Mathe /

Extrempunkte berechnen

Extrempunkte berechnen

Inhalt ansehen

Extrempunkte berechnen

nova :)

442 Followers

Follow

Teilen

Speichern

185

 

11/12/10

Lernzettel

-Wie berechne ich einen Extrempunkt -Schritt für Schritt

Extremstellen (Hoch- & Tiefpunkte) haben die Steigung 0. Steigung = Ableitung Ableitung= f'(x) Erklärung: 1. Funktion ableiten 2. Notwendige Bediengung (NB) erste Ableitung wird gleich 0 gesetzt 3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen Man erhält alle möglichen Extremstellen! 4. Hinreichende Bediengung (HRB) Extrempornkte Die Nullstellen werden in die zweite Ableitung eingesetzt & ausgerechnet 5. Ist der enstandene Wert größer oder kleiner als 0? f"(x) < 0 = Hochpunkt f"(x) > 0 = Tiefpunkt = 6. Xo/Nullstellen (~3,46 & 2) in die Ausgangs- funktion einsetzen Also ist (3,46/37,9) ein Hochpunkt & (2/6) ein Hochpunkt. Beispiel: f(x)= x³-x f'(x)= 3x²-1 f"(x) = 6x f'(x) = 3x²-1=0 f'(x)= 3x²-1=0 3x²=1 x² = x₁ = √3 f'(x)=0 und f"(xo) #0 f" (x₁) = f'" (+ √²¹) = 6 - √ ² 3,46 f"(x₂)=f"(-√ ) = 6 · (3) = 2 f"(x₁) ~ 3,46 f"(x₂) = 2 bestimmen f(x)= x³-x f(3,46)=3,463-3,46 37,9 f(x)= x³-x f(2)=2³-2 = 6 TIM |+1 1:3 >0 ⇒ Hochpunkt > 0 → Hochpunkt I√ einsetzen: 2 einsetzen: 3,46 Zur Erinnerung: Auf der Suche nach Extrempunkten Notwendige Bediengung (NB): f'(x)=0 Beispiel: Hinreichende Bedienung (HB): f'(x) = 0 und f"(x) ‡ 0 (1) NB: y (2) HB: Zusammenfassung Extrempunkte bestimmen: (1) NB: f'(x₂) = 0 (2) HB: f'(x₂) = 0 f(x)=x²-x f'(x) = 3x²-1 f"(x) = 6x lokales Maximum lokales Minimum f'(x)=03x²-1=0 3x²= 1 x²=3 >X f"(x) >0 (man bekommt die möglichen Extremstellen) und f(xo) <0 ⇒H Punkt f"(x₂) > 0 ⇒T Punkt (3) X₁ in die Fkt.-Gleichung einsetzen und y-Wert berechnen (xo/yo) Extrempunkt | +1 1:3 I y ↑ f'(x)=0 und f"(xo) #0 f" (x₂₁ ) = f " (+ √²+¹) = 6· √ ²3² > 0 ⇒T Punkt f" (x₂) = f "(-√² ) = 6 - ( ²13 ) <0...