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Lagebeziehungen; Gauß Verfahren; Ebenen in Parameterform
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Geraden und Ebenen → Jede Gerade / Ebene lässt sich durch eine Gleichung darstellen → Eine Ebene E und eine Gerade g haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben. → Eine Gerade g liegt in der Ebene E, wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist. Ja -> Eine Gerade g und eine Ebene E sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben. 1. Lagebeziehungen von Geraden => 2 Geraden q und h im Raum können: 9 > sich schneiden → sie besitzen einen gemeinsamen Punkt > zueinander parallel sein → Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte > zueinander windschief sein → sie besitzen keine gemeinsamen Punkte und sind nicht parallel zueinander -> g: x² = P + r · v Sind die Richtungsvektoren kollinear ? Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h?-> Punktprobe -> h : x = a + s · V X | Wein Nein Geradengleichung setzen -> hat die Gleichung eine Lösung? Ja Nein Die Geraden 9 und h sind identisch 2. Das Gauß Verfahren = 5 2x1 + 3x2 4x3 X1 + Ох2 + 2x3 =0 -5x1 и х2 + 3x3 =-1 - => Gauß Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit n Variablen 4. Man bringt das lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen auf Stufenform 2. Man löst die Gleichungen der Stufenform schrittweise nach den Variablen auf Lineares Gleichungssystem - Bsp.: Die Geraden g und h sind parallel 3x1 + Чха -...
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2x3 = 4 2х3 = 2x2 + 3x3 = 9 x2 - x3 = -6 X 1 -2x1 + 3 0 -2 3 O O u -2 4 10 -11-23 Л -1 4 ло 11 => -2 4 -11-23 - 7-10 Die Geraden 9 und h schneiden sich 1120 · 10⁰° لع 2 1 -5 -4 3 & sw 1 -6/12⋅(1) + 3⋅ (111) -2 3 MOT O 0 3 Matrixschreibweise -2 1 -4 5 2 O 3 -1, Die Geraden g und h sind windschief swe 2 3 Jo -1-6 1-3⋅ (11) + (1) 4 -2 4 10 -11 -23 0-50-153/ L> •Stufen form. => - 153: (-50) = 3 → x3 = 3 10x2 33 = -23 →>×₂=1 (-11-3) 3x₁ + 4-6 = 4 x₁=2 3. Ebenen in Parameterform E: X = OA+r Stützvektor Bsp.: AB + S A(11-110) E: x = X Spannvektoren AC +r. B(1,51110) Dürfen nicht kollinear sein! 0,5 2 +S -1 2 bzw. Ex = a +r ·ủ + S · V 0 C(O)
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