Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind praktische Aufgaben, bei denen du das...
Mathe5.599 aufrufe·Aktualisiert 11. Sept. 2026·2 SeitenExtremwertprobleme mit Nebenbedingungen: Einfache Erklärung und Beispiele
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Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang
Stell dir vor, du hast 20cm Draht und willst daraus ein Rechteck mit der größtmöglichen Fläche biegen. Das ist ein typisches Extremwertproblem mit Nebenbedingung!
Der Trick ist, systematisch vorzugehen: Zuerst definierst du die Zielfunktion (hier: Flächeninhalt A = a·b) und die Nebenbedingung (hier: Umfang 20 = 2a + 2b). Dann löst du die Nebenbedingung nach einer Variablen auf: a = 10 - b.
Setzt du das in die Zielfunktion ein, erhältst du A = ·b = -b² + 10b. Durch Ableiten und Nullsetzen findest du das Maximum: A' = -2b + 10 = 0, also b = 5.
Merktipp: Bei Rechtecken mit festem Umfang ist das Quadrat immer die Form mit der größten Fläche!
Das Ergebnis: Ein Quadrat mit Seitenlängen a = b = 5cm und Flächeninhalt 25cm² ist optimal.
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Minimaler Umfang bei gegebener Fläche
Diesmal drehst du das Problem um: Du hast eine feste Fläche von 36cm² und suchst das Rechteck mit dem kleinsten Umfang. Das zeigt, wie vielseitig Extremwertprobleme sind!
Die Zielfunktion ist jetzt u = 2a + 2b (zu minimieren), die Nebenbedingung lautet a·b = 36. Nach Umformen der Nebenbedingung zu b = 36/a erhältst du u = 2a + 72/a.
Die Ableitung u' = 2 - 72/a² setzt du gleich null: 2 = 72/a², also a² = 36 und a = 6. Die zweite Ableitung u''(6) > 0 bestätigt das Minimum.
Interessant: Auch hier ist wieder das Quadrat die optimale Lösung mit minimalem Umfang von 24cm!
Diese Beispiele zeigen dir das Grundprinzip: Nebenbedingung auflösen, einsetzen, ableiten, Extremstelle finden.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen sind praktische Aufgaben, bei denen du das Maximum oder Minimum einer Größe findest, während bestimmte Einschränkungen gelten. Diese Probleme begegnen dir überall im Alltag - von der optimalen Gestaltung eines Gartens bis zur kostengünstigsten Verpackung.
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