Mathematische Grundlagen

Zahlen gibt es in verschiedenen Arten: natürliche Zahlen (IN) wie 1, 2, 3..., ganze Zahlen (G) wie 0, 1, -1, 2..., rationale Zahlen (Q) wie 1/3, 2/4... und reelle Zahlen (IR) wie √2.

Die binomischen Formeln sind echte Zeitsparer:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a-b) \cdot (a+b) = a^2 - b^2$

Beim Rechnen mit Brüchen musst du unterschiedlich vorgehen:

• Addition/Subtraktion: Gleicher Nenner erforderlich, dann Zähler addieren/subtrahieren
• Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
• Division: Zweiten Bruch umdrehen (Kehrbruch) und multiplizieren

💡 Merkhilfe: Bei der Bruchdivision wendest du die K-M-K-Regel an: Kehrwert bilden, Multiplizieren, Kürzen wenn möglich!

Die Maßstabsumrechnung ist wichtig für viele Anwendungen. Der Maßstab wird als Verhältnis Grafik:Realität angegeben (z.B. 1:40.000). Bei der Berechnung achte darauf, ob die Figur größer oder kleiner als das Original sein soll.

Geometrische Formeln

Bei Dreiecken sind folgende Formeln wichtig:

• Flächeninhalt: A = 1/2 · c · hc
• Umfang: U = a + b + c
• Im Dreieck beträgt die Summe aller Innenwinkel immer 180°

Der Satz des Pythagoras ist essentiell für rechtwinklige Dreiecke: $c^2 = a^2 + b^2$. Dabei ist c die Hypotenuse und a und b sind die Katheten.

Der Sinus- und Kosinussatz helfen dir bei der Berechnung beliebiger Dreiecke:

• Sinussatz: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
• Kosinussatz: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$

🔍 Wichtig: Mit den Kongruenzsätzen (SWS, WSW, SSS, SWW, SSW) kannst du überprüfen, ob zwei Dreiecke deckungsgleich sind.

Bei Kreisen und anderen geometrischen Körpern merkst du dir:

• Kreis: Fläche = πr², Umfang = 2πr
• Kugel: Oberfläche = 4πr², Volumen = 4/3πr³
• Zylinder: Oberfläche = 2πr² + 2πrh, Volumen = πr²h
• Kegel: Volumen = 1/3πr²h

Winkelbeziehungen und Funktionen

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Wenn zwei Winkel zusammen einen gestreckten Winkel bilden, sind sie Nebenwinkel.

Bei parallelen Geraden entstehen besondere Winkelbeziehungen:

• Stufenwinkel sind gleich groß
• Scheitelwinkel (gegenüberliegende Winkel) sind ebenfalls gleich
• Wechselwinkel sind Scheitelwinkel zum Stufenwinkel

Die Winkelfunktionen helfen dir bei Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck:

• Sinus: $\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
• Kosinus: $\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
• Tangens: $\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

🧮 Trick: Denke an die Merkregel "SOH-CAH-TOA": Sinus = Opposite/Hypotenuse, Cosinus = Adjacent/Hypotenuse, Tangens = Opposite/Adjacent.

Bei der Prozentrechnung gilt: Um von Dezimal zu Prozent zu wechseln, multipliziere mit 100. Um von Prozent zu Dezimal zu wechseln, dividiere durch 100.

Beim Klammern ausmultiplizieren multiplizierst du jeden Term in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer. Umgekehrt kannst du beim Klammern bilden einen gemeinsamen Faktor herausziehen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei Hauptverfahren, um Gleichungssysteme zu lösen:

Das Additionsverfahren funktioniert so:

1. Bringe eine Variable zum Verschwinden, indem du die Gleichungen so multiplizierst, dass sich die Koeffizienten aufheben
2. Addiere die Gleichungen und berechne die verbliebene Variable
3. Setze diesen Wert in eine der Ausgangsgleichungen ein, um die andere Variable zu ermitteln

Beim Einsetzverfahren gehst du wie folgt vor:

1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf $z.B. x = ...$
2. Setze diesen Term in die andere Gleichung ein
3. Löse diese Gleichung nach der verbliebenen Variablen auf
4. Setze diesen Wert in deine umgeformte erste Gleichung ein

🔑 Tipp: Das Einsetzverfahren eignet sich besonders gut, wenn eine Variable in einer Gleichung nur mit Koeffizient 1 vorkommt!

Das Gleichsetzungsverfahren läuft folgendermaßen ab:

1. Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen um
2. Setze die beiden Terme gleich
3. Löse nach der verbliebenen Variablen auf
4. Berechne die erste Variable durch Einsetzen

Jedes Verfahren führt zum gleichen Ergebnis - wähle das, was für dich am einfachsten erscheint oder für die jeweilige Aufgabe am praktischsten ist.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + n, wobei m und n reelle Zahlen sind. Der Graph ist immer eine Gerade.

Die Steigung m gibt an, wie steil die Gerade verläuft:

• m > 0: Die Gerade steigt
• m = 0: Die Gerade verläuft waagerecht
• m < 0: Die Gerade fällt

Du berechnest die Steigung mit: m = $\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

Der y-Achsenabschnitt n ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Es gilt: n = f(0).

🎯 Praxistipp: Um schnell eine Gerade zu zeichnen, bestimme zwei Punkte - oft ist der y-Achsenabschnitt (0|n) sowie ein weiterer leicht zu berechnender Punkt $z.B. x=1$ praktisch.

Für die Darstellung einer Geraden durch einen Punkt und die Steigung nutzt du die Punktsteigungsform: f(x) = m$x - x₀$ + y₀

Kennst du zwei Punkte, verwendest du die Zweipunkteform, wobei du zuerst die Steigung m bestimmst.

Im Beispiel f(x) = 2x - 1 liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei -1 und die Steigung beträgt 2. Der Schnittpunkt mit der x-Achse liegt bei x = 0,5.

Geraden: Steigungswinkel und Beziehungen

Der Steigungswinkel α einer Geraden ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven x-Achse. Es gilt: m = tan α.

Ob zwei Geraden parallel sind, erkennst du an gleichen Steigungen $m₁ = m₂$.

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, setzt du die Funktionsgleichungen gleich und löst nach x auf:

1. f(x) = g(x)
2. Löse nach x
3. Setze x in eine der Funktionen ein, um y zu erhalten

✨ Visualisierung: Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel. Der Schnittwinkel γ ist immer der kleinere der beiden Winkel (≤ 90°).

Zwei Geraden stehen orthogonal (senkrecht) aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt: m₁ · m₂ = -1 oder m₂ = -1/m₁.

Bei der Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden mit den Steigungswinkeln α und β gilt: γ = |β - α| oder γ = 180° - |β - α|, je nachdem, welcher Wert kleiner ist.

Diese Zusammenhänge sind besonders wichtig für geometrische Aufgaben und die Beschreibung von Lagebeziehungen im Koordinatensystem.

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c.

Die Normalparabel f(x) = x² hat folgende Eigenschaften:

• Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
• Für x < 0 ist sie fallend, für x > 0 steigend
• Ihr Scheitelpunkt liegt bei S(0|0)

Du kannst die Normalparabel verschieben und verändern:

• Verschiebung entlang der y-Achse: g(x) = x² + 2 verschiebt die Parabel um 2 Einheiten nach oben
• Verschiebung entlang der x-Achse: g(x) = $x+2$² verschiebt die Parabel um 2 Einheiten nach links

🔍 Wichtig: Bei der x-Verschiebung ist das Vorzeichen in der Klammer negativ zur Verschiebungsrichtung!

• Verschiebung in beide Richtungen: g(x) = $x-3$² + 2 verschiebt die Parabel 3 Einheiten nach rechts und 2 nach oben
• Streckung/Stauchung: g(x) = 2x² streckt die Parabel in y-Richtung um den Faktor 2

Diese Transformationen helfen dir, komplexere quadratische Funktionen zu verstehen und zu skizzieren.

Quadratische Funktionen: Spiegelung und Nullstellen

Wenn du eine Parabel an der x-Achse spiegelst, ändert sich das Vorzeichen von a: g(x) = -0,5x² öffnet sich nach unten statt nach oben.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: f(x) = a·$x-xₛ$² + yₛ Dabei ist S(xₛ|yₛ) der Scheitelpunkt, a bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung.

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c zu finden, nutzt du die p-q-Formel:

• Bringe die Gleichung in die Form x² + px + q = 0
• Berechne x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$

📝 Merke: Die Diskriminante D = $p/2$² - q bestimmt die Anzahl der Nullstellen:

• D > 0: zwei Nullstellen
• D = 0: eine Nullstelle (Berührpunkt)
• D < 0: keine Nullstelle

Eine Gerade kann eine Parabel auf drei Arten schneiden:

1. Sekante: Schneidet in zwei Punkten
2. Tangente: Berührt in genau einem Punkt
3. Passante: Schneidet nicht

Um Schnittpunkte zu finden, setzt du die Funktionsgleichungen gleich und löst die entstehende quadratische Gleichung.

Funktionen: Grundlagen und Eigenschaften

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem x-Wert aus der Definitionsmenge D wird genau ein y-Wert aus der Wertemenge W zugeordnet.

Mit dem Linientest prüfst du, ob ein Graph eine Funktion darstellt: Schneidet eine Senkrechte den Graphen mehr als einmal, liegt keine Funktion vor.

Bei linearen Funktionen f(x) = mx + n ist:

• m die Steigung $m = Δy/Δx$
• n der y-Achsenabschnitt $n = f(0)$

Zur Darstellung einer Geraden nutzt du:

• Punktsteigungsform: y = m$x-x₀$ + y₀ für eine Gerade durch P(x₀|y₀) mit Steigung m
• Zweipunkteform: Für eine Gerade durch P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) mit m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$

📐 Geometrischer Zusammenhang: Der Steigungswinkel α einer Geraden und ihre Steigung m hängen über tan α = m zusammen.

Für quadratische Funktionen f(x) = a$x-xₛ$² + yₛ gilt:

• S(xₛ|yₛ) ist der Scheitelpunkt
• Nullstellen berechnest du mit der p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)²-q$

Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Diskriminante ab: zwei, eine oder keine Nullstelle.

Transformationen von Funktionen

Mit diesen Transformationen kannst du jeden Funktionsgraphen verändern:

Verschiebungen:

• Um a Einheiten in y-Richtung: y = f(x) + a (positives a: nach oben, negatives a: nach unten)
• Um a Einheiten in x-Richtung: y = f$x - a$ (positives a: nach rechts, negatives a: nach links)

Streckungen:

• Mit Faktor a in y-Richtung: y = a·f(x) (|a| > 1: Streckung, 0 < |a| < 1: Stauchung)
• Mit Faktor a in x-Richtung: y = f(a·x) (|a| > 1: Stauchung, 0 < |a| < 1: Streckung)

💡 Merkregel: Bei x-Streckung mit Faktor a > 1 wird der Graph in x-Richtung gestaucht, nicht gestreckt!

Spiegelung:

• An der x-Achse: y = -f(x)

Diese Transformationen sind besonders wichtig, um komplizierte Funktionsgraphen zu zeichnen oder zu interpretieren. Du kannst sie nacheinander anwenden, um komplexe Veränderungen zu erreichen.