektorrechnung ist eigentlich ziemlich logisch! Bei Addition und Subtraktion rechnest du einfach jede Koordinate einzeln: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ .

Die skalare Multiplikation macht einen Vektor länger oder kürzer: $r \cdot \vec{v}$ bedeutet, jede Koordinate wird mit r multipliziert. Wenn r > 1, wird der Vektor länger; wenn 0 < r < 1, wird er kürzer.

Verbindungsvektoren zeigen von Punkt A zu Punkt B: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ . Die Länge eines Vektors berechnest du mit $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ .

Den Mittelpunkt einer Strecke findest du, indem du die Ortsvektoren addierst und durch 2 teilst: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ .

Linearkombinationen sind Vektoren aus mehreren Summanden: $\vec{v} = r\vec{a} + s\vec{b}$ . Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Tipp: Wenn du prüfen willst, ob Vektoren parallel sind, schau nach, ob $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ gilt!

Skalarprodukt, Winkel und Geraden

Das Skalarprodukt ist super praktisch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ . Wenn das Ergebnis 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander!

Den Winkel zwischen Vektoren findest du mit: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Dann rechnest du $\alpha = \cos^{-1}(...)$ .

Geraden beschreibst du mit der Parametergleichung: $\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{b}$ . Dabei ist $\vec{a}$ der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und $\vec{b}$ der Richtungsvektor.

Um eine Geradengleichung aufzustellen, brauchst du zwei Punkte A und B. Nimm einen als Stützvektor und berechne $\vec{AB}$ als Richtungsvektor.

Bei der Punktprobe setzt du den Ortsvektor des Punkts gleich der Geradengleichung. Wenn du für alle Koordinaten denselben r-Wert erhältst, liegt der Punkt auf der Geraden.

Merkhilfe: Eine Gerade braucht einen festen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung (Richtungsvektor)!

Schnittpunkte und Ebenen

Schnittpunkte von Geraden findest du, indem du beide Geradengleichungen gleichsetzt und das entstehende LGS löst. Setz dann r in eine Gerade ein, um den Schnittpunkt zu bekommen.

Lagebeziehungen von Geraden erkennst du an den Richtungsvektoren: Sind sie kollinear? Dann sind die Geraden parallel oder identisch. Sind sie nicht kollinear? Dann haben sie einen Schnittpunkt oder sind windschief.

Ebenen beschreibst du mit: $E: \vec{x} = \vec{p} + r\vec{v} + s\vec{u}$ . Du brauchst einen Stützvektor $\vec{p}$ und zwei Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ , die nicht kollinear sind.

Die Grundebenen sind besonders wichtig:

xy-Ebene: z-Koordinate ist immer 0
yz-Ebene: x-Koordinate ist immer 0
xz-Ebene: y-Koordinate ist immer 0

Eselsbrücke: Eine Ebene brauchst du drei nicht-kollineare Punkte oder einen Punkt plus zwei Richtungen!

Lagebeziehungen und Spurpunkte

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene findest du, indem du beide gleichsetzt. Das LGS verrät dir alles: eine Lösung = Schnittpunkt, keine Lösung = parallel, unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.

Bei Punkt und Ebene setzt du den Punkt in die Ebenengleichung ein. Hat das LGS eine Lösung, liegt der Punkt in der Ebene.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte mit den Grundebenen. Sie haben immer mindestens eine Koordinate gleich 0. Jede Gerade und Ebene hat 1 bis 3 Spurpunkte.

Spurpunkte einer Geraden berechnest du, indem du eine Koordinate gleich 0 setzt, nach r auflöst und in die Geradengleichung einsetzt.

Spurpunkte einer Ebene findest du ähnlich: Setz zwei Koordinaten gleich 0, löse das LGS und bestimme die dritte Koordinate.

Praxis-Tipp: Spurpunkte helfen dir beim Zeichnen von Geraden und Ebenen im Koordinatensystem!

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