Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse...
Mathe881 aufrufe·Aktualisiert 30. Juli 2026·23 SeitenZentrale Klausur Mathematik EF 2023 - Aufgaben und Lösungen
Sean Bauer@seanbauer_ttaz
1 / 10
1
of 10
Prüfungsteil A - Aufgabe 1: Ableitungsfunktion
Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f' = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f' durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen: Sie liegen dort, wo f' = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
Merke: Extremstellen von f findest du, indem du die Nullstellen von f' bestimmst!
2
of 10
Prüfungsteil A - Aufgabe 2: Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft mit realen Beispielen wie Messis Toren verpackt - lass dich davon nicht ablenken! Du hast 34 Spiele insgesamt: 18 Heim-, 16 Auswärtsspiele.
Die Vierfeldertafel füllst du systematisch: Messi traf in 14 Heimspielen und traf nicht in 7 Auswärtsspielen. Das bedeutet, er traf in 9 Auswärtsspielen und traf nicht in 4 Heimspielen. Kontrolliere immer die Summen!
Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du: P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen": 14/23.
Tipp: Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
3
of 10
Musterlösung Teil A - Schülerbearbeitung
Die Schülerlösung zeigt dir, wie du strukturiert vorgehst. Bei f' wird sauber eingesetzt: 16 + 8 - 8 = 16. Das ist genau richtig!
Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung: x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht: Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er: x = -2 ist ein Maximum (Vorzeichenwechsel von + nach -), x = 4 ein Minimum .
Erfolg: Diese systematische Herangehensweise bringt dir die vollen Punkte!
4
of 10
Fortsetzung Musterlösung und Vierfeldertafel
Der Schüler komplettiert seine Vorzeichenanalyse professionell: Er testet Werte links und rechts der Nullstellen und dokumentiert die Vorzeichenwechsel. Bei x = -2 wechselt f' von positiv zu negativ (lokales Maximum), bei x = 4 von negativ zu positiv (lokales Minimum).
Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir: Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
Praxis-Tipp: Schreibe immer deine Gedankengänge auf - auch Teilpunkte zählen!
5
of 10
Prüfungsteil B - Aufgabe 3: Kubische Funktion
Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision: Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f' = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f' = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
GTR-Power: Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!
6
of 10
Erweiterte Funktionsanalyse
Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f' = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch: Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f' = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig: Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
7
of 10
Differenzenquotienten verstehen
Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen: kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft: Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
8
of 10
Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe Ederstausee
Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben (t = 0 entspricht 1. Januar 2022).
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt: Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
Realitätscheck: Deine Ergebnisse sollten im Kontext Sinn ergeben!
9
of 10
Komplexe Anwendungsaufgaben meistern
Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient / gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f' = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
Strategie: Bei komplexen Funktionen kombinierst du Rechnung mit GTR-Unterstützung geschickt!
10
of 10
Funktionsvergleich und Interpretation
Der Vergleich zwischen f und g zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f < g gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst: So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
Diese Aufgabe zeigt perfekt: Mathematik erklärt reale Phänomene. Die Dürre 2022 wird durch Funktionsanalyse quantifizierbar und vergleichbar mit historischen Daten.
Interpretation ist key: Deine mathematischen Ergebnisse müssen immer im Sachkontext erklärt werden!
Wir dachten schon, du fragst nie...
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: Kritische Punkte
9MatheMathematik für Wirtschaft: Analysis & Stochastik
Entdecken Sie die Grundlagen der Mathematik für Wirtschaft und Verwaltung mit Fokus auf Analysis (Extremstellen, Wendepunkte, Integrale) und Stochastik (Standardabweichung, Varianz, Bernoulli-Formel). Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte und deren Anwendungen in der Wirtschaft. Ideal für Abiturienten und Studierende der Wirtschaftswissenschaften.
121,47337
MatheMathe Abi: Lernstrategien
Entdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
1125,483720
MatheAnalysis für das Abitur
Umfassende Zusammenfassung der Analysis für das Abitur 2022. Behandelt Themen wie Integralrechnung, Ableitungen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Flächenberechnung zwischen Graphen und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.
1110,243228
MatheAbleitungen und Wendepunkte
Entdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen und Wendepunkte in Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Übersetzungshilfen für die Bestimmung von Funktionsgleichungen, Hoch- und Tiefpunkten sowie die Anwendung der Differenzialrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
113022
MatheMathematik Fachabi Zusammenfassung
Umfassende Übersicht über wichtige mathematische Konzepte für das Fachabitur in Sachsen. Behandelt werden ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen, E-Funktionen, Integralrechnung, Vektorrechnung sowie die Anwendung von Differenzierung. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis zentraler Themen.
1296526
MatheAnalysis Grundlagen: Ableitungen & Tangenten
Diese Klausur behandelt die Grundlagen der Analysis mit Fokus auf Ableitungen, Tangenten, Extremstellen und Wendepunkte. Ideal für Schüler der 11. Klasse im Grundkurs Mathematik. Erfahren Sie, wie man Tangentengleichungen aufstellt und lokale Extremstellen sowie Wendepunkte berechnet. Punkte: 14.
1111,445442
MatheExtrempunkte und Wendepunkte
Erfahren Sie alles über die Berechnung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten sowie Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Ableitungsfunktionen, notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Nullstellen und die Bedeutung der zweiten Ableitung. Ideal für Mathematik LK Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
112,28127
MatheMathe ABI 2023: Alle Themen
Dieser umfassende Lernzettel für das Mathematik-Abitur 2023 in NRW deckt alle relevanten Themen ab, einschließlich Analysis, Stochastik, Geometrie und Integralrechnung. Ideal für Grund- und Leistungskurs, geprüft von einer Mathe-LK Lehrerin. Perfekt zur Vorbereitung auf die Prüfung!
1114,926657
MatheMathematik: Funktionsuntersuchungen
Diese Klausur behandelt zentrale Themen der Mathematik, einschließlich zusammengesetzter Funktionen, Verkettungen und Funktionsuntersuchungen. Die Aufgaben umfassen die Berechnung von Ableitungen, Nullstellen und die Analyse von Symmetrien. Ideal für Schüler der Q1, die sich auf Prüfungen vorbereiten möchten. (Klausur, 13 Punkte)
123,618102
Beliebtester Inhalt in Mathe
9MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,387117
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,216518
MatheZP10 Mathe
Alle Themen der Mathe ZP 10
104,01277
MatheAlles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule
Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.
105,090119
MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9564,842
MatheAnalysis: Funktionsscharen & Ableitungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über zentrale Themen der Analysis, einschließlich Funktionsscharen, Ableitungen, Extrempunkte, Integrale und e-Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur im Mathematik Grundkurs. Verstehe die Konzepte und deren Anwendungen mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen.
1113,492288
MatheZK EF NRW Lernzettel alle Themen
Perfekte Vorbereitung auf die Mathe ZK, alle Themen der Stufe EF
111,72036
MatheMathe ZK 2025
Hier ist ein Lernzettel zu allen Themen für die Zentrale Klausur der EPH (11) für 2025 || Themen: Funktionen & Vektoren
112,567109
MatheMathematik ZP10 Zusammenfassung
Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.
1127,1152,466
Beliebtester Inhalt
9
LerntippsFührerschein Theorie Wiederholung/Notizen
Schilder, Zeichen, Zahlen, Vorfahrt und mehr - alles für die theoretische Führerscheinprüfung :)
1110,138172
DeutschDer zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung
Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel
1323,601359
DeutschHeimsuchung komplette Zusammenfassung
Zusammenfassung des Buches als auch der einzelnen Kapitel und deren Charakteren. Auch tabellarisch. Im Unterricht ohne KI erstellt
126,368136
MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,387117
1
Englisch10 unregelmäßige Verben im past participle
unregelmäßige Verben aus Englisch - past participle
64,2963
Deutsch„Heimsuchung“ - Jenny Erpenbeck Lernlandkarte/ Lern Übersicht
Lernzettel/ Lernlandkarte Heimsuchung, Jenny Erpenbeck, Methodik Deutsch Abitur
112,86150
DeutschHeimsuchung - Jenny Erpenbeck
Inhalt, Entstehung und Quellen, Figuren, Geschichtliche Hintergründe, Motive, Erzählstruktur/- stil
1135,186670
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,216518
LerntippsFahrschule Theorieprüfung Essentials
Entdecke die wichtigsten Punkte für die Theorieprüfung in der Fahrschule. Diese Zusammenfassung behandelt Geschwindigkeitsbegrenzungen, Sicherheitsabstände, Verkehrszeichen und wichtige Berechnungen für Reaktions- und Bremswege. Ideal für angehende Fahrer, die sich optimal vorbereiten möchten.
1177,2372,201
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin
Mathe881 aufrufe·Aktualisiert 30. Juli 2026·23 SeitenZentrale Klausur Mathematik EF 2023 - Aufgaben und Lösungen
Sean Bauer@seanbauer_ttaz
Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse 11). Du findest hier alles, was du für deine eigene ZK brauchst: Ableitungen ohne Hilfsmittel, Wahrscheinlichkeitsrechnung und anspruchsvollere Funktionsanalyse mit GTR.
1
of 10
Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Prüfungsteil A - Aufgabe 1: Ableitungsfunktion
Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f' = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f' durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen: Sie liegen dort, wo f' = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
Merke: Extremstellen von f findest du, indem du die Nullstellen von f' bestimmst!
2
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Prüfungsteil A - Aufgabe 2: Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft mit realen Beispielen wie Messis Toren verpackt - lass dich davon nicht ablenken! Du hast 34 Spiele insgesamt: 18 Heim-, 16 Auswärtsspiele.
Die Vierfeldertafel füllst du systematisch: Messi traf in 14 Heimspielen und traf nicht in 7 Auswärtsspielen. Das bedeutet, er traf in 9 Auswärtsspielen und traf nicht in 4 Heimspielen. Kontrolliere immer die Summen!
Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du: P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen": 14/23.
Tipp: Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
3
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Musterlösung Teil A - Schülerbearbeitung
Die Schülerlösung zeigt dir, wie du strukturiert vorgehst. Bei f' wird sauber eingesetzt: 16 + 8 - 8 = 16. Das ist genau richtig!
Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung: x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht: Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er: x = -2 ist ein Maximum (Vorzeichenwechsel von + nach -), x = 4 ein Minimum .
Erfolg: Diese systematische Herangehensweise bringt dir die vollen Punkte!
4
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Fortsetzung Musterlösung und Vierfeldertafel
Der Schüler komplettiert seine Vorzeichenanalyse professionell: Er testet Werte links und rechts der Nullstellen und dokumentiert die Vorzeichenwechsel. Bei x = -2 wechselt f' von positiv zu negativ (lokales Maximum), bei x = 4 von negativ zu positiv (lokales Minimum).
Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir: Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
Praxis-Tipp: Schreibe immer deine Gedankengänge auf - auch Teilpunkte zählen!
5
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Prüfungsteil B - Aufgabe 3: Kubische Funktion
Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision: Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f' = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f' = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
GTR-Power: Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!
6
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Erweiterte Funktionsanalyse
Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f' = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch: Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f' = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig: Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
7
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Differenzenquotienten verstehen
Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen: kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft: Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
8
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe Ederstausee
Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben (t = 0 entspricht 1. Januar 2022).
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt: Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
Realitätscheck: Deine Ergebnisse sollten im Kontext Sinn ergeben!
9
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Komplexe Anwendungsaufgaben meistern
Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient / gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f' = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
Strategie: Bei komplexen Funktionen kombinierst du Rechnung mit GTR-Unterstützung geschickt!
10
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Funktionsvergleich und Interpretation
Der Vergleich zwischen f und g zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f < g gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst: So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
Diese Aufgabe zeigt perfekt: Mathematik erklärt reale Phänomene. Die Dürre 2022 wird durch Funktionsanalyse quantifizierbar und vergleichbar mit historischen Daten.
Interpretation ist key: Deine mathematischen Ergebnisse müssen immer im Sachkontext erklärt werden!
Wir dachten schon, du fragst nie...
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: Kritische Punkte
9MatheMathematik für Wirtschaft: Analysis & Stochastik
Entdecken Sie die Grundlagen der Mathematik für Wirtschaft und Verwaltung mit Fokus auf Analysis (Extremstellen, Wendepunkte, Integrale) und Stochastik (Standardabweichung, Varianz, Bernoulli-Formel). Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte und deren Anwendungen in der Wirtschaft. Ideal für Abiturienten und Studierende der Wirtschaftswissenschaften.
121,47337
MatheMathe Abi: Lernstrategien
Entdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
1125,483720
MatheAnalysis für das Abitur
Umfassende Zusammenfassung der Analysis für das Abitur 2022. Behandelt Themen wie Integralrechnung, Ableitungen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Flächenberechnung zwischen Graphen und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.
1110,243228
MatheAbleitungen und Wendepunkte
Entdecken Sie die Grundlagen der Ableitungen und Wendepunkte in Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Übersetzungshilfen für die Bestimmung von Funktionsgleichungen, Hoch- und Tiefpunkten sowie die Anwendung der Differenzialrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
113022
MatheMathematik Fachabi Zusammenfassung
Umfassende Übersicht über wichtige mathematische Konzepte für das Fachabitur in Sachsen. Behandelt werden ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen, E-Funktionen, Integralrechnung, Vektorrechnung sowie die Anwendung von Differenzierung. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis zentraler Themen.
1296526
MatheAnalysis Grundlagen: Ableitungen & Tangenten
Diese Klausur behandelt die Grundlagen der Analysis mit Fokus auf Ableitungen, Tangenten, Extremstellen und Wendepunkte. Ideal für Schüler der 11. Klasse im Grundkurs Mathematik. Erfahren Sie, wie man Tangentengleichungen aufstellt und lokale Extremstellen sowie Wendepunkte berechnet. Punkte: 14.
1111,445442
MatheExtrempunkte und Wendepunkte
Erfahren Sie alles über die Berechnung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten sowie Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Ableitungsfunktionen, notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Nullstellen und die Bedeutung der zweiten Ableitung. Ideal für Mathematik LK Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
112,28127
MatheMathe ABI 2023: Alle Themen
Dieser umfassende Lernzettel für das Mathematik-Abitur 2023 in NRW deckt alle relevanten Themen ab, einschließlich Analysis, Stochastik, Geometrie und Integralrechnung. Ideal für Grund- und Leistungskurs, geprüft von einer Mathe-LK Lehrerin. Perfekt zur Vorbereitung auf die Prüfung!
1114,926657
MatheMathematik: Funktionsuntersuchungen
Diese Klausur behandelt zentrale Themen der Mathematik, einschließlich zusammengesetzter Funktionen, Verkettungen und Funktionsuntersuchungen. Die Aufgaben umfassen die Berechnung von Ableitungen, Nullstellen und die Analyse von Symmetrien. Ideal für Schüler der Q1, die sich auf Prüfungen vorbereiten möchten. (Klausur, 13 Punkte)
123,618102
Beliebtester Inhalt in Mathe
9MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,387117
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,216518
MatheZP10 Mathe
Alle Themen der Mathe ZP 10
104,01277
MatheAlles was du für die ZP10 können musst! (VOLLSTÄNDIG) für Gymnasium und Realschule
Die Mathe ZP ist machbar. Durch die große Anzahl an Themen die dran kommen könnten, verliert man schnell den Überblick. Also habe ich von den kleinsten Themen bis hin zu den größten alles zusammengefasst <3.
105,090119
MatheZP10 Mathe Zusammenfassung NRW
Lernzettel für die ZP10 Mathe in NRW mit allen Themen außer Sinusfunktionen.
1061,9564,842
MatheAnalysis: Funktionsscharen & Ableitungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über zentrale Themen der Analysis, einschließlich Funktionsscharen, Ableitungen, Extrempunkte, Integrale und e-Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur im Mathematik Grundkurs. Verstehe die Konzepte und deren Anwendungen mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen.
1113,492288
MatheZK EF NRW Lernzettel alle Themen
Perfekte Vorbereitung auf die Mathe ZK, alle Themen der Stufe EF
111,72036
MatheMathe ZK 2025
Hier ist ein Lernzettel zu allen Themen für die Zentrale Klausur der EPH (11) für 2025 || Themen: Funktionen & Vektoren
112,567109
MatheMathematik ZP10 Zusammenfassung
Umfassende Zusammenfassung für die Mathematikprüfung ZP10 am Gymnasium. Behandelt zentrale Themen wie Stochastik, quadratische und exponentielle Funktionen, Geometrie, und Zinsrechnung. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.
1127,1152,466
Beliebtester Inhalt
9LerntippsFührerschein Theorie Wiederholung/Notizen
Schilder, Zeichen, Zahlen, Vorfahrt und mehr - alles für die theoretische Führerscheinprüfung :)
1110,138172
DeutschDer zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung
Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel
1323,601359
DeutschHeimsuchung komplette Zusammenfassung
Zusammenfassung des Buches als auch der einzelnen Kapitel und deren Charakteren. Auch tabellarisch. Im Unterricht ohne KI erstellt
126,368136
MatheLernzettel ZP 10 Mathe
Lernzettel von der ZP 10
105,387117
1
Englisch10 unregelmäßige Verben im past participle
unregelmäßige Verben aus Englisch - past participle
64,2963
Deutsch„Heimsuchung“ - Jenny Erpenbeck Lernlandkarte/ Lern Übersicht
Lernzettel/ Lernlandkarte Heimsuchung, Jenny Erpenbeck, Methodik Deutsch Abitur
112,86150
DeutschHeimsuchung - Jenny Erpenbeck
Inhalt, Entstehung und Quellen, Figuren, Geschichtliche Hintergründe, Motive, Erzählstruktur/- stil
1135,186670
MatheMathe ZP10 Zusammenfassung NRW
Zusammenfassung der Mathethemwn für die ZP10 NRW + Formelsammlung
1010,216518
LerntippsFahrschule Theorieprüfung Essentials
Entdecke die wichtigsten Punkte für die Theorieprüfung in der Fahrschule. Diese Zusammenfassung behandelt Geschwindigkeitsbegrenzungen, Sicherheitsabstände, Verkehrszeichen und wichtige Berechnungen für Reaktions- und Bremswege. Ideal für angehende Fahrer, die sich optimal vorbereiten möchten.
1177,2372,201
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin