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Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht • Trefferwahrscheinlichkeit: p, kein Treffer: 1-p . wird Bernoulli Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt →Bernoulli-Kette der Länge n 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementar- ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich seiner Pfad wahrscheinlichkeit P({A; A})=014-0144= 0118 --- (Multiplikation entlang d. Pfades) B B 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Pfadwahr- scheinlichkeiten seiner zugehörigen Elementarereignisse P(A) = P({A;A})+ P({B;B}) P(A)= 0,18 + 0,32 = 015 (Addition) 22 2 P(S): P(5) Ps(W) Die bedingte Wahrscheinlichkeit S: Schwindelgefühle s: keine s. W: weiblich W: nicht w. W W W Ps (W) W Formel: P AUSNAHME AnB=0 unabhängigkeit A 0,25 P(B)= P(ANB) P(A) 8 (z. B. mit zurücklegen) 0,4 0,75 2 P (snw) = P(S) - P(s) (W) P (sn) = P(s). Ps (W) P (5nw)=P(5) P3(W) P(3nw) = P(S) P(3) (W) Die Ereignisse sind unver- einbar (disjunkt). A und B können nicht gleichzeitig eintreffen A B Die kumulierte Wahrscheinlichkeit Die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Bn;p -verteilten Zufallsvariablen X ist gegeben durch: P(X k) = P(x=0) + P(x=1)+... P(X=k) Typische Fragestellungen - genau k Treffer: - höchstens k Treffer: - weniger als k Treffer: - mindestens k Treffer: - mehr als k Treffer: - mindestens k Treffer, aber höchstens h Treffer:P(k≤xsh) - P(x ≤h) - P(x²k-1) 016 014 0,6 B B B S 0,4 0₁6 B W W P(x=k) (2) p (1-p)^-k P(x ≤k) A Der Baum kann ohne weiteres gedreht werden, da die Ereignisse A und B nichts miteinander zu tun haben → man sagt A und B sind stochastisch unabhängig wenn gilt P (ANB) P(A). P(B) P(x²k); P(x≤k-1) P(X k) = 1- P(x ≤k-1) P(x>K)= P(x2 K+1) = 1-P(X≤k) PA (B) = P (ANB) P(A) S P (SAW) P (snw) P(S) = ... 0,25 A A 0,75 0,25 Anschaulich → bedingte Wahrscheinlichkeit 0,75 A A Vierfeldertafel Als Vierfeldertafel bezeichnet man die Anordnung einer Ergebnismengen- zerlegung " 5 P (30W) P(50W) P(S) .... P(W) =... 0,25 0,20 P(W) =... ! Hier stehen keine bedingten W., aber man kann sie damit berechnen 0,15 0,10 0,05 Erwartungswert und Standardabweichung X sei eine Bmp-verteilte Zufallsvgröße, dann gilt: Erwartungswert: E(x)=H-n-p varianz Standardab- u eichung >3, dann ist, dann kann die Verteilung von X gut durch eine Normalverteilung angenähert werden. Der Erwartungswert ist dann die Extremstelle (HP) und entspricht dem Abstand zwischen Extremstelle und Wendestelle M-o aufrunden M + o → abgerundet Histogramme | P(X=k) • V(x)- n⋅p. (1-P) •√n·P·(1-P 0 1 2 3 n°10 P-03 E(X)-n-p-3 4 5 6 →p gegen 1, p gegen 0 schmaler und höher 7 8 9 10 k → mit wachsendem n (gleichbleibenden WHK) wird der Graph immer breiter und flacher → Sigma ist ein Maß für die Breite der Verteilung Graph wird MATHE Stochastik und Binomialverteilung 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 30 P(X = k) MERKE: (^)=1; (^)=n; (^)=1 Bsp: Ordner, Bücher, Kreide, kalender, Mäppchen, Buch (6 Gegen →6!= 6·5·4·3·2·1720 M g Kombinatorik 1. Produktregel Zieht man aus k Mengen M₁, M2.. Mk je ein Element kann man I Mal·IM ₂1.... IMK) k-Tupel bilden, d.h. so viele Ergebnisse sind möglich. 99,7% Insgesamt ergeben sich n! Möglichkeiten (n! → Fakultät) * Kasten 40 95,4% Der Binomialkoeffizient,, n über k" gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Objekten k bestimmte Objekte zu ziehen. Eine Binomialverteilung ist näherungsweise normalverteilt für >3 Die Glockenkurve ist die graphische Darstellung einer Normalverteilung 45 68,3% REIHEN FOLGE WICHTIG? NEIN 50 DIE SIGMA - REGELN Mithilfe der Standardabweichung lässt sich die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der die Trefferanzahl innerhalb einer sogenannten o-Umgebung um den Erwartungswert liegt V P(μ-0≤x≤μ+0) ≈68,3 % P(N-1,640≤x≤M+1,640)=90% P(M-20 ≤x≤M +20) ≈ 95,4%. P(M-1,960 ≤ x ≤M +1,960) = 95% P(μ-30 ≤ x ≤M+30 ≈99,7% P(M-2,580 ≤X ≤M +2,580) ≈99 % Mit Sicherheit 68,3% liegt die Anzahl der Treffer in dem Intervall 55 10. 20 MIT k 65 Abhängigkeit ohne zurücklegen zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst. ZURÜCK LEGEN? OHNE n Möglichkeiten Anzahlk n! (n-k)! n! (n+k-^) ( ^) ~= (n-k)! x!