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Extremalprobleme
22.2.2021
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Ziel Extremwerte von Funktionen ermitteln. durch Einbeziehung von Nebenbedingungen Vorgehen 1. Analyse der Problemstellung und Haupt- beziehungsweise Nebenbedingung aufstellen 2. Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen 3 Berechnung der 1 Ableitung f'(x) Extremalprobleme 4. Lösung der Gleichung F'(x) = 0 Lösungen sind Kandidaten für Extremal stellen 5. Berechnung der 2. Ableitung F"(x) und Einsetzen den Extremalstellen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen 6. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses Beispiel Onkel otto besitzt genau 250 m Flexiblen Zaun, mit dem er eine maximal große rechteckige weide für seine Schafe am Rana des Bachs abstecken mochte Y 250 x 2y y = 125 - 4x X Hauptbedingung: A (x+y)= XY Ergibt sich aus Formel für Flacheninhalt eines RechteckS Nebenbedingung 250 = 2y+xErgibt sich aus Zaun Lange = Formel für Umfang eines Rechtecks (nur ein x", weil x₂ der Bach ist) 250 = 2y + x nach x oder Y auflösen 250 = 2y + x-x ~ 2 x oder y (je nachdem wonach aufgelöst wurde) in Hauptbedingung einsetzen (Zielfunktion) Zielfunktion A (x)= x (1252x) A'(x)= 125-X A" (x) = -1 Suche Maximum not. Bed. 125-X = O -X = -125 x = 125 hin. Bed. A'(x) = 0 A" (125) = -1 <0 HP (1251 7812.5) Y A'(x) = 0 |-125 |-(-1) y = 125 125= 62.5 A 125 62,5 = 7812,5 m² Beispiel F(x)=x² +5 Ziel Rechteck unter einer Parabel maximieren Vorgehen 1. Mögliches Rechteck in KOS mit Funktion ein zeichnen 2. Hauptbedingung und Nebenbedingung (Funktionsgleichung) aufstellen 3. Berechnung...
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der 1 Ableitung f'(x) 4. Lösung der Gleichung F'(x) = 0 Lösungen sind Kandidaten für Extremal stellen 5. Berechnung der 2. Ableitung F"(x) und Einsetzen der um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen. 6. xin y einsetzen (Punkte, die auf Funktion Liegen) A(x) einsetzen, um Flächengröße zu berechnen 7 8. Diskussion und interpretation des Ergebnisses Extremalstellen, Hauptbedingung A(x+y) = x-y Hepenbedingung F(x)=x²+5 in Hauptbedingung einsetzen (Zielfunktion) Zielfunktion A(x)= x(x²+5) A (x) = -x³ + 5x A'(x)=-3x² + 5 A" (x) = -6x Suche Maximum. not. Bed. A'(x) = 0 - 3x² +5=0-5 =-5-3 -3x² x² hin. Bed. A" (x) O -6² = -2 √√15¹ <0 HP -6--√5 = 2√15¹ > 0 TP x in f(x) einsetzen - (J15) + 5 = 3 x. in A(x) einsetzen: (-)+5) 28.61 FE