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Normalverteilung Stetige Verteilung ● Gauß'sche Glockenkurve ● Wahrscheinlichkeiten normalverteilter ● Zufallsgrößen Erwartungswert, Standartabweichung 2. Binomialverteilung Diskrete Verteilung ● Bernoulliexperiment, Bernoulli-Kette Formel von Bernoulli ● Kumulierte Wahrscheinlichkeiten ● Erwartungswert, Standartabweichung Histogramme Problemlösen (n,p,k bestimmen) ● Ableitungsregeln • Potenzregel: f(x)=x² • Kettervegel: f(x) = u(v(x)) •√x= x ² Laupere innere Ableitung 3(x)=1= 5'(x) = 0 Patenzgesetio: a² a³ = arts artar-s Maximum 8'(x) - r. x ².1 Extremwerte Wimum 8(x) u (v(x) U (x) Albleitung und Tangente negative Lineare Verkettung von Funktionen ·•ux) = sin(x) und u(x) = 2x Lu(v(x)) = sin (2x) Steigung VZW von + nach - √√x Rechtskuve ↑ f(x) Hochpunkt. f'(x) ↑f" (x) f(x)= x= f(x) = 1 (a)' = a "s O Tangente • Faktorregel: f(x) = a. wendastella Wendepunkt Extrem. Stelle • Produktregel: f(x) = u(x): u(x) 3² -4 ( X arx I NA Extremstelle Extrempunict -f'(x) = ('(x). V(x) + u(x). U'(x) J(x)= (-5x + 2)4 4 u(x)=x" v(x) = -5x + 2 -cos(x) Links kuve Ve con Extrempunkte Trefpuntet X <-sin(x) sin(x) r-A posikue - nach + Nullstelle in f" = Lendevelle con f Stegung • Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) S'(x) = g(x) + h'(x) 1 cos(x) verkettung 3-√x = √a·a -4 ·u(x) = cos(x) +^ 4 8(x) = cos(1 - GSX) +/ • Wendepunkt = extremsle Steigung f(x) Extrempunkt ↓ S'(x): ишение j(x) v(x)= 1-0.5x Cendestelle Extremstelle Nullstelle * Juerketten Tangentenproblem B(u/f(w) N Ⓒ •x-Wert d. Berührungspunkte belcannt •Vorgehensweise 1. Bestimme f'(u) und f(u) 2. Setze S'(u). u and you) in allg. Tangentengleichung ein Monotonie und Krümmung (2) m Satz: Wenn f(x) > Wenn f(x) < • Vorgehensweise: Bru/g(w) • Berührungspunkt 1 unbekannt · Steigung m= f'(u) bekannt · Vorgehensweise: 1. Steigung in und f'(x) glechuetzen 2. x-Wert ermitteln L dann siche Ⓒ • Vorgehensweise: 1. Intervall bestimmen durch f'(x) = 0 Manoloniesatz: Gegeben ist eine im Intervall I differenzierbove Funktion f. wenn für alle XEI · f'(x) > gilt, dann ist & streng monoton wachsend in I ·S'(x) <0 gilt, dann ist & streng manoton fallend in I 2. Werte zw. den Verten der Intervalle einsetzen 3. Monotoniesatz anwenden. Allg. Tangentengleichung. für alle XEI, dann ist Graph von & linksgekrümmt (Linkskurve) für alle XEI, dann ist Graph von of rechtsgekrümmt (Rechtskurve) 1. Intervall bestimmen mit f"(x) = 0 2. Verke dazwischen einsetzen. 3. Satz anwenden Kriterien für Extremstellen. • Notwendige Bedingung: Wenn & bei X, cine Extremstelle hat, dann ist f'(x) = 0 •1. hinreichende Bedingung: wenn j'(x) = 0 und f"(x) <0, dann hat f an der Stelle xo ein (lokales) Maximum (bzw. Graph von & hat Hochounkt) ty• S'(u)(x-u) + f(u) wenn f'(x) = 0 und f"(xo) > 0. dann hat If an der Stelle xo ein (lokales) Minimum (bzw. der Graph von & ein Tiefpunkt) • 2. hinreichende Bedingung: wenn f'(x) = 0 und f'(x) VZW von + nach -. dann hat fan Stelle xo (lokales) Maximum wenn &'(x) = 0 und 8" (xo) ein UZW von - nach +₁ dann hat fan Stelle xo (Lokales) Minimum L hineichende Bedingungen leichen aus, um Extremstelle nachzuweisen Sind sie nicht erfüllt, macht dies keine Aussage darüber, ob es Extremskellen gibt • Allgemeine Vorgehensweise: 1. Bestimme die Adleitung &' und g" 2. Setze 8' = 0 und lose Gleichung → hat mögl. Extremstelle 3. Prife mit 1.12. hinreichenden Bedingung, ob Maximum oder Minimum vorliegt. 4. Falls gefordert f(xo) bestimmen, um koordinaten der Extrempunkte anzugeben. Kriterien für Wendestellen Funktion f sei aay Intervall I definiert, differenzierbar und to sei eine imere Stelle im Intervall I. Eine Stelle xo bei der der Graph von & sein keimmungsverhalten cinclest, heißt Wondestelle. ܝܐ W 1. hinreichende Bedingung: wenn 8" (xo) = 0 und fr" (xo) + 0. dann hat & an Stelle xo eine Lendestelle. 2. hinreichende Bedingung: wenn 8"(xo) und 8" ein U2W an Stelle xo hat, dann hat & an Stelle xo eine Vendestelle. • Zugehöriger Punkt W (xo / f (xo)) heißt Vendepunkt. Allg. Vorgehen: 1. Funktion ableiten f'. 8. 8 2. Nullstelle de f" bestimmen 3. Arifen mit 1. oder 2. hineichenden Bedingungen. X₁.2 Gleichungen lösen = 0 AY "Mitternacht sformel) ax²+bx+c = 0 -b± 6²-4.a.c 2.a Es gilt. I Reihenfolge •Es gilt also Frage: Für welche Zahl x is e* = e²? ·x=en (e ²) x=7 en (e ²) = 7 en (b) Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus Frage: Für welche Zahl x ist e* = 3² =b Beispiele: ·en (e ²) = 7 7x +5-x³ = 3 1-3 7x²-x²¹+2=0 u=x² 7u²u+ 2 = 0 Definition: Die Zahl x en (b) ist Lösung der Exponentialgleichung c* = b (b²0) Wir nennen en (16) natürlichen Logarithmus von b. en (ec).c Ziel: quadrat. Gleichung lasen • Wir nennen die Losing Logarithmus von 3 zur Basis e ocher natürlicher Logorithmus von 3. ·x = log₂ (3) X = n (3) len (3)=3 ·een (3) = 3 • Wendestelle von & entsprechen den Extremstellen von f • Uie kann ich Vendestellen bestimmen? → Extremstellen von 8' bestimmen. Substitution e 2. (M) ·en (√√e) = ln(e) = 1 en (e² e ³) = ln (e ++ ³) = ln (e^0) = 10 en (²5) = en (e-³) = -5 =O! = (een (^^)² =1^²=121 •Reihenfolge Lösung für u Resubstitution -Lösung für X Wendepunct mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt a∙b=0 → a=0 oder b=0 Satz vom Uullprodukt 3 Y Ubraubeit: Ausdammen x³+4x²-0 x²(x-4)=0 x² = 0 oder X + 4 = 0 J(x)=e* Natürliche Exponentialfunction und ihre Ableitung. Definition: Dic positive Zahl a, für die die Exponential funktion of mit f(x) = a* mit ihrer Abueilung übereinstimmt, heißt Euler 'sche Zahl.e. Es ist e 2.718. Die Zugehorige Exponential funktion f(x)e heißt natürliche Exponential funktion. Für f(x). e* gilt f'(x).ex a) ex = 6 3 Losen von Exponential funktionen. AY en (ex) en (6) c* = 6 →logarithmieren x len d) (ex-1). (e³x-2) = 0 Faktor Faktor = 0 f(x)=e* → Satz vom Nullprodukt b) e 2x+2 =1 en (e ²x+2) = (n (1) 2x+2=O x = -1 → Aogov ithmieren Lineave Gleichung auflösen. Dj R Wy - IR" Calle pas cellen Zahlen) •& ist streng monoton wachsend, da f'(x) >0 •8' =e* 1-2 (:2) e) 2. e* -e².x=0 -Ausklammern →Sak vom Nullprodukt ny · für x-∞ strebt f(x) O für x→ +∞ strebt f(x) +∞ ·linksgekrümmt f"(x) >0 und keine Vendepunkte (dauerhaft) - keine Hoch- (Tiefpunkte. Exponential functionen und ihre Graphen 3-4a c) 3+2-e- = 6 = 3 →siche conn b) 2 e 3-4a 3-4a • keine Schnittpunkte mit x-Achse Y-Achse P(0/1) 1-3 1:2 8) 4.e² +6e* = 4 4.e²x+6e*-4 = 0 ue* 4.4² +6·4-4 = 0 →1. Substitution →2. Mitternachtsforme! 3. Resubstituieren 1-4 f(x)=e* ₂0 •Bei Funktionen der Form f(x) = x^. e² oder f(x)=x^e bestimmt der Faktor e bzw. e • Paltor x bestimmt Vorzeichen • Veil sich der Graph von ex für X→ ∞o de X-Achse (y=0) nähert, nennt man die Gerade y=0 Asimptole. + сь да) fir en (1) = 0 cia eº=1 en(e) = 1 X418 gegen 10 oder gegen +∞o strebt f(x) = ¹ + 3 y = 3 SIO AC ST COS 20 INTEGRALRECHNUNG Merke: Ist der Graph einer momentanen Anderungsrate aus geradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zw. dem Graphen der momentanen Anderungsrate und der x- Achse bestimmt.. Das Integral als orientierter Flacheninhalt Def: Das best. Integral von einer Funktion f auf / über einem Intervall [a, b] ist der orientierte Flächeninhalt, den der Graph der Funktion f mit der x-Achse zw. der unteren Grenze a und der oberen Grenze b einschließt. • Man schreibt: b f(x) dx • Die zu integrierende Function of nennt man Integral. •Man spricht: Das Integral von a bis b über I von f(x) dx." Stamm funktionen. • F₁(x) = x F₂(x)= x + F'(x) = 1 Def: Eine Funktion F: I→ R heißt Stamm funktion zu einer Funktion f: I- R auf dem Intervall I, wenn F auf I differenzierbar ist und F(x)=f(x) für alle x aus dem Intervall I. • Regel: f(x) = ax F(x)=- F'(x) = 1 a n+1 X n+1 F₁ und F₂ sind beides. Stammfunktionen uw Funktion f(x) = 1 3) g(x)=sin(x) F(x) = -cos(x) 5) f(x)=e*→ F(x) = ex Beispiel: 1) f(x) = 3→ F(x) = 3x + 1 4) f(x)=xF(x)=√x² Regeln zum Bilder von Stammfunktionen A r+A 1) Für alle reR\ {-1} gilt: f(x) = x² F(x) = F +^ X a 2) Seien U und V Stammfunktionen der Function u und v, dann gilt: 1) f(x) = u(x) + V(x) → F(x) = U∞) + V (x) 27 f(x) = C₁u(x) > F(x) = C. (^(x), CETR 3) f(x)= (-(m.x+c) F(x) = // (1.(m.x+c Bemerkung: Eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen • Satz: 1st F eine Stammfunktion um f auf I und CER, dann ist auch G mit G(x) = F(x) + c eine Stammfunktion von f auf I. 3 2) f(x) = x² > F(x) = x³ 3) f(x) = 4x³ F(x) = x² Summanregel Faktorregel CER + lineare Substitution 4) f(x) = cos(x) → F(x) = sin(x) b - -COS X Sin -Sin COS Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Sei f:I-R und Feine Stammfunktion con f auf I, dann gilt für alle a.be I Nullstelle von • Beispiel: $4x³dx = [x²] ² = 24-04-16 • Für die Berechnung des Integrals ist es völlig egal, welche Stammfunktion Fr zugehörigen Funktion & verwendet wird. Stammfunktionen und ihre Grafen • Für die besonderen Stellen eine Funktion f (mit f(x) + C; CER) und einer Staming unktion F von f gelten fagende Zusammenhänge. mit UZW van + nach von - nach + I (innoje) Extremstelle con't Sattelstello con P mit UZW chne UZW Maximum Minimum- stelle stelle (innue) Extreenstelle von f Bezeichnung für Quadranten || 1 III IV Zusatz 80x100x = [F(x)] * = Uendestelle von Fo Anderung d. Krümmungsverhaltens des Graphen von F = F(b)-F(a) 231 Integral und Flacheninhalt Bei der Berechnung des Flücheninhalts der Fläche zw. dem Graphen einer Funktion of und der x-Achse über dem Intervall (a; b] geht man Cie folgt vor: 1. Man bestimmt die Wulwellen von f auf [a b] 2. Man bercamet die Integrale wher den Teilintervallen 3. Man addiert die Inhalte der Teiglächen. d.h. die Beträge der einzelnen Integrale. Wird eine Flüche über dem Intervall [a; 6] von den Graphen zweier Funktionen fund 9 begrenzt und gilt f(x) = g(x) für alle xe [dib], dann gilt für den Inhalt A der Fläche: A = 5 (SG) - g(x)) dx hcheren - nicorigeen vert •nicht über Nullstelle integrieren. • Venn man Grenzen vertauscht : negative Vert Maximal bei Zeitpunkt muss eine Nullstelle mit UZU von + nach - geben und Orientierter A muss positiv sein LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Dos Gaupverfahren Def: Gleichungen der Form d₁x₁ + a₂x₂₁ + a₂x₂ +... an x₁ = b heißen lineare Gleichungen. Die Zahlen a..... an vor den Variablen heißen Koeffizienten.. Ein lineaves Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren lineaven Gleichungen. • Um Schreibakbeit zu spaven: Matrix - Schreibweise hier notiert man nur noch die koeffizienten und die Zahl auf der rechten Seite d. Gleichung. O -2 5 0 4 0-2 -1 5 -1 1 7 LGS in I - 2x₂ + 5x₁₂=0 II Ихл - 2x₂ = -1 III 5x₁x₂ + x₂ = 7 Dreiecksform (Stufen form)- z.B. X₁ + 2x₂x3 = -1 = 0 aus IIIx₂=1 x₂ aus III in I→→→ 1x₂ + 3·1=0 x ₁₂ = -3 X₂2 aus II und X₁ +2-(-3) -1 =-1 Xx₂ aus III in Ix₂₁= -1 +1 +6=6 •Die Lösung der LGS besteht aus n Zahlen, die man ali n-Tupel angibt. Hier n= 3 IL = {(61-311)} •Beobachtung: LGS in Dreieckform lässt sich besonders schnell lösen. •Bringe LGS in Dreiecksform und love dann. Jedes LGS lässt sich durch fagende Aquivalenzumformung in Stufenform bringen: 1. Gleichung miteinander vertauschen 1 x₂ + 3x3 2x3 Bsp.: bzw. 6 12 -4 3 2 ^ 1/25 2. Eine Gleichung mit Zahl C#0 multiplizieren 3. Eretzen einer Gleichung durch die Summe au dieser und einer anderen Gleichung (998. Vicfache einer Gleichung mit c + 0) ∞0 0 0 3 6 - 2 -4 O -4 3 ५. 0-4 8 M -8 -5 g → 1 2 -1 -1 0130 0022 :2 II-I (₁ في في مان 6-2 -4 2 1 5 -5 I-I no -2 -4 36 0-4 3 4 0 0 5 10 => ३० X3 X₂ X₂ 6 -4 3 4 5 -5 9 -2-41 = 2 - 2 +I (4-3-2)(-4)= 0.5 (4+2.2-6.0.5):3 = 1 => 1L = {(-110,512)} •Gauß-Verfahren: Man lasst ein LGS mit n Variablen indem man es werst mit Aquivalenzumformungen auf Stufenform bringt und dann Schrittweise den Variablen X₁.... Xn auflöst. GERADEN UND EBENEN /G₁-Pa Zu zwei gegebenen Punkten P(p. /Pr/P3) und Q2 (9₁ 19, 193) verschiebt der Vektor Pa (On-Pc) Der Vektor QP = -√ heißt Gegenvektor zum Vektor PQ = U. Unter dem Betrag des Veldfors PQ versteht man die Länge eines ungehörigen Pfeils. IPål ist der Abstand der Punkte P und Q und es gilt: 1 Pal = √(Q₁-P₁)² + (Q₂-P₂)² + (9₂ - P₂) ² •Der Vektor Jo, der in dieselbe Richtung wie ū+0 zeigt und den Betrag 1 hat, heißt Einheit svektor von u. Engilt T. - Tul • Den Ortsveldtor des Mittelpunkts M de Strecke AB erhält man durch OM = JA + 4 AB Mittelpunkt: M (a + b | a2 +0₂ | a3 + b3 ) Geraden im Raum. Betrachtet man eine Gerade g, so kann man den Odsuekfor jedes Pundles X der Geraden in der Form x=p+tū beschrieben. Umgekehrt gilt: Für jede reelle Zahl & ist der Vetlor p+tū Orlivellor eines Punkles auf g. 9 ē alp für x Cinsetzen ū Ja X Der Vektor u ist bis auf sein Vielfaches eindeutig. Der Vektor p ist Ortsvektor eines beliebigen Punktes any der Geraden. Man kann also an 2 versch. Parameter darstellungen einer Geraden nicht auf den 1. Blick excennen. Ob diese dieselbe Gerade darstellen. g: x=p+r⋅ū und h: x = a +3₁ v sie liegen identisch zueinander Ja Punkt probe: Liegen die Stützuektoren ay den joueiligen Geraden? Richtungsvektoren vielfaches? Dein Parametergleichung einer Geraden: Gegeben sind ein Punkt P mit seinem Ortsvektor p und ein Vellor ū +0. Eine Gleichung der Form g. x=p+t·ū, teRR, bestreibt eine Gerade durch den Punkt P mit dem Richtung sueltor ū. De Vektor p heißt Stützuektor, die reelle Zahl & nennt man Parameter. sie liegen cont Parallel weinander - Ebenen im Raum •E al Ausschnitt einer unendlich ausgedehnten Ebene • Parametergleichung einer Ebene E: x² = P²+r·ū+s⋅U² ū+ūū+k.ū. r.seR pist Stützuektor, ut und û sind Spannuektoren (V.ū+0) den Punkt P auf den Punkt Q. Nein Hat die Gleichung p²+ rū² = a + s - ū eine (ösung? sa Die beiden Geraden. Streiden sich X 0 az = a₁ ² · a ₁² a ₁² = √α₂ ² + a₂² + a₂² = 1a1² ²0 für alle a 1> Nein P Die beiden Geraden liegen windschief weinander Zueinander orthogonale Vektoren- • Tve: Vektoren a und 5. a 16 +0. heißen orthogonal, wenn ihre zugehörigen ffeile mit gleichem Anfangspunkt ebenfaus orthogonal zueinander sind. a tő • Zu den Vektoren a = (a) ā= 6=(8) heißt der Term an. b. + a₂ b₂ + a₂. by Skalcu product a T. und b= • Venn das Skalou proculct 0 ist ab. • Multipliziet man a mit sich selbst: a = Koordinaten form einer Ebene 12-²xx V/2 * Px= x -² • n nennt man Normalvektor der Obene E. n steht immer dentorrecht auf die Ebene E. • Eax. +b.x₂ + c. x₂ =d ist • Der Vektor mit den Koordinaten α.b.c ñ. • Koordinatengleichung der X₁ X₂ - Ebene: X₁ X3 X₁ X₁ €: x3 = 0 Ebene: € x ₁₂ = 0 Ebene: €: x₁ = 0 Das Velforprodukt Def: Für 2 Vektoren a = (az) und b = da Vektorprodukt Koordinaton form eine Obene E ñ= (2) ist ein Normalvektor der Obene € (8) ñ. (8) Drei Punkte P.Q.R in E. die. nicht auf einer Geraden liegen. /a=03-a₂b₂ a luenz b' axbas ba - abs a₁b₂-a₂ ba - (5) heißt der Vektor (Kenzprodukt) de Vektoren à und b. Satz: a und b wie oben beschrieben- c = axbo steht sentcrecht auf à und boº. • Parameter form €: x = OP + r. PQ +3· PR A • degibt sich als Skaloverodukt aus und der Punchprobe mit Pin E. X₂X3 Ebene • €: ax₁ + bx₂ + cx₂ = (a/b/c +0) ist einziger Spurpunkt der Urspring YANAY - Pax PR ↑x3/ 0 Koordinaten form: E: ax₁ + bx₂ + Cx₂ = d mit d⋅ ap₁ + bp + CP3. Ebenen veranschaulichen. Die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen heißen Spupunkte. (S₁. Sz. √₂) Die Schhillgeraden einer Ebene mit den Koordinatenachsen Saugeriden. (Suz. Saz. S23) • Man veranschaulicht eine Ebene in einem räumlichen koordinatensystem mithilfe ihrer Sowpunkte bou. Spurgeraden. mit ñ = (8) an ba be TXXX T 0₂ az ·bs GA b₁ a₂² b₂ as bs für x₁ und x₂ = 0 - man erhält SA... • Die Ebene besitzt 3 Spurpuncte: E: ax₁ + bx₂ + cx₂=d → Die Ebene besitzt 2 Spurpunkte: 2.B.C: ax₁ + bx₂ =α für X₂=0 man erhält Sn.... Spurgeraden parallel in den, wo nicht da ist Es gibt kein S3 also kein Schnittpunkt mit X₂ - Achse → € + Spurgeraden parallel w x₂. Achse • Die Ebeno besitzt & Spurpunkt: 2.B. €: ax₁ =dumstellen nach x₁ = S₁ - parallel www x₂x₁ - Ebene Saz + Saz scheiden sich orthogonal in S₁ Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden. •Gegeben sind eine Gerade Man berechnet un Schneiden sich (20 TR S g €₁ Gegenseitige loge von Ebenen- 1. parallel 7₂ sind n. und ₂. veyoches voneinander? a.R=0 Punktprobe mit P(P. |Px /P3) = x = EF *0 9 und € Schreiden sich. Dic Koordinaten den Durchstoppunkctes erhält man liber die Loving der Gleichung a. (P₁ + tun) + b. (P₂ + t.·U₂) + C.(P₂ + t⋅ (₂) = d wenn ū und in Vielfaches and #0 Abstand Punkt - Ebene. PF + t Ja Nein U₁ mit Richtungsvektor ū- (ui) C P#E PEE einsetzen g 3. a(P; E) mit PF| 2. identisch I und & sind echt parallel g liegt in E Tň C sind echt paraller und eine Ebene E: ax₁ + bx₂ +Cx₂ = α mit ²- 3. Someiden sich 75 En und E₂ scheiden sich. → wenn n₁ n₁ = 0: orthogonal sind die Koordinatengleichungen von En und &₂ Ja licyaches coneinander / oder Punktprobe? Nein • Lolgerade g = x= P² + r.n • F ist Schmittpunkt der Gerden 9 und Ebene € • Abstand d von Pru E : a(PE) = IPFI Schwitt gerade 6x I liegt in E 1. Lotgerade aufstellen mit he al ū und CP al p 2. Schnittpunkt von € und g (Lajuppunkt F): g in € einsetzen r Lorin F(alb/c) - (8). Scheiden orthogonal 9 En und E₂ sind identisch & und &₂ sind echt parallel weinander • F heißt Lot fuppunt! Spiegelung und Symmetrie Punktspiegelung: ges: p' Spiegelung an einer Ebene: 6 18 Winkel zwischen Vektoren d a P PZ To 2 • Wir zerlegen bo in seine zu a parallele Komponente 6, und seine in a senkrechte Komponente b der Geraden g und der Ebene E OP PZ. 27 The nel de Ebene E und F cas(a) Tel. (1 xP' .P. PF 9L • w Winlal bestimmung zw. a und To. fagt cas(d) tal-161 Schnittwinkel 2: Punkt an dem gespiegelt wird • den kleineren der beiden Winkel bezeichnet man al wintul zw. den Veldtoren a und to Sonderfälle: d=0⁰ a L 180° lu nel Sin (2)=1ūl. Inel 0≤x≤ 30⁰ OP=02+P2 oder OP = OP + 2. P2 042490° b 5₁ OP=OF. PF oder OP = OP + 2.PF Haben die Geraden g und h Richtungsveldtoren u und u und die Ebene € und F Normalvektoren he und n, so gilt für den Schnittwinkel 2: lū.ül • der Geraden g und h: cos (2) = 1ū1-101 0424 30° a 6₁ L = 90° b a => überprüfen mit Skalarprodukt • Wenn & großer al 30°: One Betrag für alle winkel gilt: cas (90° - 2) = sin (2) Anwendung des Vektorprodukts A=läxbl a Gp Man kann zeigen, dass Betrag a Vektors = Flücheninhalt d. con Vektoren a & 6 aufgespannten Parallelogramm • Ein Körper, der von 3 Vektoren aufgespannt wird, heißt Spat. → V₂ [2. (axb)), cenn G₂ b Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms, clas von den Vektoren a und is aufgespannt wird, gilt A = lax bl. • Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks, das von den Vektoren a una to aufgespannt wird, gilt A-4.12²x61 a Ein Dreieck, dass von Vektoren a und b aufgespannt wird: kann zu Pavallogramm erganzt werden, clesson A doppelt so groß ist wie der des Dreiecks A 3.1axbl •Gp der von den Veldhoven a, b, c aufgespannten Pyramide ist halb so groß wie 6, der Spats • Höhe d. Pyramide = Hone des Spats ↳ Pyramide Up · 6₁.h = ⋅ ( 4 · G) ⋅h = ÷ · (G₂. h) = 1/2 · U₂ Up=(x6) Begrifflichkeiten und Regeln WAHRSCHEINLICHKEIT: · Wfallexperiment: · Ausgang hangt.com Unfall ab • mehrere Awgånge möglich 2€ 1C 0€ ・unter gleichen Bedingungen wiederholbar Ggebnis = Ausgang eines Unfall experiment. Pfadregel 1 und 2: Produktregel: Die U-keit eines Ergebnisses erhält man, indem man die U-keiten entlang d. zugehörigen Pfades multipliziert (1 pod) Summeniegel: Die U-keit eines Ereignisses wird berechnet, in dem die U-keiten der in diesem Ergebnisse addiet verden (mehrere) Gegenereignis für ein Ereignis € und sein Gagenereignis Egilt: PCE) - 1-PCE) Anzahl der günstigen Ergebnive · Laplace-Experiment: Zufalhexperiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist: P(E)= Anzahl der möglichen Ergebnisse · Erwartung swert: 1€ Einsatz X: Gewinn in € →→→ Zufallgröße /-variable E(X)=-1+0+1==-= faires Spiel E(X) = 0 L₂ Z.B. Uie mus die Ausschüttung beim roten Feld sein? E(X) - 1+0+9₂ · 1 = 0 ... 93=2 Unfallsgröße / -variable: Ergebnismenge = Menge aller Ergebnisse. Ereignis= Teilmenge der Egernismenge Guinn g in € -1 O P(x=g) 112 114 Auf lange Sicht verliet man pro Spiel 25ct - Gewinn X₁ X₂ X₂ P(x=x;) →3€ roles Feld für eine fallgröße X, die die Glete X₁, X.₂.... Xp annehmen kann, definiet man den Ervatungslet E(X) durch: E(x) = x₁- P(x-x₂) + X₂ PCX = x₂ ) + X₂= P(X=Xx₂).. ・der Erwartungsvert gibt an. Welchen Vet man für X im Durch-omitt auf lange Sicht erwarten kann 1 114 · ordnet jedem Ergebnis eines infathexperiments ene reelle Zahl zu ·beschreibt die Abhängigkeit der Gewinns vom rufall Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Ordnet jedem Wert x; von X seine Olahrscheinlichkeit Pun -Vet aw z. B. Baumdiagramm, überlegungen 30.03 22 •O.keitsverteilung Bedingte Wahrscheinlichkeit Experiment: GU R R 6 blaue rcle 2 feuinn, 4 biete 3 Guinn. 1 Wiete GG 31 4 24 6 S5 10 absolute Häufigkeit Guinnuhrscheinlichkeit P(G) = 5/0 = 50%. GG R 0.3 0.1 0.4 R 0.2 0.4 0.6 0.5 0.5 1 relative Häufigkeit Definition: Für 2 Ereignisse A und B (mit P(A) #0) heißt der Quotient P₁ (B) = B A PANB APAB P(B) der Bedingung, dass A eingetreten ist. Iwe: ,, -keit von Bunter der Bedingung A." ・für o gilt: Je größero, de to breiter don Histogramm Bedingte U-kait P₁ (6) für einen Guirn unter der Bedingung, dass die gezogene Kugel rot ist. 0 P(ANB) P(ANB) P(B) 1 Definition: 2 Erignive A und B (mil P(A) + 0) und P(B) #0) heißen stochastisch unabhängig, wenn PA (B) = P(B) gilt. Satz: A und D sind genau dann stochartuch unabhängig, venn P(ANB) = P(A). PCB) gilt. Problemlösen mit der Binomialverteilung. ·3 Parameter: ・Anzahl der Versuche n •Treffouchscheinlichkeit p Trefferanzahl k • Satz / Formel con Bernoulli · W-keit für genau k Treffer: P(X= k) = (k) p² - (1-p)n-k Je kleine o, de to schmaler da Histogramm · für μ gilt: Je größer u. umso weiter ist Histogramm nach rechts vouchoben Je kleine μ, umso weiter ist Histogramm noch links verschoben PIA) P(A) BINOMIALVERTEILUNG P(x≤k) binancaf · Bernoulli - Experiment: Tufallsexperiment, das genau 2 Ergebnisse hat ... Erfolg" und. Misserfolg" • Bernoulli-llette: eine endliche Folge von B.E., die voneinander undchingig sind und alle die gleiche Treffer-ukeit haben. P(x = k) → 1- P(X = X-₁1) Kenngrößen: n... Lange (Anzahl d. Experimente) P(X= k≤Y) = P(ky)- P( k ≤ X-1) P... Trefferuchscheinlichkeit (einer einzelnen Experiments) In eingeben → Inc. → keingeben. • nimmt nu endlich viele Gerte an diskurete ayalligröße P(ANB) P(A) bedingte Udhcheinlichkeit für das Eintreten von B unter Erwartungsvert und Histogramm · Satz: Eine Bn; p - verteilte Zufallsgröße hat den Gvartungsvet u=n. p und die Standartabweichung 6-√n.p. (1-P). • Standort abweichung & Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert • Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomial verteilten Zufallsgröße X bann grafisas im Histogramm dargestellt werden. ·μ ganzzahlig: höchste Scule ist bei k=μ μ nicht ganzachlig. hechute Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzähligen Werte p= Die U-keit für höchstens & Treffer P(x≤k) = P(X=0) + P(X = A) + + P(X= k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. -0²-1 +1 A n= (für k = 0₁1.2...) M P bedingte P(ADB) Brip (k) NORMALVERTEILUNG · Stetige Zufallsgreise: kohnen jede reelle Zahl all. Olet annehmen 40-keit mithilfe von Integraten berechnen Definition: Eine yalligroße X heißt normalverteilt mit Erwartungswet u and Standar dobulichung 6. venn für zwei reelle Zahlen a und b mit asb gill: Die G-keit, dass X Gete zw. a and barnimmt, beträgt P(a&x=b) = $40.0 (x)dx.. a AY Dabei hat die zugehörige Gauß'sche Glockenkuve einen Hochpunkt bei x₁ = μ und Vendepunkte bei X2₁3 = μ = 0. W₁ x a μ-o u • P(x=a) = √5²44₁0 (x/dx = 0 Y = μ₁0 (x) * W₂ 9 +1 D • venn o größer: Graph wird flacher, breiter • Com o kleine: Graph wird spitz, schmale 4'μ; 0 (x) = X o 21 e >0 · Wahrscheinlichkeit: normal calf Deshalb gilt auch P(a≤ x ≤ b) = P(a≤x≤ b) e zu Parametern μER und o>0 betrachtet man die Funktion 4μ.0 = 0.2m e notwendige Bedingung für Extremstellen: Yμ.0 (x) = 0 ZUSATZ • arithmetisches Mittel: Berochnung au Rohdaten. X= (-keil, dass die (stetige) Zufalligriße einen Vet W. a and bannimmt. - 4 ()² ( ↑ (²) e >0 = 0 falls x = μ Lonn man die u berechnet, dann erhält man 4₁'u₁0 (μ) ²0. d.h. x₁ ist eine Hanstelle. Und man whält, dass x₂ = μ-0 und x3 = M +0 die Vendertellen sincl. Funktionsuete der Gauß 'schen Glockenfunktion: normal pdf P(a≤x≤ b) = μ₁0 (x)dx 4 • mithilfe von Häufigkeitstabellen: x= Flächeninhall unter der Gauß-Glocke über dem Intervall [a, b] • venn u größer: Deuchiebung rechts •com μ kleine: Deschiebung links - 4(x-μ)² X₁ + X₂+...+ Xn n Uaschiebung rechts u größer → U-keit kleiner u kleiner → U-keit keine Veschicting linkes son H(a) an+... H (an) an n V = - •Medion & ist der Vet, der in einer der Größe nach geordneten Datenreine in der Mitte" liegt. ·Streuung messen: •mittle quadratische Abweichung vom Mittelvert = Varianz · V=3² = • mithilfe von Häufigkeitsverteilungen ·Standardabweichung s: s= √V = [h(a₂). (a₂-a)² +.. h(an). (an -a) ²¹ · Symmetrie an der Achie x = μ •μal Maximum ・o al Entfernung de Cendepunkte vom Maximum X₁ = μ einziger Kandidat für Extremstelle Function suert namin pdf Sonut caf größerUkeit kleiner o kline U-keit größe H (an) (a₂-x)² +... H(an). an- x)² n X Prozent: x uony: 100 (x₁ - x)² +... (x₂-x) n Y 100 Unterschiede und Gemeinsamkeiten- x binanial y normal Gemeinsamkeiten: • P(a≤ x ≤ b) entspricht in Histogramm Summe der Flächeninhalte der Säulen zw. a und b. • entspricht Fläche unter zugehörenden Grap w. a und b P[μ²-0 * = Y/X ²M +0 *) ≈ 0.68 • Im Histogramm zu X ist in Nähe von μ höchste Säule und Histogramm symmetrisch uw Geraden x = μ I'm Graph in Y ist bei x = μ 110chpunkt und achsensymmetrisch zur Geraden X= μ •Genn n groß: Histogramm und Glockenture chnlich Unterschiede: •X nimmt endlich viele Verte an: natürliche Zahlen von 0 bis n Y nimmt alle reller Zahlen als Vert an • für jeden Uet a. den X annehmen kann, ist P(X=a) >0 für jeden Vert a. den 4 annehmen kann, iJL DCX = a) = 0 •U-keiten der Form P(a≤x≤ b) berechnet man al Summe der U-keiten P(X=k) mil asksb O-kelen der Form Plas Ysb) berechnet man al Integral Souμ₁0 (x)dx, wobei 4:0 die zugehänge Gaußsche Glockenfunktion ist Mio ·X ist disluet Y ist stetig Y P(a≤x≤ b) = P(a<x<b) X P(c²x≤ b) P(a<x<b) 2 Sorten Zufallsgrößen diskret: Entweder nu endlich viele vete angenommen, die angenommenen Wete haben einen Mindertabstand stetig: Jede Uet kann angenomen. werden