Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse...
Mathe888 aufrufe·Aktualisiert 20. Aug. 2026·23 SeitenZentrale Klausur Mathematik EF 2023 - Aufgaben und Lösungen
Sean Bauer@seanbauer_ttaz
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Prüfungsteil A - Aufgabe 1: Ableitungsfunktion
Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f' = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f' durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen: Sie liegen dort, wo f' = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
Merke: Extremstellen von f findest du, indem du die Nullstellen von f' bestimmst!
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Prüfungsteil A - Aufgabe 2: Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft mit realen Beispielen wie Messis Toren verpackt - lass dich davon nicht ablenken! Du hast 34 Spiele insgesamt: 18 Heim-, 16 Auswärtsspiele.
Die Vierfeldertafel füllst du systematisch: Messi traf in 14 Heimspielen und traf nicht in 7 Auswärtsspielen. Das bedeutet, er traf in 9 Auswärtsspielen und traf nicht in 4 Heimspielen. Kontrolliere immer die Summen!
Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du: P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen": 14/23.
Tipp: Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
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Musterlösung Teil A - Schülerbearbeitung
Die Schülerlösung zeigt dir, wie du strukturiert vorgehst. Bei f' wird sauber eingesetzt: 16 + 8 - 8 = 16. Das ist genau richtig!
Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung: x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht: Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er: x = -2 ist ein Maximum (Vorzeichenwechsel von + nach -), x = 4 ein Minimum .
Erfolg: Diese systematische Herangehensweise bringt dir die vollen Punkte!
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Fortsetzung Musterlösung und Vierfeldertafel
Der Schüler komplettiert seine Vorzeichenanalyse professionell: Er testet Werte links und rechts der Nullstellen und dokumentiert die Vorzeichenwechsel. Bei x = -2 wechselt f' von positiv zu negativ (lokales Maximum), bei x = 4 von negativ zu positiv (lokales Minimum).
Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir: Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
Praxis-Tipp: Schreibe immer deine Gedankengänge auf - auch Teilpunkte zählen!
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Prüfungsteil B - Aufgabe 3: Kubische Funktion
Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision: Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f' = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f' = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
GTR-Power: Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!
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Erweiterte Funktionsanalyse
Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f' = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch: Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f' = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig: Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
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Differenzenquotienten verstehen
Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen: kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft: Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
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Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe Ederstausee
Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben (t = 0 entspricht 1. Januar 2022).
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt: Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
Realitätscheck: Deine Ergebnisse sollten im Kontext Sinn ergeben!
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Komplexe Anwendungsaufgaben meistern
Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient / gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f' = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
Strategie: Bei komplexen Funktionen kombinierst du Rechnung mit GTR-Unterstützung geschickt!
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Funktionsvergleich und Interpretation
Der Vergleich zwischen f und g zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f < g gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst: So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
Diese Aufgabe zeigt perfekt: Mathematik erklärt reale Phänomene. Die Dürre 2022 wird durch Funktionsanalyse quantifizierbar und vergleichbar mit historischen Daten.
Interpretation ist key: Deine mathematischen Ergebnisse müssen immer im Sachkontext erklärt werden!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Mathe888 aufrufe·Aktualisiert 20. Aug. 2026·23 SeitenZentrale Klausur Mathematik EF 2023 - Aufgaben und Lösungen
Sean Bauer@seanbauer_ttaz
Diese Klausur zeigt dir typische Mathe-Aufgaben aus der Einführungsphase (Klasse 11). Du findest hier alles, was du für deine eigene ZK brauchst: Ableitungen ohne Hilfsmittel, Wahrscheinlichkeitsrechnung und anspruchsvollere Funktionsanalyse mit GTR.
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Prüfungsteil A - Aufgabe 1: Ableitungsfunktion
Du startest mit Ableitungen ohne Hilfsmittel - das ist Pflichtprogramm in jeder ZK. Hier hast du eine Ableitungsfunktion f' = x² - 2x - 8 gegeben und musst systematisch vorgehen.
Zuerst berechnest du einfach f' durch Einsetzen. Das gibt dir 16 Punkte - ein guter Start! Für die Nullstellen der Ableitungsfunktion löst du x² - 2x - 8 = 0 mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Der Trick bei lokalen Extremstellen: Sie liegen dort, wo f' = 0 ist. Also sind deine Nullstellen bei x = -2 und x = 4 die gesuchten Extremstellen. Um Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden, schaust du dir das Vorzeichenverhalten der Ableitung an - wechselt f' von + nach -, hast du ein Maximum, von - nach + ein Minimum.
Merke: Extremstellen von f findest du, indem du die Nullstellen von f' bestimmst!
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Prüfungsteil A - Aufgabe 2: Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung wird oft mit realen Beispielen wie Messis Toren verpackt - lass dich davon nicht ablenken! Du hast 34 Spiele insgesamt: 18 Heim-, 16 Auswärtsspiele.
Die Vierfeldertafel füllst du systematisch: Messi traf in 14 Heimspielen und traf nicht in 7 Auswärtsspielen. Das bedeutet, er traf in 9 Auswärtsspielen und traf nicht in 4 Heimspielen. Kontrolliere immer die Summen!
Bei den Wahrscheinlichkeiten rechnest du: P(Heimspiel und Tor) = 14/34, P(kein Tor) = 11/34. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Heimspiel|Tor getroffen) teilst du "Heimspiel und Tor" durch "Tor getroffen": 14/23.
Tipp: Zeichne die Vierfeldertafel immer vollständig aus - so vermeidest du Rechenfehler!
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Musterlösung Teil A - Schülerbearbeitung
Die Schülerlösung zeigt dir, wie du strukturiert vorgehst. Bei f' wird sauber eingesetzt: 16 + 8 - 8 = 16. Das ist genau richtig!
Für die Nullstellen verwendet der Schüler quadratische Ergänzung: x² - 2x - 8 = 0 wird zu ² - 9 = 0 umgeformt. So kommst du auf x₁ = 4 und x₂ = -2 - beide Lösungswege sind korrekt.
Die Extremstellen-Analyse ist gut durchdacht: Der Schüler erkennt, dass bei x = -2 und x = 4 die Ableitung null wird. Durch Überprüfung der Vorzeichen links und rechts dieser Stellen bestimmt er: x = -2 ist ein Maximum (Vorzeichenwechsel von + nach -), x = 4 ein Minimum .
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Fortsetzung Musterlösung und Vierfeldertafel
Der Schüler komplettiert seine Vorzeichenanalyse professionell: Er testet Werte links und rechts der Nullstellen und dokumentiert die Vorzeichenwechsel. Bei x = -2 wechselt f' von positiv zu negativ (lokales Maximum), bei x = 4 von negativ zu positiv (lokales Minimum).
Die Vierfeldertafel wird korrekt ausgefüllt und alle Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet. P(H∩T) = 14/34 = 7/17, P(T̄) = 11/34 und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H|T) = 14/23.
Diese Lösungen zeigen dir: Ordentliche Dokumentation und schrittweises Vorgehen sind der Schlüssel zum Erfolg. Auch wenn deine Zwischenergebnisse nicht perfekt aussehen, kannst du durch klare Struktur punkten.
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Prüfungsteil B - Aufgabe 3: Kubische Funktion
Jetzt wird's anspruchsvoller! Du bearbeitest eine kubische Funktion f = -½x³ - 3x² + 9/2x - 1 mit Hilfsmitteln. Der Graph zeigt bereits eine Nullstelle bei x = 2.
Für die weiteren Nullstellen nutzt du die Polynomdivision: Da x = 2 eine Nullstelle ist, ist ein Faktor. Du teilst f durch und erhältst eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du mit der pq-Formel bestimmst.
Die Ableitung f' = -3/2x² - 6x + 9/2 hilft dir bei den Extrempunkten. Setze f' = 0 und löse die quadratische Gleichung. Die x-Werte setzt du dann in f ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
GTR-Power: Nutze deinen Taschenrechner zur Kontrolle, aber zeige immer den Rechenweg!
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Erweiterte Funktionsanalyse
Die Extrempunkt-Berechnung läuft über f' = 0. Du löst -3/2x² - 6x + 9/2 = 0 und findest zwei x-Werte. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die vollständigen Koordinaten zu erhalten.
Bei der Aussage über kubische Funktionen denkst du strategisch: Hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, kann sie maximal zwei Extremstellen haben (weil f' vom Grad 2 ist). Die Aussage "Extremstellen = Nullstellen - 1" gilt also nicht immer.
Die Gerade g durch zwei Funktionspunkte berechnest du mit der Zwei-Punkte-Form. Für parallele Tangenten zur Geraden g setzt du f' = Steigung von g und löst nach x auf.
Wichtig: Unterscheide zwischen "für diese Funktion" und "für alle kubischen Funktionen"!
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Differenzenquotienten verstehen
Differenzenquotienten sind die Vorstufe zur Ableitung - das musst du visuell verstehen können. Der Quotient /h beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (3|f(3)) und .
Je kleiner h wird, desto steiler oder flacher wird diese Sekante, je nach Funktion. Du erkennst in den Abbildungen: kleinere h-Werte bedeuten, dass die Sekantenpunkte näher zusammenrücken.
Wenn h gegen null geht, nähert sich der Differenzenquotient der Ableitung f'(3) an. Das ist die Definition der Ableitung! Du berechnest also f'(3) und hast deine Antwort.
Visualisierung hilft: Differenzenquotient = Sekantensteigung, Ableitung = Tangentensteigung!
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Aufgabe 4: Anwendungsaufgabe Ederstausee
Realitätsbezug macht Mathe spannend! Du modellierst die Füllmenge des Ederstausees mit einer Funktion 5. Grades. Die Zeit t ist in Monaten gegeben (t = 0 entspricht 1. Januar 2022).
Für den 1. April 2022 setzt du t = 3 in die Funktion ein. Das ist straightforward - einfach die ganzen Terme ausrechnen. Der Graph hilft dir zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte bei etwa 120-140 Millionen m³ liegen.
Die komplizierte Funktion f = 0,17t⁵ - 3,49t⁴ + 25,2t³ - 83,4t² + 136,8t + 93 zeigt: Realistische Modelle sind oft komplex. Aber die Grundprinzipien bleiben gleich - du arbeitest systematisch mit Einsetzen, Ableiten und Nullstellen finden.
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Komplexe Anwendungsaufgaben meistern
Die Aseler Brücke wird bei 43% Füllmenge begehbar - das sind 0,43 × 200 = 86 Millionen m³. Du löst f = 86 mit deinem GTR und findest den Zeitpunkt.
Der Differenzenquotient / gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen Mai und Juli an. Das interpretierst du als mittlere monatliche Zu- oder Abnahme der Füllmenge in diesem Zeitraum.
Für die minimale Füllmenge brauchst du f' = 0. Bei einer Funktion 5. Grades wird das kompliziert - nutze definitiv deinen GTR! Die Ableitung ist ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen du numerisch findest.
Strategie: Bei komplexen Funktionen kombinierst du Rechnung mit GTR-Unterstützung geschickt!
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Funktionsvergleich und Interpretation
Der Vergleich zwischen f und g zeigt dir 2022 versus 30-Jahres-Durchschnitt. Wo f < g gilt, war 2022 unterdurchschnittlich trocken - du liest diese Bereiche direkt am Graphen ab.
Der größte vertikale Abstand bei t ≈ 8,0 (Ende August) zeigt die maximale Abweichung vom langjährigen Mittel. Du misst diesen Abstand am Graph und interpretierst: So viele Millionen m³ weniger Wasser als normal hatte der Stausee zu diesem Zeitpunkt.
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MatheWendepunkte Berechnung
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MatheExtrem- und Wendepunkte verstehen
Erfahren Sie alles über Extrem- und Wendepunkte in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und Sattelpunkten sowie deren Bedeutung in der Kurvenanalyse. Ideal für Schüler im Grundkurs Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Erfahren Sie alles über die Berechnung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten sowie Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Ableitungsfunktionen, notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Nullstellen und die Bedeutung der zweiten Ableitung. Ideal für Mathematik LK Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
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9MatheQuantitative Probleme im TMS
Entdecken Sie Strategien zur Lösung quantitativer und formaler Probleme im Medizinertest. Dieser Leitfaden umfasst wichtige Formeln zur Prozentrechnung, Umrechnungen von Einheiten und die Eigenschaften von Lösungen. Ideal für Studierende, die sich auf den Medizinertest vorbereiten und ihre mathematischen Fähigkeiten verbessern möchten.
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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über zentrale Themen der Analysis, einschließlich Funktionsscharen, Ableitungen, Extrempunkte, Integrale und e-Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur im Mathematik Grundkurs. Verstehe die Konzepte und deren Anwendungen mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen.
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Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich der Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Verwendung von Baumdiagrammen und der Verteilung von Zufallsvariablen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie zusammengesetzte Ereignisse, stochastische Unabhängigkeit und das Laplace-Experiment. Ideal für Studierende der Stochastik.
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MatheMathematik Abitur Zusammenfassung
Umfassende mündliche Zusammenfassung für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg. Behandelt Themen wie Analysis, Stochastik, Geometrie, Exponentialfunktionen, Ableitungen, Integrale und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf die mündliche Prüfung.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung mit Fokus auf die Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen. Dieser Leitfaden behandelt Stammfunktionen, unbestimmte und bestimmte Integrale sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin