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Mathe
28. Nov. 2025
411
23 Seiten
Sean Bauer @seanbauer_ttaz
Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse 11). Du findest hier alles, was du für... Mehr anzeigen
Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f'(x) = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f'(-4) durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen Sie liegen dort, wo f'(x) = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
Merke Extremstellen von f findest du, indem du die Nullstellen von f' bestimmst!
Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft mit realen Beispielen wie Messis Toren verpackt - lass dich davon nicht ablenken! Du hast 34 Spiele insgesamt 18 Heim-, 16 Auswärtsspiele.
Die Vierfeldertafel füllst du systematisch Messi traf in 14 Heimspielen und traf nicht in 7 Auswärtsspielen. Das bedeutet, er traf in 9 Auswärtsspielen und traf nicht in 4 Heimspielen. Kontrolliere immer die Summen!
Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen" 14/23.
Tipp Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
Die Schülerlösung zeigt dir, wie du strukturiert vorgehst. Bei f'(-4) wird sauber eingesetzt 16 + 8 - 8 = 16. Das ist genau richtig!
Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er x = -2 ist ein Maximum , x = 4 ein Minimum .
Erfolg Diese systematische Herangehensweise bringt dir die vollen Punkte!
Der Schüler komplettiert seine Vorzeichenanalyse professionell Er testet Werte links und rechts der Nullstellen und dokumentiert die Vorzeichenwechsel. Bei x = -2 wechselt f' von positiv zu negativ (lokales Maximum), bei x = 4 von negativ zu positiv (lokales Minimum).
Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
Praxis-Tipp Schreibe immer deine Gedankengänge auf - auch Teilpunkte zählen!
Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f(x) = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f(x) durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f'(x) = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f'(x) = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f(x) ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
GTR-Power Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!
Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f'(x) = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f'(x) = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben .
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f(t) = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
Realitätscheck Deine Ergebnisse sollten im Kontext Sinn ergeben!
Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f(t) = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient /(7-5) gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f'(t) = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
Strategie Bei komplexen Funktionen kombinierst du Rechnung mit GTR-Unterstützung geschickt!
Der Vergleich zwischen f(t) und g(t) zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f(t) < g(t) gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
Diese Aufgabe zeigt perfekt Mathematik erklärt reale Phänomene. Die Dürre 2022 wird durch Funktionsanalyse quantifizierbar und vergleichbar mit historischen Daten.
Interpretation ist key Deine mathematischen Ergebnisse müssen immer im Sachkontext erklärt werden!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
4
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Extremalprobleme mit einer detaillierten Schritt-für-Schritt-Anleitung und einem praktischen Beispiel zur Minimierung des Materialaufwands für ein Flugblatt. Diese Zusammenfassung behandelt die Haupt- und Nebenbedingungen, Zielfunktionen und die Berechnung der charakteristischen Punkte. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheLerne, wie man Extremalprobleme löst, um maximale oder minimale Werte einer Funktion zu finden. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Untersuchung von Extremstellen und ein praktisches Beispiel zur Flächenmaximierung eines Kaninchenstalls. Ideal für Studierende der Mathematik und Optimierung. Typ: Zusammenfassung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Randwerten in Funktionen. Erfahren Sie, wie Sie den Definitionsbereich analysieren und die Werte in die Anfangsfunktion einsetzen, um Hoch- und Tiefpunkte zu bestimmen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheDiese Anleitung behandelt die Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, insbesondere zur Maximierung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Sie umfasst die Schritte zur Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Ableitung der Zielfunktion und die Durchführung von Randwertuntersuchungen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Differenzialrechnung und Optimierung beschäftigen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Extremwertaufgaben, einschließlich der Extremalbedingungen, Nebenbedingungen und der Berechnung von Maxima und Minima. Ideal für Schüler der 11. Klasse, die sich auf Klausuren vorbereiten. Wichtige Konzepte wie Ableitungen, Definitionsbereiche und Randwertvergleiche werden klar erklärt.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen, insbesondere bei Quadern mit quadratischer Grundfläche. Diese Zusammenfassung behandelt die Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Berechnung von Volumen und die Bestimmung der optimalen Höhe zur Minimierung des Materialverbrauchs. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Optimierungsaufgaben vertiefen möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sean Bauer
@seanbauer_ttaz
Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse 11). Du findest hier alles, was du für deine eigene ZK brauchst: Ableitungen ohne Hilfsmittel, Wahrscheinlichkeitsrechnung und anspruchsvollere Funktionsanalyse mit GTR.
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Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f'(x) = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f'(-4) durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen: Sie liegen dort, wo f'(x) = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
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Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du: P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen": 14/23.
Tipp: Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
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Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung: x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht: Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er: x = -2 ist ein Maximum , x = 4 ein Minimum .
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Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir: Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
Praxis-Tipp: Schreibe immer deine Gedankengänge auf - auch Teilpunkte zählen!
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Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f(x) = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision: Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f(x) durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f'(x) = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f'(x) = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f(x) ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
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Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f'(x) = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch: Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f'(x) = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig: Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
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Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen: kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft: Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
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Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben .
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f(t) = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt: Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
Realitätscheck: Deine Ergebnisse sollten im Kontext Sinn ergeben!
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Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f(t) = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient /(7-5) gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f'(t) = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
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Der Vergleich zwischen f(t) und g(t) zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f(t) < g(t) gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst: So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
Diese Aufgabe zeigt perfekt: Mathematik erklärt reale Phänomene. Die Dürre 2022 wird durch Funktionsanalyse quantifizierbar und vergleichbar mit historischen Daten.
Interpretation ist key: Deine mathematischen Ergebnisse müssen immer im Sachkontext erklärt werden!
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Extremalprobleme mit einer detaillierten Schritt-für-Schritt-Anleitung und einem praktischen Beispiel zur Minimierung des Materialaufwands für ein Flugblatt. Diese Zusammenfassung behandelt die Haupt- und Nebenbedingungen, Zielfunktionen und die Berechnung der charakteristischen Punkte. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheLerne, wie man Extremalprobleme löst, um maximale oder minimale Werte einer Funktion zu finden. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Untersuchung von Extremstellen und ein praktisches Beispiel zur Flächenmaximierung eines Kaninchenstalls. Ideal für Studierende der Mathematik und Optimierung. Typ: Zusammenfassung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Randwerten in Funktionen. Erfahren Sie, wie Sie den Definitionsbereich analysieren und die Werte in die Anfangsfunktion einsetzen, um Hoch- und Tiefpunkte zu bestimmen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheDiese Anleitung behandelt die Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, insbesondere zur Maximierung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Sie umfasst die Schritte zur Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Ableitung der Zielfunktion und die Durchführung von Randwertuntersuchungen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Differenzialrechnung und Optimierung beschäftigen.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Extremwertaufgaben, einschließlich der Extremalbedingungen, Nebenbedingungen und der Berechnung von Maxima und Minima. Ideal für Schüler der 11. Klasse, die sich auf Klausuren vorbereiten. Wichtige Konzepte wie Ableitungen, Definitionsbereiche und Randwertvergleiche werden klar erklärt.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen, insbesondere bei Quadern mit quadratischer Grundfläche. Diese Zusammenfassung behandelt die Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Berechnung von Volumen und die Bestimmung der optimalen Höhe zur Minimierung des Materialverbrauchs. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Optimierungsaufgaben vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
