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Kurvenanpassung (ganzrationale Funktionen)
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Abi 22 Wissen über Kurvenanpassung
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A: Kurven anpassung ganzrationale Funktionen Parametervariation Ein Funktionsterm, der neben einer Funktionsvariablen (z. B. der Variablen x) noch ein Parameter a oder t enthält, definiert mehrere Funktionen zugleich: Zu jeder zulässigen Wahl des Parameters a gehört ein Funktionsterm f(x). Die Menge aller Funktionen få nennt man auch Funktionenschar. Beispiel: Der Hochpunkt des Funktionsgraphen von f mit f(x)= x(x-a)² soll an der Stelle 1 liegen. f(x) = x (x-a)² = x³ - 2ax² + a²x f(x)=3x²-4ax + a² f(x)=6x-4a f(1) = 3-4 a + a² = 0 hat die Lösungen a=1 oder a=3 Für a= 1 gilt: f(1) =2>0, also Tiefpunkt. Für a=3 gilt: f(1) = -6 <0, also Hochpunkt. Also liegt für a=3 der Hochpunkt an der Stelle 1. YA -3-2 3 2 1 to ft (x) = x² + t・x + 1 ft (x) = 2x+t f"t(x) = 2 X einsetzen 1 2 3 Tiefpunkt || f3 4 4 f ₁ ( - \ / ) = (- ²/2 ) ² + + · ( − 1 / ² ) + 1 t² +1 X +1 f't(x) = 0 2x +t 2x = = -t +/N 1-t :2 t Ep ( - 1²/²2 | - = ² + 1) 1. Ableitung: Steigung der Funktion 2. Ableitung: Steigung der Steigung 3. Ableitung Ableitungen Potenzregel: Für eine Funktion f mit f(x) = x^, nEIN, gilt f(x)=n.xn- Allgemeine Formel: f(x)=3 ax²+2bx+c f(x) = 6 ax + 2b f(x) = 6a Ableitungsregeln Faktorregel: Für eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = a · g(x), a€R‚gilt f'(x) = a • gʻ(x) Summenregel: Für eine Funktion f mit f(x) = g(x)...
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+ k(x) gilt f(x) = g(x) + k¶(x) f(x) = ax³ + bx² + c•x + d Vorgehen: • Exponent als Faktor wird vor die Potenz gezogen, • Exponent verkleinert sich um 1 • Summand ohne die abzuleitende Variable fällt weg 1. Grad: 2. Grad: 3. Grad: Hochpunkt: Tiefpunkt: Ganzrationale Funktionen f(x) = ax + b f(x) = ax² + bx + c f(x) = ax³ + bx² + cx + d Wendepunkt: = höchster Punkt of = der Graph ändert sein Krümmungsverhalten (Links- oder Rechtskurve) f(x) = 0 f""(x) #0 = tiefster Punkt Bedingung Steigung ist am höchsten! f(x)=0 f(x) = 0 1. Ableitung (Steigung) O => Extremstelle kann vorliegen Überprüfung: f(x) = 0 f"(x) > 0 f"(x) < 0 Sollte => f(x) = 0 & f(x) < 0 Sattelpunkt: = besitzt einen Wendepunkt + waagerechte Tangente gleichzeitig f"(x) = 0 f(x) #0 & f(x) = 0 (Bedingung für waagerechte Tangente) 2. Ableitung O=> Wendepunkt kann vorliegen Überprüfung: f"(x) = 0 f""(x) > 0 f"(x) < 0 Sollte => f(x)=0 & f"(x) > 0 Bedingung für Wendepunkt notwendig damit eine Extremstelle vorliegt! es liegt eine Extremstelle vor (=Tiefpunkt) es liegt eine Extremstelle vor (=Hochpunkt) Es liegt ein Sattelpunkt vor, wenn die 3. Ableitung # O ist. Die Steigung wird zwar O, aber ändert nicht das Vorzeichen. notwendig, damit eine Extremstelle vorliegt es liegt eine Wendestelle vor (= Rechts-Links-Wendestelle) es liegt eine Wendestelle vor (= Links-Rechts-Wendestelle) es liegt keine Wendestelle vor Beispiele: Der Graph der Funktion f... ... geht durch den Punkt P(312) ... hat eine Nullstelle bei x = 5 ... schneidet die y-Achse bei y = 4 ... hat den Tiefpunkt T(-2|-1) ... hat den Hochpunkt P (20) ... hat den Wendepunkt W (1|1) ... hat den Sattelpunkt P (2|1) ... berührt an der Stelle 1 den Graphen der Funktion g mit g(x)=2x²+3 ... geht durch den Punkt P (311) und hat dort die Steigung 4 mögliche (Teil-)Skizze Bedingungen y4 2- y4 2+ ya P ya -2 مه + g -2 2 y y4 y 2 -2 + 3 18 ifre 4 6 X ya P 2 P P 2 2 P I 2 2 P X X 2 x X X X X f(3) = 2 4 X f(5)=0 f(0) = 4 (1) f(-2)=-1 (2) f'(-2)=0 (1) f(2)=0 (2) f'(2)=0 (1) f(1) = 1 (2) f"(1)=0 (1) f(2)=1 (2) f'(2)=0 (3) f"(2)=0 (1) f(1) = g(1)=5 (2) f'(1)=g'(1)=4 (1) f(3) = 1 (2) f'(3)=4
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