Begriffe erklären (Definition) La piace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit aller möglicher Ergebnisse gleich sind IAI Bsp: Würfel, Münze, Kartenspiel PCA) - → Ergebnis . ein einzelner Ausgang eines zufalls- experiment heißt Ergebnis" → Ergebnismenge (~) →Gegenereignis → . Alle möglichen Ergebnisse befinden sich in d. Ergebnismenge im Ereignisraum"^s = { } → . Gegenteil vom Ereignis" P(A)= A-P(A) Ereignis • beliebige Teilmenge der Ergebnismenge* Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlich- keiten auf die möglichen Werte einer Zufalls variablen verteilen Baumdiagramme * Pfade Für ein k-Stufiges Zufallsexperiment stellt jedes Ergebnis genau einen Pfad dar. Jedes Ergebnis besteht aus den k Einzelergebnissen der Teil- experimente 0₁44 A 014 0,6 (Stufe 1) Ā BCA An B A AUB B 0,56 B 0,46 0,54 (Stufe 2) A B 0146 0,54 0,44 0,56 Der Additionssatz P (AUB) = P (A) +PCB)- P (ANB) Sind A XB unvereinbar (disjunk t), so ist P(ANB) = 0 somit gilt nur noch P(AUB) = P(A) + P(B) Beispiel: 100-s. Würfel S-{0₁1... 98,99} A: gerade P(A) A = S0 = 0,5 100 B: einstellig P(B) = 40 = 0₁1 P(AWB) = 100 = 0,05 ISI P (AUB) 0.5 + 0₁10₁05= 0,55 -55% A B A B GRUNDWISSEN Das Gegenereignis Das Ereignis B zieht das Ereignis A nach sich. Immer wenn B eintritt, tritt auch A ein Ereignis A und B (A geschnitten mit B) Schnittstellen Das Ereignis A oder B (A vereinigt mit B A A Bernoulli Formel: die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Durchführungen genau k mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt ist: P(X-k) (2)-pk. (1-p)^-k B Die Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung und X ist Bnip -verteilt Bernoulli - Experiment Zufallsexperiment, bei dem nur zwei Ergebnisse möglich sind (e x ē) •...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Lerne mit über 500.000 Lerninhalten von den besten Schüler:innen!
Vernetze dich mit anderen Schüler:innen und helft euch gegenseitig!
Bekomme bessere Noten ohne großen Aufwand!

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht • Trefferwahrscheinlichkeit: p, kein Treffer: 1-p . wird Bernoulli Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt →Bernoulli-Kette der Länge n 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementar- ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich seiner Pfad wahrscheinlichkeit P({A; A})=014-0144= 0118 --- (Multiplikation entlang d. Pfades) B B 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Pfadwahr- scheinlichkeiten seiner zugehörigen Elementarereignisse P(A) = P({A;A})+ P({B;B}) P(A)= 0,18 + 0,32 = 015 (Addition) 22 2 P(S): P(5) Ps(W) Die bedingte Wahrscheinlichkeit S: Schwindelgefühle s: keine s. W: weiblich W: nicht w. W W W Ps (W) W Formel: P AUSNAHME AnB=0 unabhängigkeit A 0,25 P(B)= P(ANB) P(A) 8 (z. B. mit zurücklegen) 0,4 0,75 2 P (snw) = P(S) - P(s) (W) P (sn) = P(s). Ps (W) P (5nw)=P(5) P3(W) P(3nw) = P(S) P(3) (W) Die Ereignisse sind unver- einbar (disjunkt). A und B können nicht gleichzeitig eintreffen A B Die kumulierte Wahrscheinlichkeit Die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Bn;p -verteilten Zufallsvariablen X ist gegeben durch: P(X k) = P(x=0) + P(x=1)+... P(X=k) Typische Fragestellungen - genau k Treffer: - höchstens k Treffer: - weniger als k Treffer: - mindestens k Treffer: - mehr als k Treffer: - mindestens k Treffer, aber höchstens h Treffer:P(k≤xsh) - P(x ≤h) - P(x²k-1) 016 014 0,6 B B B S 0,4 0₁6 B W W P(x=k) (2) p (1-p)^-k P(x ≤k) A Der Baum kann ohne weiteres gedreht werden, da die Ereignisse A und B nichts miteinander zu tun haben → man sagt A und B sind stochastisch unabhängig wenn gilt P (ANB) P(A). P(B) P(x²k); P(x≤k-1) P(X k) = 1- P(x ≤k-1) P(x>K)= P(x2 K+1) = 1-P(X≤k) PA (B) = P (ANB) P(A) S P (SAW) P (snw) P(S) = ... 0,25 A A 0,75 0,25 Anschaulich → bedingte Wahrscheinlichkeit 0,75 A A Vierfeldertafel Als Vierfeldertafel bezeichnet man die Anordnung einer Ergebnismengen- zerlegung " 5 P (30W) P(50W) P(S) .... P(W) =... 0,25 0,20 P(W) =... ! Hier stehen keine bedingten W., aber man kann sie damit berechnen 0,15 0,10 0,05 Erwartungswert und Standardabweichung X sei eine Bmp-verteilte Zufallsvgröße, dann gilt: Erwartungswert: E(x)=H-n-p varianz Standardab- u eichung >3, dann ist, dann kann die Verteilung von X gut durch eine Normalverteilung angenähert werden. Der Erwartungswert ist dann die Extremstelle (HP) und entspricht dem Abstand zwischen Extremstelle und Wendestelle M-o aufrunden M + o → abgerundet Histogramme | P(X=k) • V(x)- n⋅p. (1-P) •√n·P·(1-P 0 1 2 3 n°10 P-03 E(X)-n-p-3 4 5 6 →p gegen 1, p gegen 0 schmaler und höher 7 8 9 10 k → mit wachsendem n (gleichbleibenden WHK) wird der Graph immer breiter und flacher → Sigma ist ein Maß für die Breite der Verteilung Graph wird MATHE Stochastik und Binomialverteilung 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 30 P(X = k) MERKE: (^)=1; (^)=n; (^)=1 Bsp: Ordner, Bücher, Kreide, kalender, Mäppchen, Buch (6 Gegen →6!= 6·5·4·3·2·1720 M g Kombinatorik 1. Produktregel Zieht man aus k Mengen M₁, M2.. Mk je ein Element kann man I Mal·IM ₂1.... IMK) k-Tupel bilden, d.h. so viele Ergebnisse sind möglich. 99,7% Insgesamt ergeben sich n! Möglichkeiten (n! → Fakultät) * Kasten 40 95,4% Der Binomialkoeffizient,, n über k" gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Objekten k bestimmte Objekte zu ziehen. Eine Binomialverteilung ist näherungsweise normalverteilt für >3 Die Glockenkurve ist die graphische Darstellung einer Normalverteilung 45 68,3% REIHEN FOLGE WICHTIG? NEIN 50 DIE SIGMA - REGELN Mithilfe der Standardabweichung lässt sich die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der die Trefferanzahl innerhalb einer sogenannten o-Umgebung um den Erwartungswert liegt V P(μ-0≤x≤μ+0) ≈68,3 % P(N-1,640≤x≤M+1,640)=90% P(M-20 ≤x≤M +20) ≈ 95,4%. P(M-1,960 ≤ x ≤M +1,960) = 95% P(μ-30 ≤ x ≤M+30 ≈99,7% P(M-2,580 ≤X ≤M +2,580) ≈99 % Mit Sicherheit 68,3% liegt die Anzahl der Treffer in dem Intervall 55 10. 20 MIT k 65 Abhängigkeit ohne zurücklegen zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst. ZURÜCK LEGEN? OHNE n Möglichkeiten Anzahlk n! (n-k)! n! (n+k-^) ( ^) ~= (n-k)! x!

Mathe /

Stochastik

user profile picture

Celine

384 Followers

 Begriffe erklären (Definition)
La piace Experiment
ist ein Zufallsexperiment, bei dem die
Wahrscheinlichkeit aller möglicher Ergebnisse
gle

Öffnen

alles zum Thema Stochastik inspiriert von @lindaslernzettel

Begriffe erklären (Definition) La piace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit aller möglicher Ergebnisse gleich sind IAI Bsp: Würfel, Münze, Kartenspiel PCA) - → Ergebnis . ein einzelner Ausgang eines zufalls- experiment heißt Ergebnis" → Ergebnismenge (~) →Gegenereignis → . Alle möglichen Ergebnisse befinden sich in d. Ergebnismenge im Ereignisraum"^s = { } → . Gegenteil vom Ereignis" P(A)= A-P(A) Ereignis • beliebige Teilmenge der Ergebnismenge* Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlich- keiten auf die möglichen Werte einer Zufalls variablen verteilen Baumdiagramme * Pfade Für ein k-Stufiges Zufallsexperiment stellt jedes Ergebnis genau einen Pfad dar. Jedes Ergebnis besteht aus den k Einzelergebnissen der Teil- experimente 0₁44 A 014 0,6 (Stufe 1) Ā BCA An B A AUB B 0,56 B 0,46 0,54 (Stufe 2) A B 0146 0,54 0,44 0,56 Der Additionssatz P (AUB) = P (A) +PCB)- P (ANB) Sind A XB unvereinbar (disjunk t), so ist P(ANB) = 0 somit gilt nur noch P(AUB) = P(A) + P(B) Beispiel: 100-s. Würfel S-{0₁1... 98,99} A: gerade P(A) A = S0 = 0,5 100 B: einstellig P(B) = 40 = 0₁1 P(AWB) = 100 = 0,05 ISI P (AUB) 0.5 + 0₁10₁05= 0,55 -55% A B A B GRUNDWISSEN Das Gegenereignis Das Ereignis B zieht das Ereignis A nach sich. Immer wenn B eintritt, tritt auch A ein Ereignis A und B (A geschnitten mit B) Schnittstellen Das Ereignis A oder B (A vereinigt mit B A A Bernoulli Formel: die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Durchführungen genau k mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt ist: P(X-k) (2)-pk. (1-p)^-k B Die Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung und X ist Bnip -verteilt Bernoulli - Experiment Zufallsexperiment, bei dem nur zwei Ergebnisse möglich sind (e x ē) •...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Lerne mit über 500.000 Lerninhalten von den besten Schüler:innen!
Vernetze dich mit anderen Schüler:innen und helft euch gegenseitig!
Bekomme bessere Noten ohne großen Aufwand!

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht • Trefferwahrscheinlichkeit: p, kein Treffer: 1-p . wird Bernoulli Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt →Bernoulli-Kette der Länge n 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementar- ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich seiner Pfad wahrscheinlichkeit P({A; A})=014-0144= 0118 --- (Multiplikation entlang d. Pfades) B B 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Pfadwahr- scheinlichkeiten seiner zugehörigen Elementarereignisse P(A) = P({A;A})+ P({B;B}) P(A)= 0,18 + 0,32 = 015 (Addition) 22 2 P(S): P(5) Ps(W) Die bedingte Wahrscheinlichkeit S: Schwindelgefühle s: keine s. W: weiblich W: nicht w. W W W Ps (W) W Formel: P AUSNAHME AnB=0 unabhängigkeit A 0,25 P(B)= P(ANB) P(A) 8 (z. B. mit zurücklegen) 0,4 0,75 2 P (snw) = P(S) - P(s) (W) P (sn) = P(s). Ps (W) P (5nw)=P(5) P3(W) P(3nw) = P(S) P(3) (W) Die Ereignisse sind unver- einbar (disjunkt). A und B können nicht gleichzeitig eintreffen A B Die kumulierte Wahrscheinlichkeit Die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Bn;p -verteilten Zufallsvariablen X ist gegeben durch: P(X k) = P(x=0) + P(x=1)+... P(X=k) Typische Fragestellungen - genau k Treffer: - höchstens k Treffer: - weniger als k Treffer: - mindestens k Treffer: - mehr als k Treffer: - mindestens k Treffer, aber höchstens h Treffer:P(k≤xsh) - P(x ≤h) - P(x²k-1) 016 014 0,6 B B B S 0,4 0₁6 B W W P(x=k) (2) p (1-p)^-k P(x ≤k) A Der Baum kann ohne weiteres gedreht werden, da die Ereignisse A und B nichts miteinander zu tun haben → man sagt A und B sind stochastisch unabhängig wenn gilt P (ANB) P(A). P(B) P(x²k); P(x≤k-1) P(X k) = 1- P(x ≤k-1) P(x>K)= P(x2 K+1) = 1-P(X≤k) PA (B) = P (ANB) P(A) S P (SAW) P (snw) P(S) = ... 0,25 A A 0,75 0,25 Anschaulich → bedingte Wahrscheinlichkeit 0,75 A A Vierfeldertafel Als Vierfeldertafel bezeichnet man die Anordnung einer Ergebnismengen- zerlegung " 5 P (30W) P(50W) P(S) .... P(W) =... 0,25 0,20 P(W) =... ! Hier stehen keine bedingten W., aber man kann sie damit berechnen 0,15 0,10 0,05 Erwartungswert und Standardabweichung X sei eine Bmp-verteilte Zufallsvgröße, dann gilt: Erwartungswert: E(x)=H-n-p varianz Standardab- u eichung >3, dann ist, dann kann die Verteilung von X gut durch eine Normalverteilung angenähert werden. Der Erwartungswert ist dann die Extremstelle (HP) und entspricht dem Abstand zwischen Extremstelle und Wendestelle M-o aufrunden M + o → abgerundet Histogramme | P(X=k) • V(x)- n⋅p. (1-P) •√n·P·(1-P 0 1 2 3 n°10 P-03 E(X)-n-p-3 4 5 6 →p gegen 1, p gegen 0 schmaler und höher 7 8 9 10 k → mit wachsendem n (gleichbleibenden WHK) wird der Graph immer breiter und flacher → Sigma ist ein Maß für die Breite der Verteilung Graph wird MATHE Stochastik und Binomialverteilung 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 30 P(X = k) MERKE: (^)=1; (^)=n; (^)=1 Bsp: Ordner, Bücher, Kreide, kalender, Mäppchen, Buch (6 Gegen →6!= 6·5·4·3·2·1720 M g Kombinatorik 1. Produktregel Zieht man aus k Mengen M₁, M2.. Mk je ein Element kann man I Mal·IM ₂1.... IMK) k-Tupel bilden, d.h. so viele Ergebnisse sind möglich. 99,7% Insgesamt ergeben sich n! Möglichkeiten (n! → Fakultät) * Kasten 40 95,4% Der Binomialkoeffizient,, n über k" gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Objekten k bestimmte Objekte zu ziehen. Eine Binomialverteilung ist näherungsweise normalverteilt für >3 Die Glockenkurve ist die graphische Darstellung einer Normalverteilung 45 68,3% REIHEN FOLGE WICHTIG? NEIN 50 DIE SIGMA - REGELN Mithilfe der Standardabweichung lässt sich die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der die Trefferanzahl innerhalb einer sogenannten o-Umgebung um den Erwartungswert liegt V P(μ-0≤x≤μ+0) ≈68,3 % P(N-1,640≤x≤M+1,640)=90% P(M-20 ≤x≤M +20) ≈ 95,4%. P(M-1,960 ≤ x ≤M +1,960) = 95% P(μ-30 ≤ x ≤M+30 ≈99,7% P(M-2,580 ≤X ≤M +2,580) ≈99 % Mit Sicherheit 68,3% liegt die Anzahl der Treffer in dem Intervall 55 10. 20 MIT k 65 Abhängigkeit ohne zurücklegen zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst. ZURÜCK LEGEN? OHNE n Möglichkeiten Anzahlk n! (n-k)! n! (n+k-^) ( ^) ~= (n-k)! x!