Mündliche Prüfungsfragen Mathe

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-> HP f"(x) = 0 und kein VZW -> Sattelpunkt (6) Erläutere was man unter dem Begriff Extrempunke/Wendepunkte versteht und erkläre dabei wie man diese Punkte ermitteln kann Extrempunkte: In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum 1. f'(x) = 0 -> Schnittstellen mit x-Achse berechnen weil NEWNEWNEW 2. in f'(x) einsetzen und schauen ob <0 (HP) >0 (TP) oder = 0 (ggbfs VZW prüfen mit f', wenn kein VZW dann Sattelpunkt) 3. in Ausgangsfunktion einsetzen und y-Werte ermitteln Wendepunkte: In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt 1. f"(x) = 0 (Schnittstellen mit x-Achse) 2. in f"(x) einsetzen und prüfen ob # 0 erfüllt ist 3. in Ausgangsfunktion um y-Werte zu ermitteln f"(x) > 0 (linksgekrümmt) f"(x) <0 (rechtsgekrümmt) (7) Erläutere den Begriff Sattelpunkt In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt einen kritischen Punkt einer Funktion mit der Tangentensteigung 0, der kein Extrempunkt ist (da kein VZW stattfindet). Punkte dieser Art sind, wie die zuletzt genannte Bezeichnung es andeutet, Spezialfälle von Wendepunkten. (Alle Sattelpunkte sind Wendepunkte aber nicht alle Wendepunkte sind Sattelpunkte!) (8) Erläutere den Begriff Monotonie Unter Monotonie versteht man den Verlauf einer Funktion. Sie gibt an, ob die Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Es gibt dabei vier verschiedenen Arten der Monotonie. f'(x) > 0 -> streng monoton steigend f'(x) < 0 -> streng monoton fallend (9) Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Kurven f(x) und g(x) - Gleichsetzen: f(x) = g(x) - Umformen (Äquivalenzumformungen) -> nach x auflösen - x in eine der Funktionen einsetzen um y zu ermitteln (10) Wie verläuft der Graph der sin/cos Funktion? sin(x); - HP bei π und TP bei 3/2 - periodischer Verlauf (p= 2π) -> wiederholt sich unendlich - geht durch den Ursprung cos(x); - HP bei 0 und 2 und TP bei - periodischer Verlauf (p= 2+) - - geht durch den Punkt P (011) -> wiederholt sich unendlich (11) Welche Bedeutung haben die Parameter a, b, c, d bei der trigonometrischen Funktion und wie erhält man die Periode p? TrigoFunktion: Als trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen, seltener Kreisfunktionen) werden periodische Funktionen bezeichnet a * sin (b(x-c)) + d a = Streckung entlang der y-Achse b = Streckung entlang der x-Achse C = Verschiebung entlang der x-Achse d = Verschiebung entlang der y-Achse p = 2π * (12) Welche Bedingung gilt für eine Stammfunktion von f(x)? Stammfunktion: Als Stammfunktion einer Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion [mehr dazu] F' mit f übereinstimmt Sei F(x) die Stammfunktion einer reellen Funktion f(x). Dann ist ihre Ableitung F'(x) gerade wieder f(x). (13) Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen 2 Kurven? 1. Grenzwerte ermitteln -> Funktionen gleichsetzen 2. Integral bilden (größere Funktion - kleinere Funktion) 3. Stammfunktion bestimmen 4. Integral berechnen Flächeninhalt kann NIE negativ sein also immer Betrag! (14) Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse? 1. Grenzwerte ermitteln -> Schnittstellen Funktion mit x-Achse also f(x) = 0 2. Integral(e) aufstellen 3. Stammfunktion 4. Berechnen Flächeninhalt kann NIE negativ sein also also Betrag! (15) Was gibt es für verschiedene Funktionsklassen? - lineare Funktionen - quadratische Funktionen - kubische Funktionen - Potenzfunktionen // ganzrational = Summe aus Potenzfunktionen) - Exponentialfunktionen - Trigonometrische Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen (16) Wie berechnet man ein Steigungsdreieck? m = y/x (17) Was ist die mittlere Änderungsrate? Die durchschnittliche/mittlere Änderungsrate für eine Funktion f Mathe-Abitur in einem Intervall l=[a; b] Mathe-Abitur entspricht der Steigung der Gerade, die durch die zwei Punkte verläuft. Man spricht hier auch von der Sekantensteigung. Sie lässt sich entsprechend der Betrachtung im Steigungsdreieck über den Differenzenquotienten berechnen. f(b) - f(a) / b-a Also: Mittlere Änderungsrate = Steigung der Sekante = Differenzenquotient ("Quotient aus Differenzen") (18) Welche 2 Ableitungsregeln gibt es? - lineare Kettenregel - Produktregel (Ableiten Abschreiben + Abschreiben*Ableiten) (19) Welche Möglichkeiten gibt es um Nullstellen zu bestimmen? - Satz vom Nullprodukt - Äquivalenzumformung - Mitternachtsformeln - Ausklammern bei höheren Gleichungen - Substitution (20) Wie stelle ich eine Tangentengleichung g an dem Punkt P (alf(a)) auf? 1. y-Wert berechnen f(a) 2. Steigung m durch 1. Ableitung 3. Alles in allgm. Tangentengleichung und nach b umformen // y =m*x+b 4. Tangentengleichung notieren (21) Wie berechnet man die Steigung einer Normalen? 1/Steigung der Tangenten (22) Wann führt man eine Randbetrachtung durch? Bei Anwendungsaufgaben und eingeschränkten Intervallen Ix [a;b] muss eine Randbetrachtung durchgeführt werden, also f(a) & f(b) ausgerechnet werden (23) Was ist der Unterschied zwischen Punkt und Stelle? Stelle: x-Wert Punkt: P (xly) STOCHASTIK (1) Was ist das Besondere an einem LaPlace-Experiment? Alle Ergebnisse des Zufallsexperiments sind gleich wahrscheinlich (z.B. Würfel werfen) (2) Was ist ein Bernoulli-Experiment? Zufallsexperiment, welches nur 2 Ergebnisse E und Ê mit den WK p und (1-p) hat (3) Was ist eine Bernoulli-Kette? n-maliges Durchführen eines Bernoulli-Experiments in gleicher Weise (WK darf sich nie ändern!!) (4) Was beschreibt die Standardabweichung o einer Zufallsgröße X? Maß für die Streuung der Zufallsvariablen X um den Erwartungswert (5) Wie bestimmt man bei einer binomialverteilten Zufallsvariable X die WK, dass es genau k Treffer gibt? Bernoulli-Formel = P(X=k) = (nüberk) * p^k + (1-p)^n-k -> Binomialkoeffizient -> n = Anzahl aller Durchführungen -> k = Treffer -> p = ErfolgsWK -> (1-p) = Nieten WK (6) An welcher Stelle befindet sich das Maximum einer normalverteilten Zufallsgröße? Am Erwartungswert u (7) Welchen Wert hat bei einer normalverteilten Zufallsgröße die WK P(X=k)? 0 (Alle einzelnen Ergebnisse haben WK null: Begründung mit Integral) (8) Wie bestimmt man mithilfe der Glockenkurve bei einer normalverteilten Zufallsgröße die WK? Indem man ein Integral aufstellt -> Grenzwerte -> Integralberechnung (9) Was ist Normalverteilung? So gut wie jeder Mittelwert einer x-beliebigen stetigen Verteilung folgt der Glockenkurve. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwert bekannt Bsp Alltag: Körpergröße ist normalverteilt, denn nur wenige Menschen sind Riesen/Zwerge, dafür gibt es viele Menschen, welche annährend so groß sind wie der Durchschnitt => glockenförmige Verteilung (10) Was ist ein Baumdiagramm? Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments lassen sich so gut darstellen (11) Pfadregeln 1+2 1. Pfadregel -> Ergebniswahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse addieren 2. Pfadregel -> Ergebniswahrscheinlichkeiten durch Multiplikation „entlang ihres Ergebnispfades" (12) Was ist ein Erwartungswert E(X)? Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Anzahl an Durchführungen für die Zufallsvariable X zu erwarten (13) Wie berechnet man den Erwartungswert E(X)? E(X) = x1 * P(X=x1) + x2 * P(X=x2) +...+ xn * P(X=xn) (14) Wann ist ein Glücksspiel fair? E(X) = 0 -> die durchschnittlichen Einsätze müssen auch wieder ausgezahlt werden (15) WTR Binomialverteilung Menü - 4-4-2 P(X=k) -> -> genau k Treffer (16) WTR kumulierte WK (Binomialverteilung) Menü - 4-2-2 1. genau k Treffer P(X=k) Treffer 2. weniger als k Treffer P(X<k)=P(X²k-1) 3. mindestens k Treffer P(X²k): = 1- P(X²k-1) 4. mehr als k Treffer P(X>k) = 1-P(x² k) 5. mindestens k und höchstens I treffer P(k ≤ x ≤l) = P(x² l) - P(X²k-1) 7. TR kann nur (Pek) ausrechnen!!! (17) E(X) bei Binomialverteilung ermitteln E(X) = n*p (18) Standardabweichung o berechnen o = Wurzel aus n * p* (1-p) (19) WK, dass die Anzahl der Treffer um höchstens eine Standardabweichung von μ abweicht? 1. E(X) - 0 = c E(X) + 0 = d 2. P(c kleinergleich X kleinergleich d) <c wird aufgerundet und d wird abgerundet> 3. WTR Normalverteilung P(c kleinergleich d) = P(X kleinergleich d) - P(X kleinergleich c-1) (20) 0,683??? WK, dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen (21) Normalverteilung Dichtefunktion GEOMETRIE V = |v| Normalverteilung = Dichtefunktion: f(x) = = (1) Wie berechnet man die Länge eines Vektors ? Indem man den Betrag des Vektors bildet -() 2 1 ·· e - ²1 (²-1) ²³ V2πσ2 е x² + y² + z² (2) In der Geometrie kann man ein Skalarprodukt berechnen, aber auch ein Vektorprodukt. Erläutern Sie, wofür man die beiden Produkte in der Regel verwendet Skalarprodukt: Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalare Größe) zuordnet. -> Wenn das Skalarprodukt von 2 Vektoren 0 ist, sind diese orthogonal zueinander (Winkelbestimmung) Vektorprodukt: Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht (Normalenvektor). Häufig wird das Vektorprodukt auch mit "Kreuzprodukt" bezeichnet. (3) Wie kann überprüfen, ob ein Dreieck ABC gleichschenklig ist? AB= -(2-3) - Und - (9) |AB| = || = ³ 3 = 6-3/ (2-2) 5-2 = AC = 3 und AC = 3 = 3 0 (4) Wie lautet die Gerade die durch den Punkt P geht in Parameterform? g: x = (Punkt als SV) + r * (beliebiger RV),r&R (5) Wie kann man aus zwei Punkten eine Gerade aufstellen? Punkt A -> Stützvektor Vektor AB als RV (6) Mögliche Lagebeziehungen von Geraden im Raum - identisch (RV Vielfache + gem Punkt) - parallel (RV Vielfache + kein gem Punkt) - schneiden sich (keine RV Vielfache + Schnittpunkt S) - windschief (keine RV Vielfache + kein Schnittpunkt S) (7) Wie lautet die Geradengleichung der Koordinatenachsen x1-Achse g: x = (0|0|0) + r * (1|0|0),rεR x2-Achse g: x = (0|0|0) + r * (0|1|0),rεR x3-Achse g: x = (0|0|0) + r * (0|0|1),rεR) (8) Welche Bedingung müssen 3 Punkte im Raum erfüllen, damit sie eine Ebene definieren? Sie dürfen NICHT auf einer Geraden liegen (9) Nenne die besonderen Koordinatenebenen in Parameterform MERKE Parametergleichung der X₁ X₂ - Ebene: E: E: *.. (8) +- (1) + ¸ . (?) Parametergleichung der X₂ X3 - Ebene: E: x = (8) + ₁. (8) +₁. (8) ·Parametergleichung des X₁ X₂ - Ebene: Ex: (8)+₁. (8) + 5. (8) X3 (10) Erläutern Sie die Vorteile einer Koordinatengleichung? -> Normalenvektor kann ohne weiteres abgelesen werden -> Punktprobe einfacher/schneller -> Spurpunkte können abgelesen werden -> Ablesen von Besonderheiten einfacher (Parallel zu Achse/2Achsen/Ebene) (11) Darstellung von Ebene im Koordinatensystem Spurpunkte ablesen von Koordinatengleichung der Ebene, einzeichenen, verbinden Spurpunkte: Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenachse Spurgerade: Schnittgerade der Ebene mit der Koordinatenachse (12) Beschreiben Sie die möglichen Lagebeziehung zweier Ebenen und erläutern Die ein Verfahren, wie man diese bestimmen kann 1. Normalenvektoren Vielfache? -> JA: parallel/identisch (Punktprobe) -> NEIN: sie schneiden sich (nvonE * nvonF = 0 => schneiden sich orthogonal) (13) Beschreiben Sie, welche gegenseitige Lage eine Ebene und eine Gerade im Raum haben können und erläutern Sie ein Verfahren, wie man diese bestimmen kann => RV * n = 0: identisch/parallel (Punktprobe) #0: schneiden sich (man kann Durchstoßpunkt berechnen durch Hilfsgerade, allgm. Punkt Pr, Einsetzen Pr in È und auflösen nach r, r in Hilfsgerade = Durchstoßpunkt) (14) Erläutern Sie ein Verfahren, wie man den Abstand eines Punktes P von der Ebene E berechnen kann 1. Aufstellen Hilfsgerade mit Normalenvektor als RV und Punkt als SV 2. Allgm. Punkt Pr aufstellen 3. Pr in E und nach r auflösen 4. r in Hilfsgerade und Durchstoßpunkt ermitteln 5. Vektor Punkt Durchstoßpunkt -> BETRAG 6. Ergebnis: d(P;E) = (15) Erläutern Sie, wie man den Abstand einer Geraden von einer Ebene E (parallel) bestimmen kann 1. Hilfsgerade mit SV von g als SV von h und RV Normalenvektor Ebene 2. Durchstoßpunkt ermitteln 3. Vektor Punkt Durchstoßpunkt => Betrag 4. Ergebnis notieren (16) Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dessen Hilfe man für einen beliebigen Punkt die Koordinaten seines Spiegelpunktes beinder Spiegelung an einer Ebene berechnen kann 1. Hilfsgerade mit Punkt als SV und Normalenvektor von E als RV 2. Allgm. Punkt von r aufstellen 3. Pr in E und nach r auflösen 4. r in Hilfsgerade und Durchstoßpunkt ermitteln 5. Vektor: OD 6. Vektor: PD 7. Vektor OP = OD+PD (17) Punktspiegelung? OP' = OZ + PZ (Vektoren) (18) Wie tut man eine Ebenengleichung umformen (Parameter->Koordinaten) 1. Kreuzprodukt aus beiden RV 2. Normalenvektor in E einsetzen 3. SV der Ebene in Koordinatenform E einsetzen und d berechnen (19) Punktprobe 1) Parameterform Punkt = Parametergleichung (r=r=r) Koordinatenform 2) Punkt für x-Werte einsetzen (d=d) (20) Gegenvektor Zeigt in entgegengesetzte Richtung => Vorzeichen tauschen (21) Definition Vektor Als Vektor bezeichnet man die Menge aller Pfeile die - parallel - gleich orientiert - und gleich lang sind Wann führt man eine Randbetrachtung durch?