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Lernzettel Kurvendiskussion
29.8.2021
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Analysis Kurvendiskussion GRAPHISCHES ABLEITEN 1) Punkte Nullstelle bei f(x) I bei f'(x) kein besonderer Punkt mehr Extrema bei f(x) 2) Verlauf bei f'(x) eine Nullstelle bei f'(x) kein besonderer Punkt mehr Wendepunkt bei f(x) bei f'(x) ein Extrema bei f"(x) eine Nullstelle - steigend bei f(x) . fallend bei f(x) ■ ABLEITUNGSREGELN 1) Generell 2) Regeln bei f"(x) kein besonderer Punkt mehr - f(x) = a* x² → a*n*xn-1 Vorzeichen beachten x abgeleitet ist 1 eine einzelne Zahl abgeleitet ist 0 - nützlich:-*x-n bxn bei f'(x) über der x-Achse Potenzregel: bei f'(x) unter der x-Achse NORMALEN Summenregel: 2) Extrema f(x) = u* v ▪ f'(x) = u' * v' Produktregel: f(x) = uv ■ f(x) = u'v+uv' Quotientenregel: KURVENDSIKUSSION: 1) Nullstellen f(x) = xn f'(x) = n*xn-1 ▪ f'(x) = น ▪ f(x) == - gesucht: Schnittpunkt mit x und y Achse Bedingung: b TANGENTEN Angabe: als Punkt --> Sy (0/y) und Sx (x/0) 3) Wendepunkt 5) Symmetrie - gesucht: Hoch- und Tiefpunkt (Minimum/Maximum) - Bedingung: f'(x) = 0 --> Ableitung bilden und diese 0 setzen Probe/Klassifizierung: --> 2. Ableitung bilden und jeden errechneten x Wert einsetzen . f"(x) < 0 --> Hochpunkt (Maximum) f"(x) > 0 --> Tiefpunkt (Minimum) Angabe: als Punkt --> y Werte zu den Punkten ausrechnen und als HP (x/y) bzw. TP (x/y) angeben ■ u'v + uv' v2 gesucht: Punkt an dem die Funktion seine Richtung ändert Bedingung: f'(x) = 0 --> 2. Ableitung bilden und diese 0 setzen Probe: f'(x) ungleich 0 --> es ist ein Wendepunkt ▪ f'(x) = 0 --> es ist ein Sattelpunkt --> an dem...
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Alternativer Bildtext:
Punkt ändert sich die Richtung + es gibt keine Steigung in dem Punkt Angabe: als Punkt --> y Werte zu dem Punkt ausrechnen und als WP (x/y) angeben 4) Verhalten im Unendlichen 1) Generell Sx: y = f(x) = 0 --> Funktionsgleichung 0 setzen Sy: x=0 --> für x 0 einsetzen einfach den Funktionsgraphen (f(x)) angucken und schauen wie er weitergeht lim f(x) = +/- Unendlich (als liegende 8) x -> -unendlich lim f(x) = +/- Unendlich (als liegende 8) x-> +unendlich 1) Generell Achsensymmetrie: f(-x) = f(x) --> Funktion kann an der y-Achse gespiegelt werden Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x) --> Funktion kann am Ursprung gedreht werden 6) Monotonie streng monoton wachsend (nur bei Geraden) --> man schaut sich 2 Punkte auf der x-Achse an (x1 < x2) und deren y-Wert (f(x1) < f(x2)) streng monoton fallend (nur bei Geraden) --> man schaut sich 2 Punkte auf der x-Achse an (x1 < x2) und deren y-Wert (f(x1) > f(x2)) monoton wachsend (bei Kurven) --> gleiches Prinzip monoton fallend (bei Kurven) --> gleiches Prinzip - Aufgabe: Tangente an x=... auf f(x) Formel: t(x) = mx + b Vorgehensweise: y-Wert ausrechnen --> gegebenen x-Wert bei f(x) einsetzen Steigung in Punkt P mit der 1. Ableitung von ■ gefundenes m, x und y (aus dem Punkt) in t(x) einsetzen und bausrechnen Gleichung angeben - Aufgabe: Bestimmen sie die Normale an Punkt x=... auf f(x) Formel: n(x) = x+b Vorgehensweise: berechnen --> 1. Ableitung bilden, x-Wert einsetzten und ausrechnen --> m nach Schema oben t(x) ausrechnen Werte aus t(x) in n(x) einsetzen