Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang
Stell dir vor, du hast 20cm Draht und willst daraus ein Rechteck mit der größtmöglichen Fläche biegen. Das ist ein typisches Extremwertproblem mit Nebenbedingung!
Der Trick ist, systematisch vorzugehen: Zuerst definierst du die Zielfunktion (hier: Flächeninhalt A = a·b) und die Nebenbedingung (hier: Umfang 20 = 2a + 2b). Dann löst du die Nebenbedingung nach einer Variablen auf: a = 10 - b.
Setzt du das in die Zielfunktion ein, erhältst du A = ·b = -b² + 10b. Durch Ableiten und Nullsetzen findest du das Maximum: A' = -2b + 10 = 0, also b = 5.
Merktipp: Bei Rechtecken mit festem Umfang ist das Quadrat immer die Form mit der größten Fläche!
Das Ergebnis: Ein Quadrat mit Seitenlängen a = b = 5cm und Flächeninhalt 25cm² ist optimal.
