Wie man Dreiecke und Pyramiden ganz leicht berechnet

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Amandine Pisvin

17.8.2021

Mathe

Trigonometrie+Körper

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Fortgeschrittene trigonometrische funktionen

Sinussatz

Wie man Dreiecke und Pyramiden ganz leicht berechnet

Die Berechnung von Dreiecksgrößen in Klasse 10cG Mathematik steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Sie umfasst verschiedene geometrische Aufgaben, darunter die Höhenberechnung einer Tanne, die Analyse gleichschenkliger Dreiecke und die Oberflächenberechnung quadratische Pyramide Formel. Zusätzlich wird die Halbzylinder Wasserbehälter Volumenberechnung behandelt.

Anwendung trigonometrischer Funktionen zur Lösung praktischer Probleme
Berechnung von Dreiecksseiten und -winkeln mit Hilfe des Sinussatzes
Oberflächenberechnung geometrischer Körper wie Pyramiden
Volumenberechnung eines halbzylindrischen Wasserbehälters

17.8.2021

0
Á
Mathematikarbeit Nr. 2 Klasse 10cG
A Aufgabe 1: Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten 27 m lang ist und
die Sonnenstrahlen unter ei

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Page 2: Solutions for Problems 1 and 2

This page provides detailed solutions for the first two problems of the exam.

Problem 1 Solution: The height of the fir tree is calculated using the tangent function. Given a shadow length of 27m and a sun angle of 38.5°, the tree's height is determined to be 21.48m.

Example: tan $38.5°$ × 27m = height of the tree

Problem 2 Solution: For the isosceles triangle with base c = 22m and angle a = 80°, the solution involves:

Calculating the remaining angles $y = 50°$
Using the cosine function to find the length of the equal sides $b ≈ 63.38m$

Highlight: These solutions demonstrate the practical application of Trigonometrie Textaufgaben und Lösungen Klasse 10 PDF.

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Page 3: Solution for Problem 3

This page focuses on solving Problem 3, which involves a triangle with two known sides $a = 73m, b = 64m$ and one known angle $α = 80°$ .

The solution process includes:

Using the law of sines to find angle β
Calculating angle γ using the fact that angles in a triangle sum to 180°
Applying the law of cosines to determine the length of side c

Example: c² = a² + b² - 2ab cos $γ$

The final results are:

c ≈ 44.41m
β ≈ 62.81°
γ ≈ 37.19°

Highlight: This problem showcases the application of multiple trigonometric concepts in a single question, typical of Trigonometrie Aufgaben Klasse 10 Gymnasium.

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Page 4: Solutions for Problems 4 and 5

This page provides solutions for Problems 4 and 5, demonstrating advanced applications of trigonometry.

Problem 4 Solution: To find the distance between the endpoints of two paths that diverge at a 98° angle with lengths 4.1km and 5.8km, the law of cosines is applied:

d² = 4.1² + 5.8² - 2 $4.1$ $5.8$ cos $98°$

The result shows the endpoints are approximately 7.56km apart.

Problem 5 Solution: This problem involves calculating a mountain's height using two elevation angles $α = 30.11° and β = 35.25°$ measured from the ends of a 200m baseline.

The solution uses trigonometric ratios and the law of sines to determine:

The distance from point A to the mountain's base $1288.42m$
The mountain's height $646.38m$

Highlight: These problems exemplify real-world applications of trigonometry, aligning with Anwendungsaufgaben Trigonometrie.

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Page 5: Continuation of Problem 5 and Start of Problem 6

This page concludes the solution for Problem 5 and begins Problem 6.

Problem 5 $continued$ : The page shows the final calculations confirming the mountain's height as 646.38m, demonstrating the consistency of the trigonometric approach from both measurement points.

Problem 6: This problem involves calculating the surface area of a square pyramid with base side length a = 4cm and slant height hk = 14cm.

The solution begins by calculating the pyramid's height $h$ using the Pythagorean theorem:

h² = hk² - $a/2$ ² h ≈ 13.66cm

Vocabulary: Slant height - The distance from the apex of a pyramid to the middle of one of the base edges.

Highlight: This problem introduces Körperberechnung Aufgaben Klasse 10 PDF, focusing on 3D geometry calculations.

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Page 6: Completion of Problem 6

This page completes the solution for Problem 6, calculating the surface area of the square pyramid.

The solution involves:

Calculating the area of the square base: 4² = 16 cm²
Determining the area of one triangular face: $1/2$ × 4 × 14.14 ≈ 28.28 cm²
Multiplying the face area by 4 and adding the base area

Total surface area = 4 × 28.28 + 16 ≈ 129.12 cm²

Example: Surface Area = Base Area + $Number of Sides × Triangular Face Area$

Highlight: This problem demonstrates the application of both 2D and 3D geometry concepts, typical in Körperberechnung Aufgaben Klasse 10 mit Lösungen.

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Page 7: Solution for Problem 7 (Part A)

This page begins the solution for Problem 7, which involves calculating the surface area of a half-cylinder water trough with a diameter of 1.30m and length of 3.85m.

Part A of the solution focuses on determining the amount of zinc sheet needed to construct the trough:

Calculating the area of the rectangular sides: 1.30m × 3.85m × 2 = 10.01m²
Determining the area of the semicircular end caps: π × $1.30/2$ ² ÷ 2 × 2 ≈ 1.33m²
Adding these areas together: 10.01m² + 1.33m² = 11.34m²

Vocabulary: Half-cylinder - A three-dimensional shape formed by cutting a cylinder in half lengthwise.

Highlight: This problem combines concepts from Körperberechnung Klasse 10 Gymnasium with practical applications.

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Page 8: Solution for Problem 7 (Part B)

This final page completes the solution for Problem 7, calculating the volume of water the half-cylinder trough can hold.

The volume is calculated using the formula for a cylinder, halved:

V = $π × r² × length$ ÷ 2 V = $π × (0.65m$ ² × 3.85m) ÷ 2 V ≈ 2.56 m³

Converting to liters: 2.56 m³ = 2,560 liters

Example: 1 m³ = 1,000 liters

Highlight: This problem showcases the practical application of volume calculations, an important aspect of Geometrie Aufgaben Klasse 10 PDF.

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17. Aug. 2021

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Amandine Pisvin

@amandinepisvin_

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Page 2: Solutions for Problems 1 and 2

This page provides detailed solutions for the first two problems of the exam.

Problem 1 Solution: The height of the fir tree is calculated using the tangent function. Given a shadow length of 27m and a sun angle of 38.5°, the tree's height is determined to be 21.48m.

Example: tan $38.5°$ × 27m = height of the tree

Problem 2 Solution: For the isosceles triangle with base c = 22m and angle a = 80°, the solution involves:

Calculating the remaining angles $y = 50°$

Using the cosine function to find the length of the equal sides $b ≈ 63.38m$

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The solution process includes:

Using the law of sines to find angle β

Calculating angle γ using the fact that angles in a triangle sum to 180°

Applying the law of cosines to determine the length of side c

Example: c² = a² + b² - 2ab cos $γ$

The final results are:

c ≈ 44.41m

β ≈ 62.81°

γ ≈ 37.19°

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Page 4: Solutions for Problems 4 and 5

This page provides solutions for Problems 4 and 5, demonstrating advanced applications of trigonometry.

Problem 4 Solution: To find the distance between the endpoints of two paths that diverge at a 98° angle with lengths 4.1km and 5.8km, the law of cosines is applied:

d² = 4.1² + 5.8² - 2 $4.1$ $5.8$ cos $98°$

The result shows the endpoints are approximately 7.56km apart.

Problem 5 Solution: This problem involves calculating a mountain's height using two elevation angles $α = 30.11° and β = 35.25°$ measured from the ends of a 200m baseline.

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The mountain's height $646.38m$

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Problem 6: This problem involves calculating the surface area of a square pyramid with base side length a = 4cm and slant height hk = 14cm.

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h² = hk² - $a/2$ ² h ≈ 13.66cm

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This page completes the solution for Problem 6, calculating the surface area of the square pyramid.

The solution involves:

Calculating the area of the square base: 4² = 16 cm²

Determining the area of one triangular face: $1/2$ × 4 × 14.14 ≈ 28.28 cm²

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Total surface area = 4 × 28.28 + 16 ≈ 129.12 cm²

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Part A of the solution focuses on determining the amount of zinc sheet needed to construct the trough:

Calculating the area of the rectangular sides: 1.30m × 3.85m × 2 = 10.01m²

Determining the area of the semicircular end caps: π × $1.30/2$ ² ÷ 2 × 2 ≈ 1.33m²

Adding these areas together: 10.01m² + 1.33m² = 11.34m²

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Page 8: Solution for Problem 7 (Part B)

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The volume is calculated using the formula for a cylinder, halved:

V = $π × r² × length$ ÷ 2 V = $π × (0.65m$ ² × 3.85m) ÷ 2 V ≈ 2.56 m³

Converting to liters: 2.56 m³ = 2,560 liters

Example: 1 m³ = 1,000 liters

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Page 1: Introduction and Problem Set

This page introduces a mathematics exam for 10th-grade students, presenting seven challenging problems covering trigonometry and geometry.

Key problems include:

Calculating the height of a fir tree using its shadow length and sun angle

Solving for unknown values in an isosceles triangle

Determining side lengths and angles in a triangle

Finding the distance between endpoints of two paths

Calculating a mountain's height using elevation angles

Computing the surface area of a square pyramid

Determining the surface area and volume of a half-cylinder water trough

Highlight: The exam covers a wide range of trigonometric and geometric concepts, emphasizing practical applications and problem-solving skills.

Vocabulary: Isosceles triangle - A triangle with two equal sides and two equal angles.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Page 3: Solution for Problem 3

Page 4: Solutions for Problems 4 and 5

Page 5: Continuation of Problem 5 and Start of Problem 6

Page 6: Completion of Problem 6

Page 7: Solution for Problem 7 (Part A)

Page 8: Solution for Problem 7 (Part B)

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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