Extremalprobleme

Emily🤍

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11/12/13

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•Zwei Arten mit Beispielen

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Ziel Extremwerte von Funktionen ermitteln durch Einbeziehung von Nebenbedingungen Vorgehen: 1. Analyse der Problemstellung und Haupt- beziehungsweise Nebenbedingung aufstellen 2. Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen 3. Berechnung der 1. Ableitung f'(x) 4. Lösung der Gleichung f'(x) = 0 Lösungen sind Kandidaten für Extremal stellen 5. Berechnung der 2. Ableitung F"(x) und Einsetzen der Extremalstellen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen 6. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses Extremalprobleme Beispiel: Onkel otto pesitzt genau 250 m Flexiblen Zaun, mit dem er eine maximal große rechteckige weide Bachs abstecken möchte. Y 250- x = 2y y = 125-x 250 = 2y + x nach x oder Y auflösen 250 = 2y + x X Hauptbedingung: A (x,y) = X · Y → Ergibt sich aus Formel für Flächeninhalt eines Rechtecks Nebenbedingung 250 = 2y + x→ Ergibt sich aus ZaunLänge = Formel für Umfang eines Rechtecks (nur ein x", weil x₂ der Bach ist) X 2 Zielfunktion A (x) = x (125-2x) A'(x) = 125-X A" (x) = -1 Suche Maximum: not. Bed. A'(x) = 0 125 x = 0 125 -X=-125 |-(-1) X = 125 hin. Bed. A"(x) = 0 A" (125) = -1 <0 HP (1257812,5) y = 125-125 = 62,5 A = 125 62,5 = 7812,5 m² X oder y (je nachdem wonach aufgelöst wurde) in Hauptbedingung einsetzen (Zielfunktion) Beispiel: f(x)=x² + 5 Ziel Rechteck unter einer Parabel maximieren -4 -3 Vorgehen: 1. Mögliches Rechteck in Kos mit Funktion ein zeichnen 2. Hauptbedingung und...

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Nebenbedingung (Funktionsgleichung) -2 aufstellen 3. Berechnung der 1. Ableitung f'(x) 4. Lösung der Gleichung f'(x) = 0 Lösungen sind Kandidaten für Extremal stellen 5. Berechnung der 2. Ableitung F"(x) und Einsetzen der Extremalstellen, um sie als Minimum oder Maximum zu erkennen 6. x in y einsetzen (Punkte, die auf Funktion Liegen) 7. x₁ in A(x) einsetzen, um Flächengröße zu berechnen 8. Diskussion und Interpretation des Ergebnisses у ^ 5 .4 N W 3 Y₂ 1×₂ 1 2 3 4 5 Zielfunktion: A(x) = x (x²+5) A (x) = A'(x) = x³ + 5x 3x² + 5 A" (x) = -6x Hauptbedingung: A(x¡y) = x. y Hepenbedingung: F(x) = -x² +5 → in Hauptbedingung einsetzen (Zielfunktion) Suche Maximum: not. Bed. A'(x) = 0 - 3x² +5=0|-5 - 3x² = -5| :- 3 x² =1/√ = für √15 A"(x) = 0 =√15 X₁ = hin. Bed. -6.√15 = 2√√15 <0 HP -6-5 = 2√√15 > O TP X₂ = seine Schafe am Rang des x₂ = x in f(x) einsetzen: - (√15 ) ² + 5 5 = -√₁5 Y₁ = 13 Y ₂ = 1400 X₁ in A (x) einsetzen: (-(15)³ +5√5)2 ≈ 8,61 FE

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