Mathematik

Eigenschaften von Funktionsgraphen

Wendepunkte

Mathe

8. Dez. 2025

2.392

11 Seiten

Kurvenanpassung bei Polynomfunktionen (Abi 22)

Evelyn @e_velyn

Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen ist ein wichtiges Thema in der Analysis. Du lernst hier, wie du Funktionen mit... Mehr anzeigen

Kurvenanpassung ganzrationale Funktionen

Das ist das Thema, mit dem du lernst, wie ganzrationale Funktionen an bestimmte Bedingungen angepasst werden können.

Bei der Kurvenanpassung suchst du eine Funktion, die durch vorgegebene Punkte verläuft oder bestimmte Eigenschaften wie Extrempunkte oder Wendepunkte hat. Das ist besonders nützlich, wenn du aus realen Daten eine mathematische Funktion entwickeln willst.

Merke Für jede Unbekannte in deiner Funktionsgleichung brauchst du genau eine Bedingung!

Parametervariation und Funktionenscharen

Eine Funktionenschar entsteht, wenn deine Funktion neben x noch einen Parameter wie a oder t enthält. Jeder Wert des Parameters ergibt eine andere Funktion aus derselben Familie.

Am Beispiel $f_a(x) = x(x-a)^2$ siehst du, wie sich die Funktion je nach Parameter verändert. Um den Hochpunkt an einer bestimmten Stelle zu finden, leitest du ab $f'_a(x) = 3x^2 - 4ax + a^2$ .

Setzt du die Bedingung $f'_a(1) = 0$ ein, erhältst du $3 - 4a + a^2 = 0$ . Die Lösungen sind a = 1 oder a = 3. Mit der zweiten Ableitung prüfst du Für a = 3 ist $f''_a(1) = -6 < 0$ , also liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor.

Tipp Die zweite Ableitung entscheidet f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt!

Ableitungsregeln

Ableitungen sind dein wichtigstes Werkzeug für Extrempunkte und Wendepunkte. Die erste Ableitung zeigt die Steigung, die zweite Ableitung die "Steigung der Steigung".

Die wichtigsten Regeln sind simpel Bei $f(x) = ax^n$ wird $f'(x) = n \cdot ax^{n-1}$ . Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, dann verringerst du den Exponenten um 1. Konstanten fallen beim Ableiten weg.

Für Summen leitest du jeden Term einzeln ab, Faktoren bleiben erhalten. So wird aus $f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x + 7$ ganz einfach $f'(x) = 9x^2 + 4x + 5$ .

Eselsbrücke "Exponent vor die Klammer, Exponent um eins runter, Konstanten verschwinden!"

Besondere Punkte bestimmen

Extrempunkte findest du, indem du $f'(x) = 0$ setzt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich $f''(x) < 0$ gelten, für einen Tiefpunkt $f''(x) > 0$ .

Wendepunkte entstehen dort, wo die Krümmung wechselt $f''(x) = 0$ und $f'''(x) ≠ 0$ . Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ gleichzeitig.

Das Überprüfen ist entscheidend! Nur weil $f'(x) = 0$ ist, liegt nicht automatisch ein Extrempunkt vor. Die zweite Ableitung gibt dir Gewissheit.

Wichtig Lerne die Bedingungen auswendig - sie sind dein Handwerkszeug für jede Kurvendiskussion!

Bedingungen aus Texten ableiten

Aus Worten werden mathematische Bedingungen! "Geht durch Punkt P(3|2)" bedeutet $f(3) = 2$ . "Hat Nullstelle bei x = 5" heißt $f(5) = 0$ .

Bei Extrempunkten brauchst du zwei Bedingungen Der Punkt selbst $$f(x_0) = y_0$$ und die waagerechte Tangente $$f'(x_0) = 0$$ . Für einen Sattelpunkt kommen noch $f''(x_0) = 0$ dazu.

"Berührt den Graphen der Funktion g" bedeutet Beide Funktionen haben denselben Punkt und dieselbe Steigung dort. Das sind gleich zwei Bedingungen auf einmal!

Übung macht den Meister Je öfter du Textaufgaben in Bedingungen übersetzt, desto schneller wird es!

Ortskurven von Extrempunkten

Eine Ortskurve zeigt dir den Weg, den die Extrempunkte einer Funktionenschar beschreiben. Das Vorgehen ist systematisch und immer gleich.

Zuerst leitest du ab und setzt $f'_t(x) = 0$ . Daraus erhältst du die x-Koordinate der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter t. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate zu bekommen.

Der Trick Stelle die x-Koordinate nach t um und setze das in die y-Koordinate ein. Bei $x = \frac{t}{2}$ und $y = \frac{t^2}{4}$ wird daraus $y = x^2$ - das ist deine Ortskurve!

Häufiger Fehler Vergiss nicht, den Parameter zu quadrieren, wenn er quadratisch vorkommt!

Ortskurven von Wendepunkten

Bei Wendepunkten gehst du genauso vor, nur mit der zweiten Ableitung. Du setzt $f''_t(x) = 0$ und findest die x-Koordinate der Wendepunkte.

Am Beispiel $f(x) = -x^3 + tx^2$ erhältst du $f''(x) = -6x + 2t = 0$ , also $x = \frac{t}{3}$ . Eingesetzt in die ursprüngliche Funktion ergibt das $y = \frac{2t^3}{27}$ .

Mit $t = 3x$ wird daraus $y = \frac{2(3x)^3}{27} = 2x^3$ . Die Ortskurve der Wendepunkte ist also eine kubische Funktion.

Tipp Bei Wendepunkten ist die dritte Ableitung wichtig für die Überprüfung - sie darf nicht null sein!

Schnittpunkte von Funktionenscharen

Manchmal schneiden sich verschiedene Funktionen einer Schar in bestimmten Punkten. Diese gemeinsamen Punkte findest du, indem du die Funktionen gleichsetzt.

Bei $f_a(x) = ax^2 + 2ax + 1$ für verschiedene Parameter erhältst du durch Gleichsetzen die x-Werte der Schnittpunkte. Mit dem Taschenrechner findest du hier x = -2 und x = 0.

Die zugehörigen y-Werte berechnest du durch Einsetzen in eine der Funktionen. So entstehen die Schnittpunkte $P_1(0|1)$ und $P_2(-2|1)$ .

Praktisch Der Taschenrechner hilft dir beim Lösen komplizierter Gleichungen - nutze ihn!

Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

Symmetrie erkennst du an den Exponenten Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse $$f(-x) = f(x)$$ . Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung $$f(-x) = -f(x)$$ .

Das Verhalten für große x-Werte bestimmt immer der höchste Term. Bei $f(x) = ax^n$ entscheiden der Grad n und das Vorzeichen von a über das Aussehen des Graphen.

Ist n gerade, gehen beide Äste in dieselbe Richtung. Ist n ungerade, gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob es nach oben oder unten geht.

Merkregel Der höchste Term ist der Chef - er bestimmt, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Sudenaz Ocak

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Setzt du die Bedingung $f'_a(1) = 0$ ein, erhältst du $3 - 4a + a^2 = 0$ . Die Lösungen sind a = 1 oder a = 3. Mit der zweiten Ableitung prüfst du: Für a = 3 ist $f''_a(1) = -6 < 0$ , also liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor.

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Die wichtigsten Regeln sind simpel: Bei $f(x) = ax^n$ wird $f'(x) = n \cdot ax^{n-1}$ . Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, dann verringerst du den Exponenten um 1. Konstanten fallen beim Ableiten weg.

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Die zugehörigen y-Werte berechnest du durch Einsetzen in eine der Funktionen. So entstehen die Schnittpunkte $P_1(0|1)$ und $P_2(-2|1)$ .

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