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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

 27.09.2021 Extremwert probleme mit Nebenwertbedingungen.
Aufgabe: Aus 20cm Draht soll ein Rechteck mit Maximalem
Flächeninhalt gebogen werd

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Erklärung zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen aus der Q1

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27.09.2021 Extremwert probleme mit Nebenwertbedingungen. Aufgabe: Aus 20cm Draht soll ein Rechteck mit Maximalem Flächeninhalt gebogen werden. Bestimmen Sie die Seitenlängen und Flächeninhalt. A. Extremalbedingung (Zielgröße) A = a.b (Flächeninhalt) 2. Nebenbedingung 20= 2a + 2b u a = (Umfang) 3. Nebenbedingungen nach einer Variable auflösen und in die Zielgröße einsetzen 1 2 g + 2 b 2 a 20 10 4. Zielfunktion A(b) сло A(b) = A' (b) = 20 - - 2 b b - b). b 2 6² + 10 b 5. Extrem stelle bestimmen notw. Bed.: f(x) = 0 - 1:2 2 b + 10 2 b + 10 = 0 2 b b ein => a = 10 - 5 a 5 I. setze b = 5 in A (5) = 5² 2 b + hinr. Bed.: f'(x) = 0 ^_f"(x) * 0 A" (b) = -2 8 => A"(5) = 2 < 0 => Max 6. Weitere Werte bestimmen I. setze b=5 in 8 - ein 10.5 10 5 10 a 1: (-2) 525 6 A b b 9 8 5 4 U= 2a + 2b = 20 A 9 16 25 24 Das Rechteck mit dem max. Flächeninhalt besitzt die Seitenlängen a=5cm und b= 5cm und dementsprechend eine Flächeninhalt von 25 cm². 10.12.21 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt vom 36 cm². Bestimme die kantenlängen so, dass der Umfang minimal wird. 1. Extremalbedingungen. u = 2a + 2b 2. Nebenbedingung 36 36 a.b b 3. Zielfunktion u (a) = 2a + 2 = u' (a) = u" (a) = 2-22 22 72 72 - - 72 36 a = 2q + 72 aª 2 144 a-³ 4. Extreme berechnen Notwendige Bedingung : f'(x) = 0 2-72a² = 0 O = -2 8 1: a 72a2 √6 36 =a² -2a² 1: (-2) b bestimmen b= 36 = 6 = 6 65 1-2 1.0² a₁ = 6 ₁ x₂ = -6 € Du л×2 . 144...

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>O 6+3 TP Umfang mittels Zielfunktion bestimmen: U (6) = 2.6 +2 36 = 12+12 = 24 6 6-3 +3 6/ ~x 8 1 6.6.6 5x² 4 = x X 1 6 4 2-( ² (â·â)· (å· ã. å) = (ả a. 3 9² + a . 2+3 a sl 6 = 6 ist richtig, da es sich um ein Rechteck handelt und es so nicht negativ sein kann. Hinreichende Bedingungen: f'(x) = 0 ₁ f"(x) # 0 u" (6) = 1446-³ 11 ● 6

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