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2.404
•
7. Feb. 2026
•
Evelyn
@e_velyn
Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen ist ein wichtiges Thema in der... Mehr anzeigen
Das ist das Thema, mit dem du lernst, wie ganzrationale Funktionen an bestimmte Bedingungen angepasst werden können.
Bei der Kurvenanpassung suchst du eine Funktion, die durch vorgegebene Punkte verläuft oder bestimmte Eigenschaften wie Extrempunkte oder Wendepunkte hat. Das ist besonders nützlich, wenn du aus realen Daten eine mathematische Funktion entwickeln willst.
Merke: Für jede Unbekannte in deiner Funktionsgleichung brauchst du genau eine Bedingung!
Eine Funktionenschar entsteht, wenn deine Funktion neben x noch einen Parameter wie a oder t enthält. Jeder Wert des Parameters ergibt eine andere Funktion aus derselben Familie.
Am Beispiel siehst du, wie sich die Funktion je nach Parameter verändert. Um den Hochpunkt an einer bestimmten Stelle zu finden, leitest du ab: .
Setzt du die Bedingung ein, erhältst du $3 - 4a + a^2 = 0$. Die Lösungen sind a = 1 oder a = 3. Mit der zweiten Ableitung prüfst du: Für a = 3 ist , also liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor.
Tipp: Die zweite Ableitung entscheidet: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt!
Ableitungen sind dein wichtigstes Werkzeug für Extrempunkte und Wendepunkte. Die erste Ableitung zeigt die Steigung, die zweite Ableitung die "Steigung der Steigung".
Die wichtigsten Regeln sind simpel: Bei wird . Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, dann verringerst du den Exponenten um 1. Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Für Summen leitest du jeden Term einzeln ab, Faktoren bleiben erhalten. So wird aus ganz einfach .
Eselsbrücke: "Exponent vor die Klammer, Exponent um eins runter, Konstanten verschwinden!"
Extrempunkte findest du, indem du setzt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich gelten, für einen Tiefpunkt .
Wendepunkte entstehen dort, wo die Krümmung wechselt: und . Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also und gleichzeitig.
Das Überprüfen ist entscheidend! Nur weil ist, liegt nicht automatisch ein Extrempunkt vor. Die zweite Ableitung gibt dir Gewissheit.
Wichtig: Lerne die Bedingungen auswendig - sie sind dein Handwerkszeug für jede Kurvendiskussion!
Aus Worten werden mathematische Bedingungen! "Geht durch Punkt P(3|2)" bedeutet . "Hat Nullstelle bei x = 5" heißt .
Bei Extrempunkten brauchst du zwei Bedingungen: Der Punkt selbst $f(x_0) = y_0$ und die waagerechte Tangente $f'(x_0) = 0$. Für einen Sattelpunkt kommen noch dazu.
"Berührt den Graphen der Funktion g" bedeutet: Beide Funktionen haben denselben Punkt und dieselbe Steigung dort. Das sind gleich zwei Bedingungen auf einmal!
Übung macht den Meister: Je öfter du Textaufgaben in Bedingungen übersetzt, desto schneller wird es!
Eine Ortskurve zeigt dir den Weg, den die Extrempunkte einer Funktionenschar beschreiben. Das Vorgehen ist systematisch und immer gleich.
Zuerst leitest du ab und setzt . Daraus erhältst du die x-Koordinate der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter t. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate zu bekommen.
Der Trick: Stelle die x-Koordinate nach t um und setze das in die y-Koordinate ein. Bei und wird daraus - das ist deine Ortskurve!
Häufiger Fehler: Vergiss nicht, den Parameter zu quadrieren, wenn er quadratisch vorkommt!
Bei Wendepunkten gehst du genauso vor, nur mit der zweiten Ableitung. Du setzt und findest die x-Koordinate der Wendepunkte.
Am Beispiel erhältst du , also . Eingesetzt in die ursprüngliche Funktion ergibt das .
Mit wird daraus . Die Ortskurve der Wendepunkte ist also eine kubische Funktion.
Tipp: Bei Wendepunkten ist die dritte Ableitung wichtig für die Überprüfung - sie darf nicht null sein!
Manchmal schneiden sich verschiedene Funktionen einer Schar in bestimmten Punkten. Diese gemeinsamen Punkte findest du, indem du die Funktionen gleichsetzt.
Bei für verschiedene Parameter erhältst du durch Gleichsetzen die x-Werte der Schnittpunkte. Mit dem Taschenrechner findest du hier x = -2 und x = 0.
Die zugehörigen y-Werte berechnest du durch Einsetzen in eine der Funktionen. So entstehen die Schnittpunkte und .
Praktisch: Der Taschenrechner hilft dir beim Lösen komplizierter Gleichungen - nutze ihn!
Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse $f(-x) = f(x)$. Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung $f(-x) = -f(x)$.
Das Verhalten für große x-Werte bestimmt immer der höchste Term. Bei entscheiden der Grad n und das Vorzeichen von a über das Aussehen des Graphen.
Ist n gerade, gehen beide Äste in dieselbe Richtung. Ist n ungerade, gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob es nach oben oder unten geht.
Merkregel: Der höchste Term ist der Chef - er bestimmt, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Evelyn
@e_velyn
Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen ist ein wichtiges Thema in der Analysis. Du lernst hier, wie du Funktionen mit Parametern untersuchst, Extrempunkte bestimmst und komplette Funktionsgleichungen aus gegebenen Bedingungen entwickelst.
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Das ist das Thema, mit dem du lernst, wie ganzrationale Funktionen an bestimmte Bedingungen angepasst werden können.
Bei der Kurvenanpassung suchst du eine Funktion, die durch vorgegebene Punkte verläuft oder bestimmte Eigenschaften wie Extrempunkte oder Wendepunkte hat. Das ist besonders nützlich, wenn du aus realen Daten eine mathematische Funktion entwickeln willst.
Merke: Für jede Unbekannte in deiner Funktionsgleichung brauchst du genau eine Bedingung!
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Eine Funktionenschar entsteht, wenn deine Funktion neben x noch einen Parameter wie a oder t enthält. Jeder Wert des Parameters ergibt eine andere Funktion aus derselben Familie.
Am Beispiel siehst du, wie sich die Funktion je nach Parameter verändert. Um den Hochpunkt an einer bestimmten Stelle zu finden, leitest du ab: .
Setzt du die Bedingung ein, erhältst du $3 - 4a + a^2 = 0$. Die Lösungen sind a = 1 oder a = 3. Mit der zweiten Ableitung prüfst du: Für a = 3 ist , also liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor.
Tipp: Die zweite Ableitung entscheidet: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt!
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Ableitungen sind dein wichtigstes Werkzeug für Extrempunkte und Wendepunkte. Die erste Ableitung zeigt die Steigung, die zweite Ableitung die "Steigung der Steigung".
Die wichtigsten Regeln sind simpel: Bei wird . Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, dann verringerst du den Exponenten um 1. Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Für Summen leitest du jeden Term einzeln ab, Faktoren bleiben erhalten. So wird aus ganz einfach .
Eselsbrücke: "Exponent vor die Klammer, Exponent um eins runter, Konstanten verschwinden!"
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Extrempunkte findest du, indem du setzt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich gelten, für einen Tiefpunkt .
Wendepunkte entstehen dort, wo die Krümmung wechselt: und . Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also und gleichzeitig.
Das Überprüfen ist entscheidend! Nur weil ist, liegt nicht automatisch ein Extrempunkt vor. Die zweite Ableitung gibt dir Gewissheit.
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Aus Worten werden mathematische Bedingungen! "Geht durch Punkt P(3|2)" bedeutet . "Hat Nullstelle bei x = 5" heißt .
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"Berührt den Graphen der Funktion g" bedeutet: Beide Funktionen haben denselben Punkt und dieselbe Steigung dort. Das sind gleich zwei Bedingungen auf einmal!
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Eine Ortskurve zeigt dir den Weg, den die Extrempunkte einer Funktionenschar beschreiben. Das Vorgehen ist systematisch und immer gleich.
Zuerst leitest du ab und setzt . Daraus erhältst du die x-Koordinate der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter t. Diese setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate zu bekommen.
Der Trick: Stelle die x-Koordinate nach t um und setze das in die y-Koordinate ein. Bei und wird daraus - das ist deine Ortskurve!
Häufiger Fehler: Vergiss nicht, den Parameter zu quadrieren, wenn er quadratisch vorkommt!
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Bei Wendepunkten gehst du genauso vor, nur mit der zweiten Ableitung. Du setzt und findest die x-Koordinate der Wendepunkte.
Am Beispiel erhältst du , also . Eingesetzt in die ursprüngliche Funktion ergibt das .
Mit wird daraus . Die Ortskurve der Wendepunkte ist also eine kubische Funktion.
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Manchmal schneiden sich verschiedene Funktionen einer Schar in bestimmten Punkten. Diese gemeinsamen Punkte findest du, indem du die Funktionen gleichsetzt.
Bei für verschiedene Parameter erhältst du durch Gleichsetzen die x-Werte der Schnittpunkte. Mit dem Taschenrechner findest du hier x = -2 und x = 0.
Die zugehörigen y-Werte berechnest du durch Einsetzen in eine der Funktionen. So entstehen die Schnittpunkte und .
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Ist n gerade, gehen beide Äste in dieselbe Richtung. Ist n ungerade, gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob es nach oben oder unten geht.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
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